Płatny materiał · sklep
Trygonometria kąta wypukłego — kartkówka, liceum klasa 2
Kąty rozwarte, znaki funkcji, punkt na ramieniu kąta.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Strona główna › Trygonometria › Wykresy funkcji trygonometrycznych — zestawienie
Wykresy funkcji trygonometrycznych — zestawienie
Sinus i cosinus to ta sama fala przesunięta o ćwierć okresu. Tangens jest zupełnie inny: rośnie bez ograniczeń, rozpada się na osobne kawałki i ma dwa razy krótszy okres. Ta strona zbiera wszystkie trzy w jednej tabeli i pokazuje, skąd biorą się różnice. Szczegóły sinusa opisuję przy wykresie funkcji sinus, a cosinusa — przy wykresie funkcji cosinus.
Krótko: Sinus i cosinus mają okres 2π i wartości od −1 do 1, a tangens ma okres π i przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste. Wykres cosinusa to wykres sinusa przesunięty o π/2 w lewo.
1Trzy wykresy w jednej tabeli
Materiał rozszerzony
Podstawa dla liceum, dział VII. Trygonometria, zakres rozszerzony, punkt 2 brzmi dosłownie: „posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens”. Punkt 3 dokłada: „wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych”.
W zakresie podstawowym ten sam dział mówi tylko o definicjach „dla kątów od do ” (punkt 1) — o wykresach nie wspomina. Na maturze podstawowej wykresy funkcji trygonometrycznych nie są więc wymagane.
| własność | |||
|---|---|---|---|
| okres | |||
| zbiór wartości | wszystkie liczby | ||
| dziedzina | wszystkie kąty | wszystkie kąty | bez |
| miejsca zerowe | |||
| asymptoty pionowe | brak | brak | w |
| parzystość | nieparzysta | parzysta | nieparzysta |
| wykres | jedna ciągła fala | jedna ciągła fala | osobne gałęzie |
Każdy wiersz sprawdziłem liczbowo. Okresowość — porównując wartości w kątach co pół stopnia z wartościami przesuniętymi o pełny okres: zero niezgodności. Zbiory wartości — przechodząc po dwóch pełnych okresach co setną stopnia: sinus i cosinus nie wyszły poza ani razu, a tangens osiągnął wartość ponad i rósł dalej.
Najważniejsza kolumna to trzecia. Tangens łamie trzy rzeczy naraz: nie jest ograniczony, nie jest określony wszędzie i ma krótszy okres. Wszystkie trzy różnice mają jedno wspólne źródło — o czym niżej.
Wykres jest ostatnim krokiem: żeby go czytać, trzeba wcześniej znać definicje, wartości dla kątów szczególnych i wzory redukcyjne, a te tematy ułożyłem po kolei w przewodniku po funkcjach trygonometrycznych.
2Skąd biorą się różnice: tangens to iloraz
Tangens nie jest osobną, tajemniczą funkcją. Z definicji jest ilorazem dwóch poprzednich:
Z tego jednego wzoru wynika cała trzecia kolumna tabeli.
Dlaczego są asymptoty. Ułamek nie ma sensu, gdy mianownik jest zerem. Cosinus zeruje się w i — sprawdziłem, obie wartości wychodzą rzędu , czyli zero z dokładnością komputera. W tych miejscach tangens nie istnieje, a wykres ucieka do nieskończoności.
Widać to na liczbach: , a . Im bliżej , tym wartość większa — bez żadnego ograniczenia.
Dlaczego miejsca zerowe są tam, gdzie sinusa. Ułamek równa się zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się licznik (przy niezerowym mianowniku). Licznikiem jest sinus, więc tangens zeruje się dokładnie tam, gdzie on: w , , i tak dalej.
Dlaczego okres jest o połowę krótszy. Po przesunięciu o oba — licznik i mianownik — zmieniają znak na przeciwny. Minus przez minus się skraca i iloraz zostaje ten sam:
Sprawdziłem tę równość we wszystkich kątach z dziedziny — zero niezgodności. Sprawdziłem też, że krótszy okres nie działa: nie pokrywa się z w żadnym z kątów.
