Równania z wartością bezwzględną

Odpowiedź: A

1. Wartość bezwzględna wyrażenia wynosi $\textcolor{#16A06A}{5}$ dokładnie wtedy, gdy samo wyrażenie jest równe $\textcolor{#16A06A}{5}$ albo $\textcolor{#E0453A}{-5}$. Stąd dwa przypadki — i to jest cała metoda.
2. Przypadek pierwszy: $\textcolor{#16A06A}{2x + 3} = \textcolor{#16A06A}{5}$, czyli $2x = \textcolor{#E0453A}{2}$, a stąd $x = \textcolor{#E0453A}{1}$.
3. Przypadek drugi: $\textcolor{#16A06A}{2x + 3} = \textcolor{#E0453A}{-5}$, czyli $2x = \textcolor{#E0453A}{-8}$, a stąd $x = \textcolor{#E0453A}{-4}$.
4. Odpowiedź: A.
5. Kontrola przez podstawienie — obu liczb, nie jednej. Dla $x = 1$: $|2 \cdot 1 + 3| = |5| = 5$ ✓. Dla $x = -4$: $|2 \cdot (-4) + 3| = |-5| = 5$ ✓.
6. Warto zobaczyć to samo drugim sposobem, przez odległość. Dzieląc równanie przez $2$, dostajemy $\left|x + \tfrac32\right| = \tfrac52$, czyli: $x$ jest oddalone od $-\tfrac32$ o $\tfrac52$. Takie liczby są dwie — $-\tfrac32 - \tfrac52 = -4$ oraz $-\tfrac32 + \tfrac52 = 1$ ✓. Ten sposób od razu pokazuje, dlaczego rozwiązania są zawsze dwa, gdy po prawej stronie stoi liczba dodatnia.

💡 Wskazówka: Nie próbuj „zdejmować” kresek jednym ruchem. Zapisz dwa równania — jedno ze znakiem plus, drugie z minusem po prawej stronie — i rozwiąż każde osobno. Przy prawej stronie będącej liczbą dodatnią zawsze dostaniesz dwie różne liczby.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $-2$ i $2$ — z przekonania, że rozwiązania równania z wartością bezwzględną muszą być liczbami przeciwnymi. Tak jest tylko wtedy, gdy pod kreskami stoi sam $x$: równanie $|x| = 5$ ma rozwiązania $5$ i $-5$, ale $|2x+3| = 5$ już nie. Symetria dotyczy wyrażenia w środku, a nie samego $x$ — i dlatego środkiem tej pary jest $-\tfrac32$, a nie zero. Odpowiedź $C$ to ta sama para co poprawna, tylko z odwróconymi znakami.

Odpowiedź: B

1. Ten sam schemat co poprzednio, tylko pytanie dotyczy nie samych rozwiązań, lecz ich sumy.
2. Przypadek pierwszy: $\textcolor{#16A06A}{x + 4} = \textcolor{#16A06A}{7}$, czyli $x_1 = \textcolor{#E0453A}{3}$.
3. Przypadek drugi: $\textcolor{#16A06A}{x + 4} = \textcolor{#E0453A}{-7}$, czyli $x_2 = \textcolor{#E0453A}{-11}$.
4. $x_1 + x_2 = \textcolor{#E0453A}{3} + (\textcolor{#E0453A}{-11}) = \textcolor{#E0453A}{-8}$
5. Odpowiedź: B.
6. Kontrola podstawieniem: $|3 + 4| = 7$ ✓ oraz $|-11 + 4| = |-7| = 7$ ✓.
7. Skrót, który warto znać. Równanie $|x + 4| = 7$ można zapisać jako $|x - (\textcolor{#16A06A}{-4})| = \textcolor{#16A06A}{7}$, czyli: $x$ jest oddalone od $\textcolor{#16A06A}{-4}$ o $\textcolor{#16A06A}{7}$. Rozwiązania leżą więc symetrycznie po obu stronach liczby $-4$, a suma dwóch liczb symetrycznych względem $a$ wynosi po prostu $2a$. Tutaj $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{-4}) = \textcolor{#E0453A}{-8}$ ✓ — bez wyznaczania $x_1$ i $x_2$ w ogóle.
8. Zwróć uwagę, że w tym skrócie liczba $7$ się nie pojawia. Suma rozwiązań nie zależy od prawej strony równania: dla $|x+4| = 100$ też wyszłoby $-8$. To dobra kontrola sensu — jeśli twój wynik zależy od siódemki, to znaczy, że gdzieś ją niepotrzebnie dodałeś.

