Strona główna › Geometria › Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa

Q: Co mówi twierdzenie Talesa?

Że jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim. Kluczowe jest założenie o równoległości — bez niego twierdzenie nie obowiązuje.

Q: Które odcinki wolno porównywać?

Tylko odcinki tego samego rodzaju po obu stronach proporcji: bliższy do całego z bliższym do całego, bliższy do dalszego z bliższym do dalszego. Mieszanie rodzajów daje wynik fałszywy, choć zapis wygląda podobnie.

Q: Jak zmierzyć wysokość drzewa za pomocą cienia?

Zmierz wysokość i cień patyka oraz cień drzewa, a potem ułóż proporcję. Dla patyka 1 m o cieniu 1,5 m i drzewa o cieniu 12 m wychodzi 12 : 1,5 = 8 m. Działa to, bo promienie słońca padają równolegle.

Q: Czy twierdzenie Talesa jest w programie szkoły podstawowej?

Nie. Podstawa programowa dla klas VII–VIII wymienia kąty, cechy przystawania trójkątów i twierdzenie Pitagorasa — Talesa tam nie ma. Wchodzi w pierwszej klasie liceum, razem z podobieństwem figur, i jest materiałem maturalnym.

Q: Jaki jest związek twierdzenia Talesa ze skalą?

Skala to liczbowy zapis tej samej proporcji. Dwie proste równoległe wycinają z kąta trójkąty podobne — o tych samych kątach i proporcjonalnych bokach. Każde zadanie o mapie czy modelu jest więc w istocie zadaniem z twierdzenia Talesa.

Dwie proste równoległe przecinające ramiona kąta dzielą je proporcjonalnie. Brzmi abstrakcyjnie, a pozwala zmierzyć wysokość drzewa, nie wchodząc na nie — wystarczy patyk i cień. Tales zmierzył w ten sposób piramidę, i to jest chyba najstarsze praktyczne zastosowanie geometrii, jakie znamy.

Dział: GeometriaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 9

Krótko: Twierdzenie Talesa: jeśli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu mają się do siebie tak jak odpowiednie odcinki na drugim ramieniu.

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

Kalkulator: proporcja z twierdzenia Talesa

1Co mówi twierdzenie

To materiał nadprogramowy

Twierdzenia Talesa nie ma w podstawie programowej szkoły podstawowej. Dział o własnościach figur dla klas VII–VIII wymienia kąty, cechy przystawania trójkątów i twierdzenie Pitagorasa — Talesa tam nie ma.

Wchodzi w pierwszej klasie liceum, razem z podobieństwem figur, i jest materiałem maturalnym.

Wyobraź sobie kąt o wierzchołku $S$ i dwie równoległe proste, które przecinają oba jego ramiona. Powstają na nich odcinki — i te odcinki są ze sobą powiązane.

Treść twierdzenia

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

Kluczowe jest słowo równoległymi. Bez tego założenia twierdzenie nie obowiązuje — i to właśnie równoległość jest tu warunkiem, a nie dodatkiem. Piszę o niej osobno przy prostych równoległych i prostopadłych.

Weźmy konkretny układ: kąt o wierzchołku $S$ , na jednym ramieniu punkty $A$ i $B$ , na drugim $C$ i $D$ , przy czym proste $AC$ i $BD$ są równoległe.

|SA| = 2, \quad |SB| = 6, \quad |SC| = 3, \quad |SD| = 9

Sprawdźmy: $\frac{|SA|}{|SB|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ oraz $\frac{|SC|}{|SD|} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ — równe ✓

Twierdzenie nie mówi, że odcinki są równe. Mówi, że zachowują ten sam stosunek — a to zupełnie co innego.

Twierdzenie Talesa: ramiona kąta o wierzchołku S przecięte prostymi równoległymi AC i BD; |SA| = 2, |AB| = 4, |SC| = 3, |CD| = 6; proporcje 2 : 6 = 3 : 9 oraz 2 : 4 = 3 : 6 — Twierdzenie Talesa — które odcinki tworzą proporcję

2Które odcinki wolno porównywać

Tu ginie najwięcej punktów, bo poprawnych proporcji jest kilka, a błędnych jeszcze więcej.

W naszym układzie ( $|SA| = 2$ , $|AB| = 4$ , $|SB| = 6$ oraz $|SC| = 3$ , $|CD| = 6$ , $|SD| = 9$ ) obowiązują trzy proporcje:

proporcja	co porównuje	sprawdzenie
$\frac{\|SA\|}{\|SB\|} = \frac{\|SC\|}{\|SD\|}$	bliższy do całego	$\frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ✓
$\frac{\|SA\|}{\|AB\|} = \frac{\|SC\|}{\|CD\|}$	bliższy do dalszego	$\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ✓
$\frac{\|AB\|}{\|SB\|} = \frac{\|CD\|}{\|SD\|}$	dalszy do całego	$\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ✓

Zasada, która porządkuje wszystkie trzy

Po obu stronach proporcji odcinki muszą być „tego samego rodzaju”.

Jeśli po lewej wziąłeś odcinek bliższy wierzchołka, po prawej też musi być bliższy. Jeśli po lewej cały odcinek — po prawej też cały.

Nie wolno natomiast mieszać: $\textcolor{#9b1c14}{\frac{|SA|}{|SB|} = \frac{|CD|}{|SD|}}$ jest fałszem, bo po lewej porównujesz bliższy do całego, a po prawej dalszy do całego.

Praktyczna wskazówka: zapisz najpierw, co z czym porównujesz słowami, a dopiero potem podstaw liczby. „Bliższy do całego równa się bliższy do całego” trudniej pomylić niż same symbole.

Zauważ też, że w tych trzech zapisach każdy ułamek zestawia odcinki z jednego ramienia. Po przemnożeniu na krzyż dostajesz proporcję $\frac{|SA|}{|SC|} = \frac{|SB|}{|SD|}$ , która porównuje odcinki z różnych ramion — ona też jest poprawna. Warunek jest jeden: po obu stronach muszą stać odcinki odpowiadające sobie (bliższy z bliższym, cały z całym).

Tales otwiera temat podobieństwa — stąd prowadzi droga do cech podobieństwa trójkątów i do skali, a resztę materiału z geometrii ułożyłem w tej samej kolejności.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Geometria płaska: kąty i trójkąty” (liceum, klasa 1), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Geometria płaska: kąty i trójkąty — cały dział, liceum 1 (5 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Geometria płaska: kąty i trójkąty”5 arkuszy w jednym pliku9,90 zł~~19,50 zł~~−9,60 zł Liceum, klasa 1, na cały rok30 arkuszy, 1,66 zł za arkusz49,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 9,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie Talesa działa też w drugą stronę — i to jest wersja, o którą uczniowie pytają najczęściej.

