Strona główna › Liczby i działania › Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka to zapis liczby pod pierwiastkiem jako iloczynu, w którym jeden z czynników jest kwadratem, i „wyciągnięcie” go przed pierwiastek: √a²·b = a√b.
Krótko: Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek, rozłóż liczbę podpierwiastkową na iloczyn z możliwie największym kwadratem: √12 = √4 · 3 = 2√3.
1Zasada wyłączania czynnika
Korzystamy z tego, że √xy = √x · √y oraz √a² = a. Szukamy największego kwadratu liczby naturalnej (4, 9, 16, 25, 36, 49, …), przez który dzieli się liczba pod pierwiastkiem.
| pierwiastek | rozkład | wynik |
|---|---|---|
| √12 | √4 · 3 | 2√3 |
| √50 | √25 · 2 | 5√2 |
| √72 | √36 · 2 | 6√2 |
| √75 | √25 · 3 | 5√3 |
| √98 | √49 · 2 | 7√2 |
| √180 | √36 · 5 | 6√5 |
2Wprowadzanie czynnika pod znak pierwiastka
Operację można odwrócić: liczbę przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu i wprowadzamy pod pierwiastek. Na przykład 3√2 = √9 · 2 = √18. Przydaje się to przy porównywaniu liczb: 3√2 = √18, a 2√5 = √20, więc 2√5 jest większe.
3Po co wyłączamy czynnik
Po wyłączeniu czynnika można dodawać i odejmować pierwiastki: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2. Bez tego kroku sumy by nie uproszczono.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Pierwiastek z 48
Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: √48.
- 48 = 16 · 3, a 16 to kwadrat liczby 4.
- √48 = √16 · √3 = 4√3.
Odpowiedź: 4√3
Przykład 2 Liczba przed pierwiastkiem
Uprość: 2√18.
- √18 = √9 · 2 = 3√2.
- 2 · 3√2 = 6√2.
Odpowiedź: 6√2
Przykład 3 Suma pierwiastków
Oblicz √20 + √45.
- √20 = √4 · 5 = 2√5, a √45 = √9 · 5 = 3√5.
- 2√5 + 3√5 = 5√5.
Odpowiedź: 5√5
5Najczęstsze błędy
Wyłączenie niewielkiego kwadratu
Skąd się bierze: Zapis √72 = 2√18 jest poprawny, ale niedokończony.
Jak zrobić dobrze: Wyłączaj największy kwadrat: √72 = 6√2, bo 72 = 36 · 2.
√12 = 6
Skąd się bierze: Dzielenie 12 przez 2.
Jak zrobić dobrze: √12 ≈ 3,46. Poprawnie: √12 = 2√3.
Wyłączanie z sumy
Skąd się bierze: √9 + 16 = 3 + 4 — pierwiastek z sumy.
Jak zrobić dobrze: Czynniki wyłączamy tylko z iloczynu: √9 + 16 = √25 = 5.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Ile wynosi √12 w prostszej postaci?
√12 = √4 · 3 = 2√3.
2. √50 =
√25 · 2 = 5√2.
3. √72 =
√36 · 2 = 6√2.
4. Wprowadź 3√2 pod pierwiastek.
3√2 = √9 · 2 = √18.
5. √8 + √18 =
2√2 + 3√2 = 5√2.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Liczby, procenty, równania” (klasa 8), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Na czym polega wyłączanie czynnika przed pierwiastek?
Na zapisaniu liczby podpierwiastkowej jako iloczynu z kwadratem i wyciągnięciu pierwiastka z tego kwadratu przed znak pierwiastka.
Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek z liczby 72?
72 = 36 · 2, więc √72 = √36 · √2 = 6√2.
Czy zawsze można wyłączyć czynnik?
Nie. Jeśli liczba pod pierwiastkiem nie ma dzielnika będącego kwadratem większym od 1 (np. 7, 15), pierwiastek jest już uproszczony.
Jak wprowadzić czynnik pod znak pierwiastka?
Podnieś liczbę przed pierwiastkiem do kwadratu i pomnóż przez liczbę pod pierwiastkiem: 3√2 = √9 · 2 = √18.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