💡 Wskazówka: Gdy pytanie dotyczy sumy rozwiązań równania $|x - a| = r$, nie licz ich osobno: suma to zawsze $2a$. Wystarczy odczytać $a$ — czyli liczbę, od której mierzona jest odległość. Uwaga na znak: w zapisie $|x + 4|$ tą liczbą jest $-4$, a nie $4$.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $8$ — z odczytania $a = 4$ zamiast $a = -4$, czyli z pominięcia tego, że $|x+4|$ to $|x - (-4)|$. Odpowiedź $A$, czyli $-14$, to $-2 \cdot 7$ — zastosowanie wzoru $2a$ do prawej strony równania zamiast do lewej. Odpowiedź $C$, czyli $3$, to samo pierwsze rozwiązanie: zatrzymanie się po pierwszym przypadku, mimo że treść wyraźnie mówi o dwóch różnych rozwiązaniach.

Odpowiedź: B

1. Znowu dwa przypadki, tym razem pytanie o iloczyn.
2. Przypadek pierwszy: $\textcolor{#16A06A}{x - 6} = \textcolor{#16A06A}{4}$, czyli $x_1 = \textcolor{#E0453A}{10}$.
3. Przypadek drugi: $\textcolor{#16A06A}{x - 6} = \textcolor{#E0453A}{-4}$, czyli $x_2 = \textcolor{#E0453A}{2}$.
4. $x_1 \cdot x_2 = \textcolor{#E0453A}{10} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{20}$
5. Odpowiedź: B.
6. Kontrola podstawieniem: $|10 - 6| = 4$ ✓ oraz $|2 - 6| = |-4| = 4$ ✓.
7. Skrót, tym razem dla iloczynu. Rozwiązania to $\textcolor{#16A06A}{6} - \textcolor{#16A06A}{4}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{4}$, więc ich iloczyn to $(6-4)(6+4)$ — a to jest wzór skróconego mnożenia: $\textcolor{#16A06A}{6}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2 = 36 - 16 = \textcolor{#E0453A}{20}$ ✓. Ogólnie dla $|x-a| = r$ iloczyn rozwiązań wynosi $a^2 - r^2$.
8. Ten skrót bywa szybszy od wypisywania rozwiązań, ale jego prawdziwa wartość jest inna: pokazuje, że iloczyn może być ujemny. Gdyby $r$ było większe od $a$ — na przykład w $|x-6| = 10$ — rozwiązania byłyby $-4$ i $16$, a iloczyn wyszedłby $36 - 100 = -64$.

💡 Wskazówka: Rozwiązania równania $|x-a| = r$ to $a-r$ i $a+r$, więc ich iloczyn to $(a-r)(a+r) = a^2 - r^2$. Zamiast mnożyć dwie liczby, odejmujesz dwa kwadraty — przy większych liczbach to zauważalna różnica. Ale najpierw upewnij się, że po prawej stronie stoi liczba, a nie wyrażenie z $x$.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $24$ — z pomnożenia przez siebie liczb z równania ($6 \cdot 4$) zamiast rozwiązań. Odpowiedź $D$, czyli $100$, to $10^2$ — znalezienie tylko pierwszego rozwiązania i pomnożenie go przez samo siebie, mimo że treść mówi o dwóch różnych liczbach. Odpowiedź $A$ to po prostu przepisana prawa strona równania.

Odpowiedź: B

1. Tu zmienia się jedna rzecz i zmienia wszystko: po prawej stronie nie stoi liczba, tylko $\textcolor{#16A06A}{4x}$. Skróty z poprzednich zadań przestają działać.
2. Zanim cokolwiek policzysz, wykorzystaj to, co zawsze jest prawdą o wartości bezwzględnej: nigdy nie jest ujemna. Skoro lewa strona jest nieujemna, to prawa też musi być: $\textcolor{#16A06A}{4x} \geqslant 0$, czyli $x \geqslant \textcolor{#E0453A}{0}$.
3. To od razu wyklucza odpowiedzi $A$ i $D$ — obie są ujemne — i to bez żadnego rachunku.
4. Zostają dwie liczby do sprawdzenia. Dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$: lewa strona $|3 \cdot 1 + 1| = \textcolor{#E0453A}{4}$, prawa $4 \cdot 1 = \textcolor{#E0453A}{4}$. Równe ✓
5. Dla $x = \textcolor{#16A06A}{2}$: lewa strona $|3 \cdot 2 + 1| = \textcolor{#E0453A}{7}$, prawa $4 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{8}$. Różne ✗
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola pełnym rozwiązaniem, żeby zobaczyć, co się dzieje z drugim przypadkiem. Rozbicie daje $3x+1 = 4x$, czyli $x = 1$, oraz $3x+1 = -4x$, czyli $7x = -1$, czyli $x = -\tfrac17$. Ale ta druga liczba jest ujemna, a prawa strona musi być nieujemna — podstawienie potwierdza: $\left|3 \cdot \left(-\tfrac17\right) + 1\right| = \tfrac47$, a $4 \cdot \left(-\tfrac17\right) = -\tfrac47$. To nie jest to samo. Drugi przypadek odpada, więc równanie ma tylko jedno rozwiązanie.