Treść twierdzenia odwrotnego

Jeżeli odcinki wyznaczone na ramionach kąta są proporcjonalne, to proste je wyznaczające są równoległe.

Różnica jest zasadnicza. Twierdzenie proste zakłada równoległość i wyprowadza proporcję. Odwrotne zakłada proporcję i wyprowadza równoległość.

Do czego to służy? Do sprawdzania, czy dwie proste są równoległe, bez mierzenia kątów — wystarczy zmierzyć cztery odcinki i porównać dwa ułamki.

Weźmy kontrprzykład. Jeśli $|SA| = 2$ , $|SB| = 6$ , ale $|SC| = 3$ i $|SD| = 10$ , to $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$ , a $\frac{3}{10} = 0{,}3$ — stosunki są różne, więc proste $AC$ i $BD$ nie są równoległe. Sprawdzenie rachunkiem współrzędnych to potwierdza ✓

To rozróżnienie warto mieć w głowie przy każdym twierdzeniu, nie tylko przy Talesie: zdanie i jego odwrotność to dwa różne zdania i oba trzeba udowadniać osobno. Tak samo jest z twierdzeniem Pitagorasa, którego wersja odwrotna pozwala rozpoznać trójkąt prostokątny.

4Jak zmierzyć drzewo, nie wchodząc na nie

Najsłynniejsze zastosowanie tego twierdzenia jest zarazem najstarsze.

Promienie słońca padają równolegle — i to jest dokładnie założenie twierdzenia Talesa. Cień patyka i cień drzewa tworzą więc dwa trójkąty o proporcjonalnych bokach.

wbij w ziemię patyk o znanej wysokości, na przykład $1$ m,
zmierz długość jego cienia — powiedzmy $1{,}5$ m,
zmierz cień drzewa — powiedzmy $12$ m,
ułóż proporcję i policz.

\frac{\textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}5}} = \frac{h}{\textcolor{#E0453A}{12}} \quad\Rightarrow\quad h = \frac{12}{1{,}5} = \textcolor{#16A06A}{8}\text{ m}

Kontrola: $\frac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667$ i $\frac{8}{12} \approx 0{,}667$ — stosunki się zgadzają ✓

Tak Tales zmierzył piramidę

Według przekazu Tales z Miletu zmierzył w ten sposób wysokość piramidy Cheopsa około $600$ r. p.n.e. — czekał na moment, w którym jego cień równał się jego wzrostowi, i wtedy cień piramidy równał się jej wysokości.

Przy patyku $1$ m i cieniu $1{,}5$ m cień piramidy o długości $220$ m dałby wysokość $220 : 1{,}5 \approx 147$ m — a to prawie dokładnie rzeczywista wysokość Cheopsa.

Warto to pokazać dziecku: matematyka pozwoliła zmierzyć coś, czego nie dało się dosięgnąć — i to dwa i pół tysiąca lat temu.

Ta sama metoda działa dla masztu, budynku, komina — wszędzie tam, gdzie nie da się przyłożyć taśmy.

Wysokość drzewa z cienia z twierdzenia Talesa: kij 2 m rzuca cień 3 m, drzewo rzuca cień 12 m, więc h : 12 = 2 : 3 i drzewo ma 8 m — Jak zmierzyć drzewo cieniem — zastosowanie twierdzenia Talesa

5Związek z podobieństwem i skalą

Twierdzenie Talesa nie jest osobną ciekawostką — jest fundamentem podobieństwa figur.

Dwie proste równoległe wycinają z kąta dwa trójkąty: mniejszy przy wierzchołku i większy. Mają one te same kąty i proporcjonalne boki — czyli są podobne.

pojęcie	co mówi	gdzie wraca
twierdzenie Talesa	odcinki proporcjonalne	podstawa całej reszty
podobieństwo trójkątów	figury o tym samym kształcie, różnej wielkości	liceum
skala	liczbowy zapis tej proporcji	klasa 6
proporcje	narzędzie rachunkowe	klasa 6

Ciekawe, że skalę uczeń poznaje wcześniej niż twierdzenie, które ją uzasadnia. W klasie szóstej używa mapy w skali $1:50\,000$ , a dopiero w liceum dowiaduje się, dlaczego to działa.

Praktycznie oznacza to, że każde zadanie o mapie, planie albo modelu jest w istocie zadaniem z twierdzenia Talesa — tylko zapisanym prościej.

Sam rachunek na proporcjach — mnożenie na krzyż i przekształcanie — opisuję przy proporcjach.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: brakujący odcinek, sprawdzenie równoległości i pomiar cieniem.

Przykład 1 Brakujący odcinek

Ramiona kąta przecięto dwiema prostymi równoległymi. Na pierwszym ramieniu powstały odcinki $|SA| = 2$ i $|AB| = 4$ , na drugim $|SC| = 3$ . Ile wynosi $|CD|$ ?

Proste są równoległe, więc obowiązuje twierdzenie Talesa.
Wybieram proporcję zestawiającą odcinki tego samego rodzaju: bliższy do dalszego.
$\frac{|SA|}{|AB|} = \frac{|SC|}{|CD|}$ , czyli $\frac{2}{4} = \frac{3}{|CD|}$ .
Mnożę na krzyż: $2 \cdot |CD| = 4 \cdot 3 = 12$ .
Stąd $|CD| = 6$ .
Kontrola inną proporcją: $\frac{|SA|}{|SB|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ oraz $\frac{|SC|}{|SD|} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ✓ (bo $|SD| = 3 + 6 = 9$ )
Kontrola sensu: skoro na pierwszym ramieniu dalszy odcinek jest dwa razy dłuższy od bliższego, na drugim musi być tak samo — $6 = 2 \cdot 3$ ✓

Odpowiedź: $|CD| = 6$

Sprawdzenie drugą proporcją jest tu warte zachodu, bo wyłapuje najczęstszy błąd — pomieszanie rodzajów odcinków. Jeśli obie proporcje dają zgodny wynik, dobór był poprawny.

Przykład 2 Czy proste są równoległe

Na ramionach kąta zmierzono: $|SA| = 2$ , $|SB| = 6$ , $|SC| = 3$ , $|SD| = 10$ . Czy proste $AC$ i $BD$ są równoległe?

Korzystam z twierdzenia odwrotnego: proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie stosunki są równe.
Liczę pierwszy stosunek: $\frac{|SA|}{|SB|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$ .
Liczę drugi: $\frac{|SC|}{|SD|} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ .
$0{,}333 \neq 0{,}3$ — stosunki są różne.
Zatem proste $AC$ i $BD$ nie są równoległe.
Kontrola: gdyby miały być równoległe przy $|SC| = 3$ , to $|SD|$ musiałoby wynosić $9$ , a nie $10$ ✓
Kontrola współrzędnymi potwierdza brak równoległości ✓

Odpowiedź: Nie są równoległe.