Kontrola dla sinusa — okres naprawdę wynosi
Skoro tangens ma okres , warto sprawdzić, czy sinus przypadkiem też nie. Nie ma: , czyli wartość przeciwna, a nie ta sama.
Dlatego pełna fala sinusa potrzebuje , a tangens „resetuje się” dwa razy częściej. To najkrótsza odpowiedź na pytanie, czemu jego wykres wygląda na gęstszy.
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Trygonometria” (liceum, klasa 2), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Trygonometria”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł23,40 zł−11,50 złLiceum, klasa 2, na cały rok28 arkuszy, 1,60 zł za arkusz44,90 zł
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
3Sinus i cosinus — jedna fala, dwa ustawienia
Dwie pierwsze kolumny tabeli różnią się w dwóch wierszach — miejscami zerowymi i parzystością. Obie różnice mają jedno źródło: wykres cosinusa to sinusoida przesunięta o w lewo.
Sprawdziłem tę tożsamość na kątach obejmujących dwa pełne okresy — zgodność w każdym.
Co z tego wynika praktycznie. Wszystko, co umiesz o sinusie, przenosi się na cosinus po przesunięciu argumentu. Nie trzeba pamiętać dwóch zestawów miejsc zerowych, dwóch przedziałów monotoniczności ani dwóch tabelek wartości.
Parzystość to najważniejsza z tych różnic. Cosinus jest parzysty: , więc jego wykres jest symetryczny względem osi . Sinus i tangens są nieparzyste: , a ich wykresy są symetryczne względem początku układu.
Wszystkie trzy własności sprawdziłem na kątach — po zero niezgodności dla każdej. Same symetrie wykresu opisuję przy przekształcaniu wykresu przez symetrie.
Monotoniczność — jeszcze jedna różnica
Tangens jest rosnący na całym przedziale — sprawdziłem to, przechodząc przez cały przedział i porównując każdą wartość z poprzednią. Nie ma tam ani jednego miejsca, w którym by malał.
Sinus i cosinus tak nie potrafią. Na przedziale sinus najpierw rośnie, potem maleje, potem znów rośnie. Dlatego mówi się o przedziałach monotoniczności, a nie o jednej odpowiedzi.
To praktyczna różnica przy rozwiązywaniu równań: ma w każdym okresie dokładnie jedno rozwiązanie, a dla z wnętrza zbioru wartości — dwa.
4Jak naszkicować każdy z trzech
Do szkicu nie trzeba tablic — wystarczą punkty charakterystyczne i kształt między nimi.
Sinus. Zaznacz , , , , i połącz je gładką falą. Potem powtarzaj wzór co w obie strony.
Cosinus. Ta sama fala, ale zaczynasz od góry: , , , , .
Tangens. Najpierw narysuj asymptoty — pionowe proste w , , . Między każdą parą asymptot narysuj krzywą przechodzącą przez zero w środku przedziału i uciekającą w dół przy lewej asymptocie, a w górę przy prawej.
Trzy punkty na gałąź wystarczą: , , . Sprawdziłem: dokładnie.
| kąt | — postać dokładna |
|---|---|
| nie istnieje |
Kontrola tabeli. Iloczyn musi wynosić , bo kąty dopełniają się do i ich tangensy są odwrotnościami. Przeliczyłem: wychodzi z dokładnością do dziewięciu miejsc ✓
Wartości zostawiam w postaci dokładnej — , a nie . Zaokrągla się tylko wtedy, gdy polecenie tego wymaga.
5Przykłady krok po kroku
Trzy zadania: odczyt z tabeli, wyznaczenie dziedziny i porównanie liczby rozwiązań równania.
Przykład 1 Ile rozwiązań w jednym okresie
Ile rozwiązań w przedziale ma równanie , a ile ?
- Tangens. Jego okres wynosi , a w przedziale mieszczą się dwa pełne okresy.
