Strona główna › Liczby i działania › Pierwiastek z 2
Pierwiastek z 2
Pierwiastek z 2 to liczba, której kwadrat jest równy 2. Wynosi w przybliżeniu √2 ≈ 1,414 i jest liczbą niewymierną — pierwszą, o której starożytni Grecy odkryli, że nie jest ułamkiem.
Krótko: √2 ≈ 1,41421356…, a √2 · √2 = 2. Jest to długość przekątnej kwadratu o boku 1.
1Ile wynosi pierwiastek z 2
1,414² = 1,999396, czyli prawie 2. Bez kalkulatora: 1,4² = 1,96, a 1,5² = 2,25, więc 1,4 < √2 < 1,5. Zawężając przedział do setnych, dostaniesz 1,41.
2Gdzie występuje pierwiastek z 2
- przekątna kwadratu o boku a: d = a√2 (dla a = 1 mamy d = √2),
- trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 45°, 45°, 90°: boki 1 : 1 : √2,
- papier w formacie A4: stosunek dłuższego boku do krótszego wynosi właśnie √2, dlatego po przecięciu kartki na pół powstaje taki sam kształt.
3Działania z pierwiastkiem z 2
| działanie | wynik |
|---|---|
| √2 · √2 | 2 |
| √2 · √8 = √16 | 4 |
| √8 = √4 · 2 | 2√2 |
| √50 = √25 · 2 | 5√2 |
| √2 + √8 | √2 + 2√2 = 3√2 |
| 2√2 | √2 |
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Przybliżenie
Oszacuj wartość 3√2.
- √2 ≈ 1,414.
- 3 · 1,414 = 4,242 ≈ 4,24.
Odpowiedź: około 4,24
Przykład 2 Suma pierwiastków
Oblicz √8 + √18.
- √8 = 2√2, a √18 = 3√2.
- 2√2 + 3√2 = 5√2.
Odpowiedź: 5√2
Przykład 3 Przekątna kwadratu
Bok kwadratu ma 5 cm. Oblicz przekątną.
- d = a√2 = 5√2.
- 5√2 ≈ 5 · 1,414 = 7,07 cm.
Odpowiedź: d = 5√2 cm ≈ 7,07 cm
5Najczęstsze błędy
√8 = 4
Skąd się bierze: Dzielenie 8 przez 2 zamiast wyłączenia czynnika.
Jak zrobić dobrze: √8 = √4 · 2 = 2√2 ≈ 2,83. Wartość 4 to √16.
√2 + √2 = √4 = 2
Skąd się bierze: Dodawanie liczb pod pierwiastkiem.
Jak zrobić dobrze: √2 + √2 = 2√2 ≈ 2,83; to inna liczba niż 2.
Traktowanie 1,4 jako dokładnej wartości
Skąd się bierze: Zaokrąglenie wydaje się dokładne.
Jak zrobić dobrze: √2 ma nieskończone rozwinięcie. 1,4 to tylko przybliżenie; w zadaniach zostaw √2.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Ile wynosi w przybliżeniu √2?
1,41² ≈ 1,99.
2. Ile wynosi √2 · √2?
√2 · √2 = 2.
3. Zapisz √50 w prostszej postaci.
√50 = √25 · 2 = 5√2.
4. Ile wynosi √8 w prostszej postaci?
√8 = √4 · 2 = 2√2.
5. Czy √2 jest liczbą wymierną?
Nie, jest niewymierny.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Potęgi i pierwiastki” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Ile wynosi pierwiastek z 2?
Około 1,414 (dokładniej 1,41421356…).
Dlaczego pierwiastek z 2 jest niewymierny?
Bo nie da się go zapisać jako ułamka liczb całkowitych. Dowód nie wprost pokazuje, że założenie o takim ułamku prowadzi do sprzeczności.
Co ma wspólnego pierwiastek z 2 z kartką A4?
Stosunek dłuższego boku do krótszego to √2, więc po złożeniu kartki na pół powstaje prostokąt o takich samych proporcjach.
Jak policzyć przekątną kwadratu?
Pomnóż bok przez √2: d = a√2.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