To zastosowanie twierdzenia odwrotnego: sprawdzamy równoległość, mierząc same odcinki, bez kątomierza. Przy niewielkiej różnicy — tu zaledwie jedna jednostka — oko by tego nie wychwyciło.

Przykład 3 Wysokość drzewa z cienia

Patyk wysokości $1$ m rzuca cień długości $1{,}5$ m. W tym samym czasie drzewo rzuca cień $12$ m. Jak wysokie jest drzewo?

Promienie słońca padają równolegle, więc patyk z cieniem i drzewo z cieniem tworzą figury o proporcjonalnych bokach.
Układam proporcję: $\frac{\text{wysokość patyka}}{\text{cień patyka}} = \frac{\text{wysokość drzewa}}{\text{cień drzewa}}$ .
Podstawiam: $\frac{1}{1{,}5} = \frac{h}{12}$ .
Mnożę na krzyż: $1{,}5 \cdot h = 12$ , czyli $h = \frac{12}{1{,}5} = 8$ m.
Kontrola stosunkami: $\frac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667$ oraz $\frac{8}{12} \approx 0{,}667$ ✓
Kontrola sensu: cień drzewa jest osiem razy dłuższy od cienia patyka ( $12 : 1{,}5 = 8$ ), więc drzewo musi być osiem razy wyższe od patyka — czyli $8$ m ✓
Uwaga praktyczna: oba cienie trzeba zmierzyć w tym samym momencie, bo słońce się przesuwa.

Odpowiedź: Drzewo ma $8$ m wysokości.

Ostatnia kontrola pokazuje sedno metody: stosunek cieni równa się stosunkowi wysokości. Nie trzeba nawet układać proporcji — wystarczy zauważyć, ile razy jeden cień mieści się w drugim.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość złych proporcji.

Zestawienie odcinków różnego rodzaju

Skąd się bierze: Uczeń zapisuje $\frac{|SA|}{|SB|} = \frac{|CD|}{|SD|}$ , mieszając stosunek „bliższy do całego” ze stosunkiem „dalszy do całego”. Wynik jest błędny, choć obie strony wyglądają podobnie.

Jak zrobić dobrze: Zapisz najpierw słowami, co porównujesz: „bliższy do całego = bliższy do całego”. Podstaw liczby dopiero wtedy. Kontrolą jest policzenie zadania drugą poprawną proporcją — musi wyjść to samo.

Pominięcie założenia o równoległości

Skąd się bierze: Twierdzenie obowiązuje wyłącznie przy prostych równoległych. Uczeń stosuje je do dowolnych dwóch prostych przecinających ramiona i dostaje wynik, który z rysunkiem nie ma nic wspólnego.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź w treści albo na rysunku, czy równoległość jest podana. Jeśli nie ma o niej mowy, twierdzenia użyć nie wolno — chyba że zadanie każe ją najpierw wykazać.

Mylenie twierdzenia z twierdzeniem odwrotnym

Skąd się bierze: Twierdzenie proste z równoległości wyprowadza proporcję, odwrotne z proporcji wyprowadza równoległość. Użycie jednego zamiast drugiego oznacza założenie tego, co miało być udowodnione.

Jak zrobić dobrze: Zadaj pytanie: co jest dane, a co szukane? Jeśli dana jest równoległość — twierdzenie proste. Jeśli dane są długości, a pytanie dotyczy równoległości — odwrotne.

Dodawanie zamiast mnożenia przy proporcji

Skąd się bierze: Widząc $\frac{2}{6} = \frac{3}{x}$ , uczeń zauważa, że $6 = 2 + 4$ , i dopisuje $x = 3 + 4 = 7$ . Proporcja opiera się jednak na mnożeniu: skoro lewa strona to jedna trzecia, to $x$ musi wynosić $9$ .

Jak zrobić dobrze: Stosuj mnożenie na krzyż albo pytaj „ile razy”, a nie „o ile więcej”. Proporcjonalność to zależność mnożnikowa — opisuję ją przy proporcjach.

Zadania maturalne — twierdzenie Talesa i odcinek równoległy do boku

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Prosta równoległa do boku trójkąta odcina trójkąt podobny do całego — i to jest jedyne narzędzie potrzebne na tej stronie. Stąd proporcja: odcinek do odcinka jak cały bok do całego boku.
Jedna rzecz decyduje o powodzeniu i to na niej wykłada się większość zadań: w proporcji trzeba konsekwentnie porównywać albo całe boki z całymi, albo części z częściami — nigdy część z całością. Gdy treść podaje fragment boku (np. odcinek od wierzchołka do punktu podziału), a proporcja wymaga całego boku, trzeba go najpierw złożyć: cały bok

=

fragment

+

pozostała część. To zwykle prowadzi do równania z niewiadomą po obu stronach — i tak ma być.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc dostaniesz je wszystkie — za każdym razem w innej kolejności.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2014)1 pktłatwe

Odcinki

BC

DE

są równoległe i

|AE| = 4

|DE| = 3

(zobacz rysunek). Punkt

D

jest środkiem odcinka

AB

. Długość odcinka

BC

jest równa

A. $4$
B. $6$
C. $8$
D. $16$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — skala wprost z treści. Punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$ , więc
$\dfrac{|AD|}{|AB|} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}$
Krok 2 — trójkąty podobne. Skoro $DE \parallel BC$ , to trójkąt $ADE$ jest podobny do trójkąta $ABC$ — mają wspólny kąt przy $A$ , a kąty przy $D$ i $B$ są równe jako kąty odpowiadające przy prostych równoległych.
Skala podobieństwa to właśnie $\textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$ , więc każdy odpowiadający sobie odcinek jest dwa razy krótszy — w tym $DE$ wobec $BC$ :
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{|DE|}}{|BC|} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12} \qquad \Longrightarrow \qquad |BC| = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{|DE|} = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 6$
Odpowiedź: $|BC| = 6$ , czyli B.
Kontrola: skoro skala wynosi $\tfrac12$ , to także $|AE| = \tfrac12|AC|$ , więc $|AC| = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{8}$ — a to znaczy, że $E$ jest środkiem $AC$ . Rzeczywiście: prosta przez środki dwóch boków jest równoległa do trzeciego i dwa razy krótsza.
Dana $|AE| = 4$ nie była potrzebna do policzenia $BC$ — służy tylko do potwierdzenia, że $E$ jest środkiem. To częste w zadaniach maturalnych: nie każda liczba w treści wchodzi do rachunku.

💡 Wskazówka: Informacja „ $D$ jest środkiem $AB$ ” podaje skalę wprost: $\tfrac12$ . Nie trzeba wtedy żadnej proporcji z niewiadomą — wystarczy pomnożyć albo podzielić przez dwa. Warto pamiętać wniosek ogólny: odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i dwa razy od niego krótszy.