💡 Wskazówka: Gdy po prawej stronie równania stoi wyrażenie z niewiadomą, zacznij od warunku $\text{prawa strona} \geqslant 0$. Bardzo często odsiewa on połowę odpowiedzi zanim zaczniesz liczyć. A przy zadaniu zamkniętym najszybciej i tak jest podstawiać: cztery podstawienia to cztery rachunki, a pełne rozwiązanie to dwa przypadki plus sprawdzanie każdego z osobna.

⚠ Rozbicie na przypadki i podanie obu wyników bez sprawdzenia. Drugi przypadek daje $x = -\tfrac17$ — liczbę, która nie spełnia wyjściowego równania, mimo że wyszła z poprawnie przeprowadzonego rachunku. To nie jest błąd rachunkowy: rozbicie na przypadki potrafi wyprodukować rozwiązanie pozorne i dlatego przy niewiadomej po prawej stronie sprawdzenie nie jest ozdobnikiem, tylko częścią metody. W zadaniu otwartym pominięcie go kosztuje punkt.

Odpowiedź: B

1. Znowu niewiadoma po prawej stronie, więc znowu zaczynamy od warunku znaku: prawa strona to $\textcolor{#16A06A}{x}$, a lewa jest nieujemna, więc musi być $x \geqslant \textcolor{#E0453A}{0}$. Odpowiedzi $A$ i $D$ odpadają natychmiast.
2. Dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$: lewa strona $|4 \cdot 1 - 5| = |-1| = \textcolor{#E0453A}{1}$, prawa $\textcolor{#E0453A}{1}$. Równe ✓
3. Dla $x = \textcolor{#16A06A}{2}$: lewa strona $|4 \cdot 2 - 5| = \textcolor{#E0453A}{3}$, prawa $\textcolor{#E0453A}{2}$. Różne ✗
4. Odpowiedź: B.
5. Kontrola pełnym rozwiązaniem — i tu jest różnica względem poprzedniego zadania. Rozbicie daje $4x - 5 = x$, czyli $3x = 5$, czyli $x = \tfrac53$, oraz $-(4x-5) = x$, czyli $5 = 5x$, czyli $x = 1$. Obie liczby są dodatnie i obie sprawdzają się w równaniu: $\left|4 \cdot \tfrac53 - 5\right| = \left|\tfrac53\right| = \tfrac53$ ✓. To równanie ma więc dwa rozwiązania.
6. Dlatego treść pyta „wskaż liczbę, która spełnia”, a nie „wskaż wszystkie rozwiązania”. Wśród odpowiedzi jest tylko jedno z dwóch rozwiązań — i to wystarczy, żeby zadanie miało jednoznaczną odpowiedź. Warto zauważyć, jak inaczej wygląda to samo pytanie w poprzednim zadaniu: tam drugi przypadek dawał liczbę pozorną, tutaj daje prawdziwe drugie rozwiązanie, którego po prostu nie ma na liście.

💡 Wskazówka: Czytaj polecenie dosłownie. „Wskaż liczbę, która spełnia równanie” nie znaczy „podaj wszystkie rozwiązania” — wystarczy sprawdzić podane cztery i wybrać tę, która przechodzi. Nie trzeba rozwiązywać równania, a przy niewiadomej po obu stronach jest to zauważalnie szybsze.

⚠ Odrzucenie odpowiedzi $B$ dlatego, że pełne rozwiązanie daje dwie liczby, a tylko jedna jest na liście — i szukanie w związku z tym błędu tam, gdzie go nie ma. Drugi błąd to pominięcie warunku $x \geqslant 0$ i mozolne sprawdzanie wszystkich czterech odpowiedzi, w tym dwóch ujemnych: dla $x = -1$ lewa strona wynosi $9$, a prawa $-1$, co widać od razu, jeśli tylko spojrzeć na znaki.