- W każdym okresie tangens jest rosnący, więc przyjmuje każdą wartość dokładnie raz — stąd rozwiązania.
- Konkretnie: oraz , bo .
- Sinus. Jego okres to , więc w przedziale mieści się jeden okres.
- Ale sinus nie jest w nim monotoniczny — najpierw rośnie do , potem maleje do . Wartość osiąga więc dwa razy: oraz .
- Kontrola: ✓ oraz ✓
Odpowiedź: Oba równania mają po rozwiązania, ale z zupełnie różnych powodów.
Zbieżność liczb jest przypadkowa i dlatego przykład jest pouczający. Tangens ma dwa rozwiązania, bo mieszczą się dwa okresy po jednym rozwiązaniu. Sinus — bo w jednym okresie przyjmuje tę wartość dwukrotnie.
Przykład 2 Dziedzina wyrażenia z tangensem
Wyznacz dziedzinę wyrażenia w przedziale .
- Dwa warunki naraz. Pierwszy: tangens musi istnieć, czyli .
- Cosinus zeruje się w i — te kąty odpadają.
- Drugi: mianownik całego wyrażenia nie może być zerem, czyli .
- Sinus zeruje się w , i — te też odpadają.
- Kontrola liczbowa: i wychodzą rzędu , a , i tak samo — wszystkie pięć to rzeczywiście zera ✓
- Z przedziału wypada więc pięć kątów.
Odpowiedź: .
Najczęstsza pomyłka to pominięcie pierwszego warunku — bo cosinus w zapisie wyrażenia nigdzie nie widnieje. Kryje się w definicji tangensa i trzeba go tam sobie przypomnieć.
Przykład 3 Odczyt okresu z wykresu
Wykres pewnej funkcji trygonometrycznej przecina oś w punktach , , i ma pionowe asymptoty w oraz . Która to funkcja?
- Asymptoty pionowe ma tylko jedna z trzech funkcji — . Sinus i cosinus są określone dla każdego kąta.
- Sprawdzam położenie asymptot: powinny wypadać tam, gdzie , czyli w i ✓ zgadza się.
- Sprawdzam miejsca zerowe: tangens zeruje się tam, gdzie sinus, czyli w , , ✓ też się zgadza.
- Kontrola okresu: odległość między kolejnymi miejscami zerowymi wynosi — dokładnie tyle, ile wynosi okres tangensa.
- Gdyby to był sinus, miejsca zerowe leżałyby w tych samych punktach, ale asymptot nie byłoby wcale — i to rozstrzyga.
Odpowiedź: To wykres funkcji .
Zwróć uwagę, że same miejsca zerowe nie wystarczyły do odpowiedzi — sinus ma je w tych samych punktach. Rozstrzygnęły dopiero asymptoty — cecha, której pozostałe dwie funkcje nie mają w ogóle. Nie jest ona jedyną taką cechą tangensa: ma on również okres zamiast (w mierze łukowej: zamiast ) i nieograniczony zbiór wartości. Na rysunku asymptoty widać jednak najszybciej.
6Najczęstsze błędy
Pierwsze dwa błędy biorą się z przenoszenia na tangens tego, co jest prawdą tylko o sinusie i cosinusie.
Przypisanie tangensowi okresu
Skąd się bierze: Sinus i cosinus mają okres , więc odruchowo przypisuje się go wszystkim trzem funkcjom. Tangens ma jednak okres — po przesunięciu o tyle licznik i mianownik zmieniają znak i minusy się skracają. Sprawdziłem to na wszystkich kątach z dziedziny: równość zachodzi bez wyjątku.
Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez przyczynę, nie przez liczbę: tangens to iloraz, a iloraz nie odróżnia dwóch minusów od dwóch plusów. Stąd połowa okresu.
Ograniczanie wartości tangensa do przedziału od do
Skąd się bierze: Ograniczenie dotyczy wyłącznie sinusa i cosinusa. Tangens przyjmuje każdą liczbę rzeczywistą: przy osiąga wartość ponad pół miliona i rośnie dalej. Zapis jest po prostu fałszywy.
Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj, o którą funkcję chodzi, zanim zastosujesz ograniczenie. Przy tangensie żadne górne ograniczenie nie obowiązuje — jego zbiór wartości to cała oś liczbowa.
Pominięcie warunku na cosinus przy dziedzinie wyrażenia z tangensem
Skąd się bierze: W zapisie cosinus nigdzie nie widnieje, więc łatwo go przeoczyć. Kryje się jednak w definicji tangensa i wyklucza kąty oraz — bez tego dziedzina jest podana za szeroko.
Jak zrobić dobrze: Za każdym razem, gdy w wyrażeniu pojawia się tangens, dopisz odruchowo warunek . Przy cotangensie analogicznie .
Rysowanie wykresu tangensa jako jednej ciągłej linii
Skąd się bierze: Wykres tangensa rozpada się na osobne gałęzie rozdzielone asymptotami. Połączenie ich kreską sugeruje, że funkcja przyjmuje w jakąś wartość — a ona tam nie istnieje.
Jak zrobić dobrze: Zacznij rysunek od asymptot, dopiero potem rysuj gałęzie. Każda gałąź kończy się przy asymptocie i nigdy jej nie dotyka — tak samo jak przy funkcji homograficznej.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Trygonometria — test, liceum klasa 2
Kąt ostry i kąt wypukły, wartości 30°, 45°, 60°, tożsamości.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →7Pytania i odpowiedzi
Dlaczego tangens ma okres dwa razy krótszy niż sinus?
Bo jest ilorazem sinusa przez cosinus, a po przesunięciu o połowę pełnego kąta obie te funkcje zmieniają znak na przeciwny. Minusy w liczniku i mianowniku się skracają, więc wartość ilorazu zostaje ta sama.
Gdzie leżą asymptoty wykresu tangensa?
Tam, gdzie zeruje się cosinus, czyli przy kątach prostych i co pół pełnego obrotu dalej. W tych miejscach mianownik ilorazu byłby zerem, więc funkcja nie ma tam żadnej wartości.
Czy tangens przyjmuje tylko wartości od minus jeden do jeden?
Nie, to ograniczenie dotyczy wyłącznie sinusa i cosinusa. Tangens przyjmuje każdą liczbę rzeczywistą i przy kątach bliskich prostemu rośnie bez żadnego ograniczenia.
Czym różni się wykres cosinusa od wykresu sinusa?
Kształtem niczym, bo to ta sama fala przesunięta o ćwierć pełnego obrotu w lewo. Różni je natomiast symetria: cosinus jest funkcją parzystą, a sinus nieparzystą.
Ile rozwiązań ma równanie z tangensem w jednym okresie?
Dokładnie jedno, bo tangens jest w każdym okresie funkcją rosnącą i każdą wartość przyjmuje tylko raz. Sinus i cosinus przyjmują większość wartości w okresie dwukrotnie.
Czy wykresy funkcji trygonometrycznych są na maturze podstawowej?
Nie, podstawa umieszcza je w zakresie rozszerzonym. Na poziomie podstawowym wymagane są tylko definicje dla kątów od zera do kąta półpełnego oraz wartości dla kątów szczególnych.
Jak wygląda wykres funkcji trygonometrycznych?
Sinus i cosinus dają falę wahającą się między minus jeden a jeden, różniącą się tylko przesunięciem. Tangens wygląda inaczej — rośnie od minus nieskończoności do plus nieskończoności i powtarza się co sto osiemdziesiąt stopni, z asymptotami pionowymi w miejscach nieokreśloności.
Czytaj dalej
Wykres funkcji sinusJak powstaje sinusoida i co z niej odczytaćWykres funkcji cosinusTa sama fala przesunięta i różnica w parzystościMiara łukowa kątaTe same wykresy w radianach zamiast stopniJedynka trygonometrycznaWzór na tangens jako iloraz i technika upraszczaniaPojęcie miary kąta i jego uogólnienieKąt większy od pełnego i kąt ujemny: skąd się biorą, jak sprowadzić je do…
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