⚠ Podanie $8$ (odpowiedź C), czyli podwojenie danej $|AE| = 4$ zamiast $|DE| = 3$ — pytanie dotyczy $BC$ , a odcinkiem odpowiadającym $BC$ jest $DE$ , nie $AE$ . Odcinek $AE$ odpowiada bokowi $AC$ . Warto przed rachunkiem wypisać pary: $AD \leftrightarrow AB$ , $AE \leftrightarrow AC$ , $DE \leftrightarrow BC$ . Drugi błąd: pomnożenie przez cztery i wybór $16$ — skala dotyczy długości, więc mnożymy przez $2$ , a nie przez $2^2$ ; kwadrat skali odnosi się do pól.

Zadanie 2 (maj 2010)1 pktśrednie

Odcinki

AB

DE

są równoległe. Długości odcinków

CD

DE

AB

są odpowiednio równe

1

3

9

(zobacz rysunek). Długość odcinka

AD

jest równa

A. $2$
B. $3$
C. $5$
D. $6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — skala z dwóch odcinków równoległych. Trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $CAB$ (bo $DE \parallel AB$ ), a odcinki $DE$ i $AB$ odpowiadają sobie:
$k = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{|DE|}}{\textcolor{#16A06A}{|AB|}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$
Krok 2 — ta sama skala dla boku $CA$ . Odcinek $CD$ odpowiada całemu bokowi $CA$ :
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{|CD|}}{|CA|} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13} \qquad \Longrightarrow \qquad |CA| = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{|CD|} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Krok 3 — z całości odejmujemy część. Punkt $D$ leży na odcinku $CA$ , więc
$|AD| = |CA| - |CD| = \textcolor{#E0453A}{3} - \textcolor{#16A06A}{1} = 2$
Odpowiedź: $|AD| = 2$ , czyli A.
Kontrola: przy $|CD| = 1$ i $|AD| = 2$ cały bok ma $\textcolor{#E0453A}{3}$ , więc stosunek $\tfrac{|CD|}{|CA|} = \tfrac13$ ✓ — zgodnie ze skalą wyznaczoną z odcinków równoległych.
To sedno całej strony. Skala wiąże $CD$ z całym $CA$ , a nie z jego pozostałą częścią $AD$ . Kto zapisze $\tfrac{|CD|}{|AD|} = \tfrac13$ , dostanie $|AD| = 3$ — i właśnie ta liczba siedzi wśród odpowiedzi jako dystraktor B.

💡 Wskazówka: Wyznacz skalę z pary odcinków równoległych — one zawsze sobie odpowiadają i zwykle oba są podane. Potem pilnuj, żeby po drugiej stronie proporcji stały całe boki, a nie ich fragmenty. Na końcu prawie zawsze trzeba odjąć: szukany fragment to cały bok minus fragment dany.

⚠ Zapisanie proporcji $\tfrac{|CD|}{|AD|} = \tfrac{|DE|}{|AB|}$ , czyli porównanie części z częścią zamiast części z całością. Daje to $|AD| = 3$ — odpowiedź B, i to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania. Twierdzenie Talesa mówi o stosunku odcinka do całego boku, bo trójkąt $CDE$ jest podobny do $CAB$ , a nie do jakiegoś trójkąta zbudowanego na $AD$ . Drugi błąd: pominięcie ostatniego odejmowania i podanie $|CA| = 3$ jako odpowiedzi.

Zadanie 3 (sierpień 2017)1 pktśrednie

W trójkącie

ABC

punkt

D

leży na boku

BC

, a punkt

E

leży na boku

AC

. Odcinek

DE

jest równoległy do boku

AB

, a ponadto

|AE| = |DE| = 4

|AB| = 6

(zobacz rysunek). Odcinek

CE

ma długość

A. $\dfrac{16}{3}$
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $8$
D. $6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tu szukany odcinek jest częścią boku, a dana jest jego druga część — więc proporcja da równanie z niewiadomą po obu stronach.
Krok 1 — skala z odcinków równoległych. Trójkąt $CED$ jest podobny do $CAB$ , a odpowiadają sobie $DE$ i $AB$ :
$k = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{|DE|}}{\textcolor{#16A06A}{|AB|}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#16A06A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23}$
Krok 2 — proporcja na boku $CA$ . Oznaczmy $|CE| = x$ . Cały bok to
$|CA| = |CE| + \textcolor{#16A06A}{|EA|} = x + \textcolor{#16A06A}{4}$
Odcinek $CE$ odpowiada całemu bokowi $CA$ , więc
$\dfrac{x}{x + \textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23}$
Krok 3 — rozwiązujemy. Mnożymy na krzyż:
$\textcolor{#E0453A}{3}x = \textcolor{#E0453A}{2}\left(x + \textcolor{#16A06A}{4}\right) = \textcolor{#E0453A}{2}x + \textcolor{#E0453A}{8} \qquad \Longrightarrow \qquad x = 8$
Odpowiedź: $|CE| = 8$ , czyli C.
Kontrola: przy $|CE| = 8$ cały bok $|CA| = 8 + 4 = \textcolor{#E0453A}{12}$ , więc $\tfrac{|CE|}{|CA|} = \tfrac{8}{12} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac23}$ ✓ zgodnie ze skalą.
Kontrola sensowności. Skala $\tfrac23$ jest większa od $\tfrac12$ , więc odcięty trójkąt zajmuje ponad połowę boku — czyli $|CE|$ musi być większe od $|EA| = 4$ . Wynik $8 > 4$ ✓ To od razu odrzuca odpowiedzi $\tfrac83 \approx \textcolor{#E0453A}{2{,}67}$ i częściowo zawęża resztę.

💡 Wskazówka: Gdy dana jest jedna część boku, a szukana druga, oznacz szukaną literą i zapisz cały bok jako sumę. Proporcja $\tfrac{x}{x+4} = \tfrac23$ ma niewiadomą po obu stronach i to jest normalne — mnożenie na krzyż ją rozwiązuje w jednej linijce. Kontrola: jeśli skala przekracza $\tfrac12$ , szukany fragment przy wierzchołku jest dłuższy od pozostałego.

⚠ Zapisanie $\tfrac{|CE|}{|EA|} = \tfrac23$ , czyli porównanie dwóch części boku. Daje to $|CE| = \tfrac83$ — odpowiedź B. Stosunek $\tfrac23$ dotyczy odcinka do całego boku. Drugi błąd: odwrócenie skali i zapisanie $\tfrac{x}{x+4} = \tfrac32$ , co daje $x = -12$ ; wynik ujemny natychmiast sygnalizuje odwróconą proporcję. Trzeci: podanie $|CA| = 12$ zamiast $|CE|$ — poprawnie policzona długość, ale innego odcinka.

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

W trójkącie

EFG

bok

EF

ma długość

21

. Prosta równoległa do boku

EF

przecina boki

EG

FG

trójkąta odpowiednio w punktach

H

oraz

I

(zobacz rysunek) w taki sposób, że

|HI| = 7

|GI| = 3

. Wtedy długość odcinka

FI

jest równa

A. $6$
B. $9$
C. $12$
D. $17$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — skala. Trójkąt $GHI$ jest podobny do $GEF$ , bo $HI \parallel EF$ . Odpowiadają sobie właśnie te dwa odcinki:
$k = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{|HI|}}{\textcolor{#16A06A}{|EF|}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7}}{\textcolor{#16A06A}{21}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$
Krok 2 — cały bok $GF$ . Odcinek $GI$ odpowiada całemu bokowi $GF$ :
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{|GI|}}{|GF|} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13} \qquad \Longrightarrow \qquad |GF| = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{|GI|} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{9}$
Krok 3 — odejmujemy. Punkt $I$ leży na $GF$ , więc
$|FI| = |GF| - \textcolor{#16A06A}{|GI|} = \textcolor{#E0453A}{9} - \textcolor{#16A06A}{3} = 6$
Odpowiedź: $|FI| = 6$ , czyli A.
Kontrola: przy $|GI| = 3$ i $|IF| = 6$ cały bok ma $\textcolor{#E0453A}{9}$ , a $\tfrac{3}{9} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac13}$ ✓
Uwaga na odpowiedź $9$ (B). To długość całego boku $GF$ , czyli wynik drugiego kroku. Zadanie pyta o $FI$ , więc trzeba jeszcze odjąć $|GI|$ . To najczęstsza pomyłka w tym typie zadania: zatrzymanie się o jeden krok za wcześnie, na poprawnie policzonej, ale innej długości.
Kontrola sensowności. Skala $\tfrac13$ jest mniejsza od $\tfrac12$ , więc odcięty trójkąt zajmuje mniej niż połowę boku — czyli $|GI|$ musi być krótsze od $|IF|$ . Wynik $3 < 6$ ✓

💡 Wskazówka: Zauważ, że w tym zadaniu i w poprzednich powtarza się ten sam trzytaktowy schemat: skala z odcinków równoległych → cały bok z proporcji → odejmowanie. Ostatni krok jest najłatwiejszy do pominięcia, bo po drugim kroku ma się już „ładną” liczbę. Przed wpisaniem odpowiedzi przeczytaj jeszcze raz, o który odcinek pyta treść.

⚠ Podanie $9$ (odpowiedź B), czyli całego boku $GF$ zamiast jego części $FI$ . Drugi błąd: porównanie części z częścią, czyli $\tfrac{|GI|}{|FI|} = \tfrac13$ , co daje $|FI| = 9$ — tę samą liczbę, ale z innego, błędnego rozumowania. Dlatego kontrola przez złożenie boku ( $3 + 6 = 9$ , a $\tfrac39 = \tfrac13$ ✓) jest ważniejsza niż sam wynik. Trzeci: odpowiedź $17$ (D) — liczba zbudowana z danych bez sensownej drogi; odrzuca ją prosty rachunek: cały bok ma $|GF| = 9$ , więc $|FI|$ musi być od niego mniejsze.

Zadanie 5 (listopad 2009)1 pktśrednie

Oblicz długość odcinka

AE

wiedząc, że

AB \parallel CD

|AB| = 6

|AC| = 4

|CD| = 8

(zobacz rysunek).

A. $|AE| = 2$
B. $|AE| = 4$
C. $|AE| = 6$
D. $|AE| = 12$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Inny układ niż dotąd: nie ma trójkąta z odciętym wierzchołkiem, ale dwie półproste wychodzące z punktu $E$ , przecięte dwiema prostymi równoległymi $AB$ i $CD$ . Twierdzenie Talesa działa tu identycznie.
Krok 1 — skala z odcinków równoległych:
$k = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{|AB|}}{\textcolor{#16A06A}{|CD|}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#16A06A}{8}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac34}$
Krok 2 — proporcja na półprostej. Trójkąt $EAB$ jest podobny do $ECD$ , więc odcinek $EA$ odpowiada całemu odcinkowi $EC$ . Oznaczmy $|AE| = x$ ; punkt $A$ leży między $E$ i $C$ , więc
$|EC| = x + \textcolor{#16A06A}{|AC|} = x + \textcolor{#16A06A}{4}$
$\dfrac{x}{x + \textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac34}$
Krok 3 — mnożymy na krzyż:
$\textcolor{#E0453A}{4}x = \textcolor{#E0453A}{3}\left(x + \textcolor{#16A06A}{4}\right) = \textcolor{#E0453A}{3}x + \textcolor{#E0453A}{12} \qquad \Longrightarrow \qquad x = 12$
Odpowiedź: $|AE| = 12$ , czyli D.
Kontrola: przy $|AE| = 12$ mamy $|EC| = 12 + 4 = \textcolor{#E0453A}{16}$ , a $\tfrac{12}{16} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac34}$ ✓ zgodnie ze skalą.
Kontrola sensowności. Skala $\tfrac34$ jest bliska jedynki, więc oba trójkąty są podobnej wielkości — a to znaczy, że odcinek $AC$ (różnica) musi być mały w porównaniu z $AE$ . Iloraz $\tfrac{|AC|}{|AE|} = \tfrac{4}{12} = \tfrac13$ ✓ Gdyby wyszło $|AE| = 2$ , różnica byłaby dwa razy większa od samego odcinka, co przy skali $\tfrac34$ jest niemożliwe.

💡 Wskazówka: Twierdzenie Talesa nie wymaga trójkąta — wystarczą dwie półproste z jednego punktu i dwie proste równoległe. Rozpoznaj, który punkt jest wierzchołkiem (tu $E$ ), i traktuj układ jak dwa trójkąty podobne o wspólnym wierzchołku. Dalej schemat jest ten sam: skala z odcinków równoległych, potem proporcja z całym odcinkiem od wierzchołka.

⚠ Zapisanie $\tfrac{|AE|}{|AC|} = \tfrac34$ i wyjście na $|AE| = 3$ — czyli znowu porównanie części z częścią. Odcinek $AC$ nie jest odpowiednikiem niczego w mniejszym trójkącie; odpowiednikiem $EA$ jest całe $EC$ . Drugi błąd: odwrócenie skali i zapisanie $\tfrac{x}{x+4} = \tfrac43$ , co daje $x = -16$ — wynik ujemny od razu pokazuje, że skala jest odwrócona. Trzeci: podanie $|EC| = 16$ zamiast $|AE|$ .

Zadanie 6 (informator CKE)1 pktśrednie

Odcinki

AB

CD

są równoległe. Długości odcinków

AB

CD

AD

są podane na rysunku. Długość odcinka

DE

jest równa

A. $44$
B. $40$
C. $36$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ten sam układ co w poprzednim zadaniu — dwie półproste z punktu $E$ przecięte równoległymi $AB$ i $CD$ — tylko z większymi liczbami.
Krok 1 — skala:
$k = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{|CD|}}{\textcolor{#16A06A}{|AB|}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{20}}{\textcolor{#16A06A}{32}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac58}$
(skróciliśmy przez $\textcolor{#E0453A}{4}$ )
Krok 2 — proporcja na półprostej $E\!-\!D\!-\!A$ . Punkt $D$ leży bliżej $E$ , więc odcinek $ED$ odpowiada całemu odcinkowi $EA$ . Oznaczmy $|DE| = x$ :
$|EA| = x + \textcolor{#16A06A}{|AD|} = x + \textcolor{#16A06A}{24}$
$\dfrac{x}{x + \textcolor{#16A06A}{24}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac58}$
Krok 3 — mnożymy na krzyż:
$\textcolor{#E0453A}{8}x = \textcolor{#E0453A}{5}\left(x + \textcolor{#16A06A}{24}\right) = \textcolor{#E0453A}{5}x + \textcolor{#E0453A}{120} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{3}x = \textcolor{#E0453A}{120} \qquad \Longrightarrow \qquad x = 40$
Odpowiedź: $|DE| = 40$ , czyli B.
Kontrola: przy $|DE| = 40$ mamy $|EA| = 40 + 24 = \textcolor{#E0453A}{64}$ , a $\tfrac{40}{64} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac58}$ ✓
Dlaczego warto skrócić skalę na początku. Bez skrócenia proporcja brzmiałaby $\tfrac{x}{x+24} = \tfrac{20}{32}$ i mnożenie na krzyż dałoby $32x = 20x + 480$ , czyli $12x = 480$ . Ten sam wynik, ale na większych liczbach — a każde dodatkowe zero to okazja do pomyłki.
Kontrola sensowności. Skala $\tfrac58$ oznacza, że $|DE|$ stanowi $\tfrac58$ odcinka $|EA|$ , więc pozostałe $\tfrac38$ to $|AD| = 24$ . Stąd $\tfrac18$ odpowiada $\textcolor{#E0453A}{8}$ , a $\tfrac58$ to $5 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#E0453A}{40}$ ✓ — to nawet szybsza droga niż równanie.

💡 Wskazówka: Skróć skalę zanim wstawisz ją do proporcji — $\tfrac{20}{32} = \tfrac58$ upraszcza cały dalszy rachunek. Warto też znać drogę „przez części”: skala $\tfrac58$ dzieli odcinek $EA$ na $8$ równych części, z których $5$ to $DE$ , a pozostałe $3$ to $AD = 24$ ; jedna część ma więc $8$ , a $DE$ to pięć części, czyli $40$ . Przy okrągłych liczbach jest to szybsze od równania.

⚠ Porównanie części z częścią, czyli $\tfrac{|DE|}{|AD|} = \tfrac58$ , co daje $|DE| = 15$ — liczby nie ma wśród odpowiedzi, więc błąd się ujawnia, ale kosztuje powrót do zadania. Drugi błąd: odwrócenie skali i użycie $\tfrac{32}{20} = \tfrac85$ , co prowadzi do wyniku ujemnego. Trzeci: podanie $|EA| = 64$ zamiast $|DE|$ — poprawnie policzona długość innego odcinka.

Zadanie 7 (informator CKE)1 pktłatwe

Odcinki

BC

DE

są równoległe. Długości odcinków

AC

CE

BC

są podane na rysunku. Długość odcinka

DE

jest równa

A. $6$
B. $8$
C. $10$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Różnica wobec poprzednich zadań: tutaj obie części boku są podane, więc cały bok składamy prostym dodawaniem i nie ma żadnego równania z niewiadomą.
Krok 1 — cały odcinek $AE$ :
$|AE| = \textcolor{#16A06A}{|AC|} + \textcolor{#16A06A}{|CE|} = \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{10}$
Krok 2 — skala. Trójkąt $ABC$ jest podobny do $ADE$ (bo $BC \parallel DE$ ), a odcinek $AC$ odpowiada całemu $AE$ :
$k = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{|AC|}}{\textcolor{#E0453A}{|AE|}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{10}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac25}$
Krok 3 — szukany odcinek. Odcinki $BC$ i $DE$ odpowiadają sobie, więc
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{|BC|}}{|DE|} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac25} \qquad \Longrightarrow \qquad |DE| = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{|BC|}}{\textcolor{#E0453A}{2/5}} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac52} = 10$
Odpowiedź: $|DE| = 10$ , czyli C.
Kontrola: skala $\tfrac25$ oznacza, że mniejszy trójkąt jest $2{,}5$ raza mniejszy. Sprawdźmy oba odcinki: $\tfrac{|AC|}{|AE|} = \tfrac{4}{10} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$ oraz $\tfrac{|BC|}{|DE|} = \tfrac{4}{10} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$ ✓ Zgadza się.
Ciekawostka o danych. Odcinki $AC$ i $BC$ mają tę samą długość $4$ — i to jest pułapka, bo łatwo je pomylić przy podstawianiu. Skutek jest jednak wygodny: skoro $|AC| = |BC|$ , to również $|AE| = |DE|$ , więc szukana długość równa się policzonemu w pierwszym kroku $|AE| = 10$ . Warto to zauważyć jako kontrolę, ale nie jako metodę — przy innych danych taka zbieżność nie zachodzi.

💡 Wskazówka: Sprawdź najpierw, czy obie części boku są podane — jeśli tak, cały bok dostajesz dodawaniem i całe zadanie to dwie proporcje bez niewiadomej. To najprostszy wariant na tej stronie i warto go rozpoznać, żeby nie zaczynać od układania równania. Uważaj tylko na dane o tej samej wartości: tu i $|AC|$ , i $|BC|$ wynoszą $4$ , więc trzeba pilnować, którą liczbę wstawiasz gdzie.

⚠ Użycie $|CE| = 6$ jako całego odcinka i policzenie skali $\tfrac46$ , co daje $|DE| = 6$ — odpowiedź A. Odcinek $AC$ porównuje się z całym $AE$ , a nie z pozostałą częścią $CE$ . Drugi błąd: odwrócenie proporcji w ostatnim kroku, czyli $|DE| = 4 \cdot \tfrac25 = 1{,}6$ ; skoro większy trójkąt ma dłuższe boki, $|DE|$ musi być większe od $|BC|$ . Kontrola przez porównanie obu stosunków ( $0{,}4$ i $0{,}4$ ) wyłapuje oba te błędy.

Zadania otwarte

Zadanie 8 (sierpień 2022)2 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt równoboczny

ABC

o boku długości

24

. Punkt

E

leży na boku

AB

, a punkt

F

— na boku

BC

tego trójkąta. Odcinek

EF

jest równoległy do boku

AC

i przechodzi przez środek

S

wysokości

CD

trójkąta

ABC

(zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka

EF

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $|EF| = 18$

Krok 1 — jedna niewiadoma zamiast dwóch. Odcinek $EF$ jest równoległy do boku $AC$ , więc trójkąt $BEF$ jest podobny do trójkąta $BAC$ . Ale trójkąt $ABC$ jest równoboczny, czyli ma wszystkie kąty po $60^\circ$ — a podobieństwo je przenosi. Trójkąt $BEF$ jest zatem też równoboczny, i stąd
$|EF| = |BE|$
Zamiast szukać odcinka $EF$ , wystarczy więc znaleźć położenie punktu $E$ na boku $AB$ .
Krok 2 — gdzie leży punkt $S$ . Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ to $h = \tfrac{a\sqrt3}{2}$ , więc
$|CD| = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{24}\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{12\sqrt3}$
Punkt $S$ jest środkiem tej wysokości, a jej dolnym końcem jest $D$ , zatem
$|DS| = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} \cdot \textcolor{#E0453A}{12\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt3}$
Krok 3 — trójkąt prostokątny $EDS$ . Tu jest sedno zadania. Wysokość $CD$ jest prostopadła do podstawy $AB$ , więc trójkąt $EDS$ ma kąt prosty przy $D$ . Kąt przy $E$ znamy: odcinek $ES$ leży na prostej $EF$ , która jest równoległa do $AC$ , więc tworzy z podstawą $AB$ taki sam kąt jak $AC$ , czyli
$\sphericalangle SED = \sphericalangle CAB = \textcolor{#E0453A}{60^\circ}$
Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym $EDS$ :
$\text{tg}\,\textcolor{#E0453A}{60^\circ} = \dfrac{|DS|}{|ED|} \qquad \Longrightarrow \qquad |ED| = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6\sqrt3}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{6}$
Krok 4 — długość $BE$ . Wysokość trójkąta równobocznego jest zarazem środkową, więc $D$ jest środkiem podstawy: $|DB| = \textcolor{#E0453A}{12}$ . Punkt $E$ leży między $A$ i $D$ , zatem
$|BE| = |ED| + |DB| = \textcolor{#E0453A}{6} + \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#E0453A}{18}$
Krok 5 — odpowiedź. Z kroku 1 wiemy, że $|EF| = |BE|$ :
$|EF| = 18$
Odpowiedź: $|EF| = 18$ .
Kontrola przez skalę. Skala podobieństwa trójkąta $BEF$ do $BAC$ to $\tfrac{|BE|}{|BA|} = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{18}}{\textcolor{#16A06A}{24}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac34}$ . Wtedy także $|BF| = \textcolor{#16A06A}{24} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac34} = \textcolor{#E0453A}{18}$ , czyli trójkąt $BEF$ ma wszystkie boki po $\textcolor{#E0453A}{18}$ — jest równoboczny, zgodnie z krokiem 1 ✓
Kontrola sensowności: $|AE| = \textcolor{#16A06A}{24} - \textcolor{#E0453A}{18} = \textcolor{#E0453A}{6}$ , więc punkt $E$ leży w jednej czwartej boku $AB$ , licząc od $A$ . Na rysunku faktycznie jest bliżej $A$ niż $D$ ✓ A skoro $|EF| = 18$ jest mniejsze od $\textcolor{#16A06A}{24}$ , odcinek jest krótszy od boku — jak być musi, bo leży wewnątrz trójkąta.

💡 Wskazówka: Dwa spostrzeżenia zamieniają to zadanie w krótki rachunek. Pierwsze: w trójkącie równobocznym odcinek równoległy do boku odcina trójkąt też równoboczny, więc $|EF| = |BE|$ — jedna niewiadoma zamiast dwóch, i nie trzeba nawet układać proporcji. Drugie: punkt $S$ leży na wysokości, a wysokość jest prostopadła do podstawy, więc powstaje trójkąt prostokątny $EDS$ , w którym znamy jedną przyprostokątną i kąt $60^\circ$ — a to już jest zwykły tangens. Warto też pamiętać, że w trójkącie równobocznym wysokość jest zarazem środkową, więc $|DB|$ to po prostu połowa boku; nie trzeba tego liczyć.

⚠ Przyjęcie, że skoro $S$ jest środkiem wysokości, to skala podobieństwa wynosi $\tfrac12$ , i podanie $|EF| = 12$ . Tak byłoby, gdyby odcinek $EF$ był równoległy do podstawy $AB$ — wtedy odcinek na połowie wysokości ma połowę długości boku. Ale $EF$ jest równoległe do $AC$ , czyli do ramienia, i wysokość $CD$ przecina go pod innym kątem; skala wychodzi $\tfrac34$ , nie $\tfrac12$ . Drugi błąd: uznanie, że $S$ jest środkiem odcinka $EF$ . Punkt $S$ leży na $EF$ , ale go nie połowi — środek $EF$ wypada w innym miejscu. Trzeci błąd: policzenie $|ED| = 6$ albo $|AE| = 6$ i podanie tej liczby jako odpowiedzi, czyli zatrzymanie się o dwa kroki za wcześnie. Warto na końcu wrócić do pytania: szukany jest odcinek $EF$ , a nie fragment podstawy.

Zadanie 9 (informator CKE)1 pktłatwe

Proste

k

l

przecinają się w punkcie

A

. Proste

m

n

s

są do siebie równoległe i przecinają obie proste

k

l

w punktach

B

C

D

E

F

G

(zobacz rysunek), w taki sposób, że

|BC| = 30

|CD| = 20

|GF| = 21

. Oblicz długość odcinka

FE

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $|FE| = 14$

Krok 1 — która wersja twierdzenia Talesa. Trzy proste równoległe przecinają dwie proste $k$ i $l$ . W takim układzie odcinki wycięte na jednej z nich są proporcjonalne do odcinków wyciętych na drugiej. To najczystsza postać twierdzenia Talesa — nie trzeba w niej znać odległości od punktu przecięcia $A$ .
Trzeba tylko dobrze sparować odcinki: parujemy je po tym, między którymi prostymi równoległymi leżą.
odcinek $BC$ leży między $m$ i $n$ → na drugiej prostej odpowiada mu $GF$ (też między $m$ i $n$ )
odcinek $CD$ leży między $n$ i $s$ → odpowiada mu $FE$ (też między $n$ i $s$ )
Krok 2 — proporcja.
$\dfrac{|BC|}{|GF|} = \dfrac{|CD|}{|FE|} \qquad \Longrightarrow \qquad \dfrac{\textcolor{#16A06A}{30}}{\textcolor{#16A06A}{21}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{20}}{|FE|}$
Krok 3 — rachunek.
$|FE| = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{20} \cdot \textcolor{#16A06A}{21}}{\textcolor{#16A06A}{30}} = \dfrac{420}{30} = 14$
Odpowiedź: $|FE| = 14$ .
Kontrola: skala między prostymi wynosi $\tfrac{\textcolor{#16A06A}{30}}{\textcolor{#16A06A}{21}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{10}{7}}$ , i musi być ta sama dla drugiej pary odcinków. Sprawdzamy: $\tfrac{20}{14} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{10}{7}}$ ✓
Kontrola sensowności, którą można zrobić przed rachunkiem: odcinek $CD$ jest krótszy od $BC$ ( $20 < \textcolor{#16A06A}{30}$ ), więc odpowiadający mu $FE$ musi być krótszy od $GF = \textcolor{#16A06A}{21}$ . Wynik $14 < \textcolor{#16A06A}{21}$ ✓ Gdyby wyszło coś większego od $21$ , proporcja byłaby ułożona odwrotnie.
Warto zauważyć, czego w tym zadaniu nie potrzeba: długości $|AB|$ i $|AG|$ nie są dane i nie są potrzebne. Dane w treści nie wyznaczają ich nawet jednoznacznie — można je dobrać dowolnie, byle zachować proporcję, a odpowiedź pozostanie ta sama.

💡 Wskazówka: To jest wersja twierdzenia Talesa dla odcinków między równoległymi, a nie dla odcinków liczonych od wierzchołka. Różnica jest ważna, bo wersji „część do całości” używa się wtedy, gdy jedna z prostych równoległych przechodzi przez punkt przecięcia — a tutaj żadna nie przechodzi. Cała sztuka polega na sparowaniu odcinków po tym, między którą parą prostych równoległych leżą: $BC$ i $GF$ leżą oba między $m$ i $n$ , więc odpowiadają sobie; $CD$ i $FE$ leżą oba między $n$ i $s$ . Kolejność liter w nazwach odcinków ( $GF$ , a nie $FG$ ) nie ma tu żadnego znaczenia — liczy się tylko, które dwie proste odcinek łączy.

⚠ Sparowanie odcinków „na krzyż”, czyli $BC$ z $FE$ i $CD$ z $GF$ . Wychodzi wtedy $\tfrac{30}{|FE|} = \tfrac{20}{21}$ , a stąd $|FE| = 31{,}5$ — liczba większa od $21$ , choć odpowiadający jej odcinek $CD$ jest krótszy od $BC$ . Sama ta sprzeczność wystarcza, żeby wynik odrzucić. Drugi błąd: przyjęcie, że proste równoległe wycinają odcinki równe, i podanie $|FE| = 21$ . Równe byłyby tylko wtedy, gdyby równe były odcinki na pierwszej prostej — a $\textcolor{#16A06A}{30} \neq \textcolor{#16A06A}{20}$ . Trzeci błąd: liczenie różnicami zamiast proporcją, na przykład $21 - (\textcolor{#16A06A}{30} - \textcolor{#16A06A}{20}) = 11$ . Twierdzenie Talesa mówi o stosunkach, nie o różnicach; odejmowanie dawałoby ten sam wynik tylko przy skali równej jedności.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. A	3. C	4. A	5. D	6. B
7. C	8. $\|EF\| = 18$	9. $\|FE\| = 14$

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Podobieństwo i twierdzenie Talesa — sprawdzian, liceum, klasa 1

Skala podobieństwa, pola i objętości figur podobnych, odcinki na prostych równoległych.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Twierdzenie Talesa i podobieństwo — kartkówka, liceum, klasa 1

Skala podobieństwa, stosunek pól, twierdzenie Talesa.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Planimetria, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: pola wielokątów, trójkąt równoboczny, pole z sinusem, okręgi wpisane i opisane, kąty w…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Co mówi twierdzenie Talesa?

Że jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim. Kluczowe jest założenie o równoległości — bez niego twierdzenie nie obowiązuje.

Jak brzmi twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa?

Jeżeli odcinki wyznaczone na ramionach kąta są proporcjonalne, to proste je wyznaczające są równoległe. Pozwala to sprawdzić równoległość, mierząc same odcinki, bez kątomierza.

Które odcinki wolno porównywać?

Tylko odcinki tego samego rodzaju po obu stronach proporcji: bliższy do całego z bliższym do całego, bliższy do dalszego z bliższym do dalszego. Mieszanie rodzajów daje wynik fałszywy, choć zapis wygląda podobnie.

Jak zmierzyć wysokość drzewa za pomocą cienia?

Zmierz wysokość i cień patyka oraz cień drzewa, a potem ułóż proporcję. Dla patyka $1$ m o cieniu $1{,}5$ m i drzewa o cieniu $12$ m wychodzi $12 : 1{,}5 = 8$ m. Działa to, bo promienie słońca padają równolegle.

Czy twierdzenie Talesa jest w programie szkoły podstawowej?

Nie. Podstawa programowa dla klas VII–VIII wymienia kąty, cechy przystawania trójkątów i twierdzenie Pitagorasa — Talesa tam nie ma. Wchodzi w pierwszej klasie liceum, razem z podobieństwem figur, i jest materiałem maturalnym.

Jaki jest związek twierdzenia Talesa ze skalą?

Skala to liczbowy zapis tej samej proporcji. Dwie proste równoległe wycinają z kąta trójkąty podobne — o tych samych kątach i proporcjonalnych bokach. Każde zadanie o mapie czy modelu jest więc w istocie zadaniem z twierdzenia Talesa.

Czytaj dalej

Proste równoległeZałożenie, bez którego twierdzenie nie działa ProporcjeMnożenie na krzyż i rachunek na stosunkach Skala i mapaTa sama proporcja w zapisie liczbowym Twierdzenie PitagorasaDrugie twierdzenie, które ma ważną wersję odwrotną

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Twierdzenie Talesa

1Co mówi twierdzenie

2Które odcinki wolno porównywać

3Twierdzenie odwrotne

4Jak zmierzyć drzewo, nie wchodząc na nie

5Związek z podobieństwem i skalą

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — twierdzenie Talesa i odcinek równoległy do boku

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2014)1 pktłatwe

Zadanie 2 (maj 2010)1 pktśrednie

Zadanie 3 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Zadanie 5 (listopad 2009)1 pktśrednie

Zadanie 6 (informator CKE)1 pktśrednie

Zadanie 7 (informator CKE)1 pktłatwe

Zadania otwarte

Zadanie 8 (sierpień 2022)2 pkttrudniejsze

Zadanie 9 (informator CKE)1 pktłatwe

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Podobieństwo i twierdzenie Talesa — sprawdzian, liceum, klasa 1

Twierdzenie Talesa i podobieństwo — kartkówka, liceum, klasa 1

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Planimetria, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku