Strona główna › Trygonometria › Wzory trygonometryczne

Wzory trygonometryczne

Tablice wzorów trygonometrycznych wyglądają groźnie — dwadzieścia wierszy, w każdym inna kombinacja znaków. W rzeczywistości wszystkie wzory redukcyjne da się odtworzyć jedną regułą, bez zaglądania do tablic i bez uczenia się ich na pamięć. Do tego dochodzą trzy wzory na sumę kątów i kąt podwojony, z których każdy ma konkretne zastosowanie. Definicje funkcji zakładam za znane — są w haśle o trygonometrii.

Dział: TrygonometriaPoziom: liceum — zakres rozszerzonyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Po co redukować kąt

W większości materiał rozszerzony

Podstawa dla liceum umieszcza wzory redukcyjne oraz wzory na sumę i różnicę kątów i kąt podwojony w zakresie rozszerzonym (dział VII, Trygonometria). Wyjątkiem jest wzór sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin\left(90^\circ - \alpha\right) = \cos\alpha, który podstawa wymienia w zakresie podstawowym.

Do matury podstawowej potrzebne są poza nim tylko definicje, wartości dla kątów szczególnych, jedynka trygonometryczna oraz twierdzenie cosinusów — wszystko to jest w haśle podstawowym. Twierdzenie sinusów należy już do zakresu rozszerzonego.

Tablice podają wartości funkcji dla kątów od 0°0° do 90°90°. Tymczasem w zadaniach pojawiają się kąty 150°150°, 240°240°, a przy funkcjach okresowych nawet 1000°1000°.

Wzory redukcyjne sprowadzają dowolny kąt do kąta ostrego — tak, żeby dało się odczytać wartość z tablicy albo z pamięci. To ich jedyne zadanie.

Warto zauważyć, że jeden taki wzór już znasz. Przy twierdzeniu cosinusów korzystaliśmy z zależności dla kątów rozwartych:

sin⁡(180°−α)=sin⁡α,cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha, \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha

To są wzory redukcyjne — po prostu najprostsze z całej rodziny. Reszta działa dokładnie tak samo, tylko dla innych kątów odniesienia.

2Jedna reguła zamiast tablicy

Każdy wzór redukcyjny ma postać f(k⋅90°±α)f(k \cdot 90° \pm \alpha), gdzie kk to liczba całkowita. Żeby go rozpisać, wystarczą dwa pytania.

Reguła w dwóch krokach

Krok 1 — czy funkcja się zmienia? Patrzysz na wielokrotność 90°90°:

• nieparzysta (90°90°, 270°270°) → funkcja zmienia się na kofunkcję: sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos, tg⁡↔ctg⁡\tg \leftrightarrow \ctg;

• parzysta (180°180°, 360°360°) → funkcja zostaje bez zmian.

Krok 2 — jaki znak? Ustalasz, w której ćwiartce leży kąt wyjściowy, i bierzesz znak, jaki ma tam funkcja pierwotna (ta z lewej strony wzoru).

Sprawdźmy regułę na dwóch przykładach.

sin⁡(180°−α)\sin(180° - \alpha). Wielokrotność 180°\textcolor{#16A06A}{180°} jest parzysta, więc sinus zostaje sinusem. Dla α\alpha ostrego kąt 180°−α180° - \alpha leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni. Wynik: +sin⁡α\textcolor{#E0453A}{+\sin\alpha} ✓

cos⁡(90°+α)\cos(90° + \alpha). Wielokrotność 90°\textcolor{#16A06A}{90°} jest nieparzysta, więc cosinus zmienia się w sinus. Kąt 90°+α90° + \alpha leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny. Wynik: −sin⁡α\textcolor{#E0453A}{-\sin\alpha} ✓

Kontrola liczbowa drugiego: dla α=30°\alpha = \textcolor{#16A06A}{30°} mamy cos⁡120°=−12\cos \textcolor{#16A06A}{120°} = \textcolor{#2F80D8}{-\frac{1}{2}}, a −sin⁡30°=−12-\sin \textcolor{#16A06A}{30°} = \textcolor{#2F80D8}{-\frac{1}{2}} ✓

kątsin⁡\sincos⁡\cosfunkcja
90°−α90° - \alphacos⁡α\cos\alphasin⁡α\sin\alphazmienia się
90°+α90° + \alphacos⁡α\cos\alpha−sin⁡α-\sin\alphazmienia się
180°−α180° - \alphasin⁡α\sin\alpha−cos⁡α-\cos\alphazostaje
180°+α180° + \alpha−sin⁡α-\sin\alpha−cos⁡α-\cos\alphazostaje
270°−α270° - \alpha−cos⁡α-\cos\alpha−sin⁡α-\sin\alphazmienia się
360°−α360° - \alpha−sin⁡α-\sin\alphacos⁡α\cos\alphazostaje

Tej tabeli nie trzeba pamiętać — każdy wiersz odtwarza się regułą w kilka sekund. Warto natomiast pamiętać znaki funkcji w ćwiartkach, bo bez nich krok drugi nie działa.

Znaki w ćwiartkach

I ćwiartka (0°0°–90°90°): wszystkie dodatnie.

II (90°90°–180°180°): tylko sinus dodatni.

III (180°180°–270°270°): tylko tangens dodatni.

IV (270°270°–360°360°): tylko cosinus dodatni.

3Suma i różnica kątów

Te wzory pozwalają policzyć wartość funkcji dla kąta, którego nie ma w tablicy, o ile da się go rozłożyć na dwa znane.

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

Dla różnicy wystarczy zamienić znak w środku — i tylko w środku:

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

Zwróć uwagę na przeciwne znaki w obu parach: przy sinusie suma kątów daje plus, a przy cosinusie minus. To najczęściej mylone miejsce w całym dziale.

Pomaga jedno zdanie: sinus jest zgodny, cosinus przekorny. Sinus sumy ma plus, cosinus sumy ma minus.

Uwaga na wzór, którego nie ma

sin⁡(α+β)≠sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha + \beta) \neq \sin\alpha + \sin\beta — i to nie jest drobiazg.

Kontrprzykład: sin⁡(30°+30°)=sin⁡60°≈0,87\sin(30° + 30°) = \sin 60° \approx 0{,}87, a sin⁡30°+sin⁡30°=1\sin 30° + \sin 30° = 1. Wartości są różne.

To ta sama pułapka co przy wzorach skróconego mnożenia i logarytmach: działanie nie rozdziela się względem dodawania. Nazwa funkcji przed nawiasem nie pozwala tego nawiasu po prostu opuścić.

4Kąt podwojony

Wzory na kąt podwojony nie są osobną wiedzą — wychodzą z sumy kątów po podstawieniu β=α\beta = \alpha.

sin⁡2α=sin⁡(α+α)=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{2\sin\alpha\cos\alpha}
cos⁡2α=cos⁡(α+α)=cos⁡αcos⁡α−sin⁡αsin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}

Cosinus podwojonego kąta ma trzy równoważne postacie — i to bywa mylące, bo w tablicach stoją obok siebie:

postaćkiedy wygodna
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alphagdy znasz obie funkcje
cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alphagdy znasz tylko sinus
cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1gdy znasz tylko cosinus

Wszystkie trzy to ten sam wzór. Dwie dolne powstają z górnej przez podstawienie jedynki trygonometrycznej w postaci cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha albo sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha.

Kontrola liczbowa dla α=30°\alpha = \textcolor{#16A06A}{30°}:

Najczęstszy błąd w tym miejscu: zapis sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha. Dla α=30°\alpha = 30° dałoby to 2⋅12=12 \cdot \frac{1}{2} = \textcolor{#9b1c14}{1}, a prawidłowa wartość sin⁡60°\sin 60° wynosi około 0,870{,}87. Mnożenie kąta przez dwa nie mnoży wartości funkcji przez dwa.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: redukcja kąta, wartość dla kąta spoza tablicy i zastosowanie kąta podwojonego.

Przykład 1 Redukcja kąta do ostrego

Oblicz sin⁡210°\sin \textcolor{#16A06A}{210°} oraz cos⁡330°\cos \textcolor{#16A06A}{330°}, korzystając ze wzorów redukcyjnych.

  1. Pierwszy. Rozkładam 210°=180°+30°\textcolor{#16A06A}{210°} = 180° + 30°, bo 180°180° jest wielokrotnością 90°90°, a 30°30° zostaje kątem ostrym.
  2. Wielokrotność 180°180° jest parzysta, więc sinus pozostaje sinusem.
  3. Kąt 210°\textcolor{#16A06A}{210°} leży w trzeciej ćwiartce, gdzie sinus jest ujemny.
  4. Zatem sin⁡210°=−sin⁡30°=−12\sin \textcolor{#16A06A}{210°} = -\sin 30° = \textcolor{#E0453A}{-\frac{1}{2}}.
  5. Drugi. Rozkładam 330°=360°−30°\textcolor{#16A06A}{330°} = 360° - 30°. Wielokrotność 360°360° jest parzysta, więc cosinus zostaje cosinusem.
  6. Kąt 330°\textcolor{#16A06A}{330°} leży w czwartej ćwiartce, gdzie cosinus jest dodatni.
  7. Zatem cos⁡330°=+cos⁡30°=32\cos \textcolor{#16A06A}{330°} = +\cos 30° = \textcolor{#2F80D8}{\frac{\sqrt3}{2}}.
  8. Kontrola pierwszego: sin⁡210°≈−0,5\sin 210° \approx -0{,}5 ✓, kontrola drugiego: cos⁡330°≈0,866\cos 330° \approx 0{,}866 ✓
  9. Kontrola sensu: w trzeciej ćwiartce dodatni jest tylko tangens, więc ujemny sinus się zgadza ✓

Odpowiedź: sin⁡210°=−12\sin 210° = -\frac{1}{2}, cos⁡330°=32\cos 330° = \frac{\sqrt3}{2}.

Rozkład warto robić zawsze na najbliższą wielokrotność 90°90°, tak żeby reszta była kątem ostrym. Dla 210°210° można też wziąć 270°−60°270° - 60° — wyjdzie to samo, ale funkcja się zmieni i łatwiej o pomyłkę.

Przykład 2 Wartość dla kąta spoza tablicy

Oblicz dokładną wartość sin⁡75°\sin \textcolor{#16A06A}{75°}.

  1. Kąta 75°\textcolor{#16A06A}{75°} nie ma wśród wartości szczególnych, ale rozkłada się na dwa znane: 75°=45°+30°\textcolor{#16A06A}{75°} = 45° + 30°.
  2. Stosuję wzór na sinus sumy: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta.
  3. sin⁡75°=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°\sin \textcolor{#16A06A}{75°} = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°
  4. Podstawiam wartości: 22⋅32+22⋅12\frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{1}{2}
  5. =64+24=6+24= \frac{\sqrt6}{4} + \frac{\sqrt2}{4} = \textcolor{#E0453A}{\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}}
  6. Wartość przybliżona: 2,449+1,4144≈0,966\frac{2{,}449 + 1{,}414}{4} \approx \textcolor{#2F80D8}{0{,}966}.
  7. Kontrola zakresu: sinus musi mieścić się między −1-1 a 11, a 0,9660{,}966 mieści się ✓
  8. Kontrola sensu: 75°\textcolor{#16A06A}{75°} leży blisko 90°90°, więc sinus powinien być bliski jedynki — i jest ✓
  9. Kontrola drugą drogą: 75°=90°−15°\textcolor{#16A06A}{75°} = 90° - 15°, więc sin⁡75°=cos⁡15°\sin 75° = \cos 15°, a cosinus małego kąta też jest bliski jedynki ✓

Odpowiedź: sin⁡75°=6+24\sin 75° = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.

Odpowiedź zostawia się w postaci dokładnej, z pierwiastkami — przybliżenie służy tylko do kontroli. Ten sam rozkład na 45°+30°45° + 30° działa dla cosinusa, tylko ze znakiem minus w środku.

Przykład 3 Kąt podwojony w zadaniu

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=0,6\sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{0{,}6}. Oblicz sin⁡2α\sin 2\alpha oraz cos⁡2α\cos 2\alpha.

  1. Najpierw potrzebuję cosinusa. Z jedynki trygonometrycznej: cos⁡2α=1−0,62=1−0,36=0,64\cos^2\alpha = 1 - \textcolor{#16A06A}{0{,}6}^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64.
  2. Kąt jest ostry, więc biorę wartość dodatnią: cos⁡α=0,8\cos\alpha = \textcolor{#2F80D8}{0{,}8}.
  3. sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅0,6⋅0,8=0,96\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}6} \cdot \textcolor{#2F80D8}{0{,}8} = \textcolor{#E0453A}{0{,}96}
  4. Dla cosinusa wybieram postać z samym sinusem, bo mam go podanego wprost: cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha.
  5. cos⁡2α=1−2⋅0,36=1−0,72=0,28\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot 0{,}36 = 1 - 0{,}72 = \textcolor{#8B5CF6}{0{,}28}
  6. Kontrola jedynką dla kąta podwojonego: 0,962+0,282=0,9216+0,0784=1\textcolor{#E0453A}{0{,}96}^2 + \textcolor{#8B5CF6}{0{,}28}^2 = 0{,}9216 + 0{,}0784 = 1 ✓
  7. Kontrola inną postacią: cos⁡2α−sin⁡2α=0,64−0,36=0,28\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 0{,}64 - 0{,}36 = \textcolor{#8B5CF6}{0{,}28} ✓
  8. Kontrola sensu: oba wyniki mieszczą się w przedziale od −1-1 do 11 ✓

Odpowiedź: sin⁡2α=0,96\sin 2\alpha = 0{,}96, cos⁡2α=0,28\cos 2\alpha = 0{,}28.

Kontrola jedynką trygonometryczną dla kąta 2α2\alpha jest tu wyjątkowo tania i wyłapuje każdą pomyłkę rachunkową. Warto ją robić zawsze, gdy liczy się obie funkcje naraz.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy opuszczania nawiasu.

Rozbijanie funkcji sumy kątów

Skąd się bierze: Zapis sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha + \sin\beta wygląda naturalnie, ale jest fałszywy. Dla α=β=30°\alpha=\beta=30° lewa strona to sin⁡60°≈0,87\sin 60° \approx 0{,}87, a prawa 11 — różnica jest widoczna gołym okiem.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj, że nazwa funkcji nie pozwala opuścić nawiasu. To ta sama zasada co przy (a+b)2(a+b)^2 i przy logarytmie sumy: działanie nie rozdziela się względem dodawania.

Mylenie znaku we wzorach na sumę kątów

Skąd się bierze: Sinus sumy ma w środku plus, a cosinus sumy minus — odwrotnie, niż podpowiada odruch. Pomyłka daje wynik o poprawnej wartości bezwzględnej, ale złym znaku, więc przechodzi przez kontrolę zakresu.

Jak zrobić dobrze: Trzymaj się zdania: sinus zgodny, cosinus przekorny. Kontrola liczbowa: dla α=β=45°\alpha=\beta=45° musi wyjść cos⁡90°=0\cos 90° = 0, a przy złym znaku wyjdzie 11.

Zapis sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha

Skąd się bierze: Dwójka stojąca przy kącie zostaje odruchowo przeniesiona przed funkcję. Dla α=30°\alpha=30° dawałoby to 11, podczas gdy sin⁡60°≈0,87\sin 60° \approx 0{,}87. Przy większych kątach błąd bywa jeszcze groźniejszy, bo wynik przekracza jedynkę.

Jak zrobić dobrze: Pamiętaj, że sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha — z cosinusem. Kontrola: jeśli wynik wyszedł większy od 11, na pewno pominięto cosinus.

Zapominanie o zmianie funkcji przy 90°90° i 270°270°

Skąd się bierze: Przy nieparzystej wielokrotności 90°90° sinus przechodzi w cosinus i odwrotnie. Pominięcie tego kroku daje wynik o poprawnym znaku, ale niewłaściwej funkcji — a to często ten sam rząd wielkości, więc błąd bywa niewidoczny.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zaczynaj od pytania „parzysta czy nieparzysta wielokrotność 90°90°”, a dopiero potem ustalaj znak. Kontrola: sin⁡(90°+30°)\sin(90°+30°) musi dać cos⁡30°=32\cos 30° = \frac{\sqrt3}{2}, a nie 12\frac{1}{2}.

Zadania maturalne — wzory redukcyjne i kąty dopełniające się do 90°

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Na maturze podstawowej z całej tabeli wzorów redukcyjnych potrzebne są w praktyce dwa:  sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin\left(90^\circ - \alpha\right) = \cos\alpha  oraz  cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha. Czyta się je jednym zdaniem: sinus kąta równa się cosinusowi kąta dopełniającego go do prostego. Praktyczny nawyk do wszystkich zadań na tej stronie: gdy zobaczysz dwa kąty, dodaj je. Jeśli wychodzi 90∘90^\circ, to funkcje jednego zamieniają się na funkcje drugiego i wyrażenie prawie zawsze zwija się do jedynki albo do liczby całkowitej. Drugi używany wzór dotyczy kątów rozwartych: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin\left(180^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2011)1 pktłatwe

Kąt α\alpha jest ostry oraz sin⁡α=cos⁡47∘\sin\alpha = \cos 47^\circ. Wtedy miara kąta α\alpha jest równa
  • A. 6∘6^\circ
  • B. 33∘33^\circ
  • C. 47∘47^\circ
  • D. 43∘43^\circ
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Po lewej stronie mamy sinus, po prawej cosinus — trzeba więc sprowadzić obie strony do tej samej funkcji. Robi to wzór redukcyjny.
  2. cos⁡47∘=sin⁡(90∘−47∘)=sin⁡43∘\cos \textcolor{#16A06A}{47^\circ} = \sin\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{47^\circ}\right) = \sin \textcolor{#E0453A}{43^\circ}
  3. Podstawiamy do równania z treści:
  4. sin⁡α=sin⁡43∘\sin\alpha = \sin \textcolor{#E0453A}{43^\circ}
  5. Skoro kąt α\alpha jest ostry, a sinus dla kątów od 0∘0^\circ do 90∘90^\circ przyjmuje każdą wartość dokładnie raz, to
  6. α=43∘\alpha = 43^\circ
  7. Odpowiedź: 43∘43^\circ, czyli D.
  8. Kontrola liczbowa: cos⁡47∘≈0,6820\cos 47^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6820} oraz sin⁡43∘≈0,6820\sin 43^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6820} ✓ Te same wartości.
  9. Sprawdzenie sumy kątów: 47∘+43∘=90∘\textcolor{#16A06A}{47^\circ} + 43^\circ = \textcolor{#E0453A}{90^\circ} ✓ — kąty dopełniają się do prostego, dokładnie jak każe wzór.
  10. Skąd dystraktory. Odpowiedź 47∘47^\circ (C) to przepisanie kąta z treści bez żadnej zamiany — jakby sinus i cosinus tego samego kąta były równe (co zachodzi tylko dla 45∘45^\circ). Odpowiedzi 6∘6^\circ (A) i 33∘33^\circ (B) to liczby-wypełniacze — nie stoi za nimi żadna naturalna pomyłka.

💡 Wskazówka: Gdy w jednym równaniu stoi sinus, a w drugim cosinus, zamień jedną funkcję na drugą wzorem cos⁡β=sin⁡(90∘−β)\cos\beta = \sin\left(90^\circ - \beta\right). Potem obie strony mają tę samą funkcję i można porównać same kąty. Kontrola na koniec zajmuje sekundę: dwa kąty muszą się sumować do 90∘90^\circ.

⚠ Podanie 47∘47^\circ (odpowiedź C), czyli przepisanie kąta z treści. Równość sin⁡α=cos⁡α\sin\alpha = \cos\alpha zachodzi tylko dla α=45∘\alpha = 45^\circ, więc dla 47∘47^\circ być prawdziwa nie może. Drugi błąd: odejmowanie od 180∘180^\circ zamiast od 90∘90^\circ i wyjście na 133∘133^\circ — kąt nie byłby wtedy ostry, co przeczy treści. Wzór z 180∘180^\circ dotyczy zamiany sin⁡(180∘−α)\sin\left(180^\circ - \alpha\right) na sin⁡α\sin\alpha, czyli tej samej funkcji, a nie przejścia z cosinusa na sinus.

Zadanie 2 (grudzień 2014)1 pktśrednie

Liczba sin⁡150∘\sin 150^\circ jest równa liczbie
  • A. cos⁡60∘\cos 60^\circ
  • B. cos⁡120∘\cos 120^\circ
  • C. tg⁡120∘\operatorname{tg} 120^\circ
  • D. tg⁡60∘\operatorname{tg} 60^\circ
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Kąt 150∘\textcolor{#16A06A}{150^\circ} jest rozwarty, więc najpierw sprowadzamy go do kąta ostrego wzorem redukcyjnym sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin\left(180^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha.
  2. sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12\sin \textcolor{#16A06A}{150^\circ} = \sin\left(180^\circ - \textcolor{#E0453A}{30^\circ}\right) = \sin \textcolor{#E0453A}{30^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}
  3. Teraz sprawdzamy każdą odpowiedź — wszystkie cztery kąty są z tabeli wartości szczególnych, więc rachunek jest krótki:
  4. A: cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12} ✓ — zgadza się.
  5. B: cos⁡120∘=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡60∘=−12\cos 120^\circ = \cos\left(180^\circ - 60^\circ\right) = -\cos 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac12} — ta sama wartość, ale ze znakiem minus, więc nie.
  6. C: tg⁡120∘=−tg⁡60∘=−3≈−1,73\operatorname{tg} 120^\circ = -\operatorname{tg} 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt3} \approx \textcolor{#E0453A}{-1{,}73} — nie.
  7. D: tg⁡60∘=3≈1,73\operatorname{tg} 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}73} — nie.
  8. Odpowiedź: cos⁡60∘\cos 60^\circ, czyli A.
  9. Krótsza droga, bez tabeli wartości. Zauważ, że 150∘\textcolor{#16A06A}{150^\circ} i 60∘60^\circ nie sumują się do 90∘90^\circ — ale sin⁡150∘=sin⁡30∘\sin 150^\circ = \sin 30^\circ, a 30∘+60∘=90∘30^\circ + 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{90^\circ}. Zatem sin⁡30∘=cos⁡60∘\sin 30^\circ = \cos 60^\circ wprost ze wzoru o kątach dopełniających.
  10. Kontrola znaku — najważniejsza rzecz w tym zadaniu. Kąt 150∘150^\circ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne. Skoro sin⁡150∘>0\sin 150^\circ > 0, to odpowiedzi o wartościach ujemnych (B i C) odpadają bez liczenia. Zostają A i D, a 3>1\sqrt3 > 1, podczas gdy sinus nigdy nie przekracza 11 — więc D też odpada.

💡 Wskazówka: Zacznij od znaku. Kąt 150∘150^\circ jest w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, więc szukana liczba jest dodatnia — to odrzuca cos⁡120∘\cos 120^\circ i tg⁡120∘\operatorname{tg} 120^\circ jednym spojrzeniem. Potem skorzystaj z tego, że sinus nigdy nie wychodzi poza przedział od −1-1 do 11, co odrzuca tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt3. Zostaje jedna odpowiedź i nie trzeba nawet znać wartości.

⚠ Wybór cos⁡120∘\cos 120^\circ (odpowiedź B) przez mechaniczne odjęcie 30∘30^\circ od obu liczb albo przez odruch „150−30=120150 - 30 = 120”. Wartość jest wtedy poprawna co do wielkości, ale ujemna — a sin⁡150∘\sin 150^\circ jest dodatni. Drugi błąd: wybór tg⁡60∘\operatorname{tg} 60^\circ (D), czyli 3≈1,73\sqrt3 \approx 1{,}73; żadna wartość sinusa nie może być większa od 11, więc ta odpowiedź odpada bez znajomości tabeli. Trzeci błąd: uznanie, że sin⁡150∘=sin⁡(150∘−90∘)=sin⁡60∘\sin 150^\circ = \sin\left(150^\circ - 90^\circ\right) = \sin 60^\circ — wzór redukcyjny dla sinusa kąta rozwartego odejmuje kąt od 180∘180^\circ, a nie od 90∘90^\circ.

Zadanie 3 (maj 2022)1 pktśrednie

Liczba cos⁡12∘⋅sin⁡78∘+sin⁡12∘⋅cos⁡78∘\cos 12^\circ \cdot \sin 78^\circ + \sin 12^\circ \cdot \cos 78^\circ jest równa
  • A. 12\dfrac{1}{2}
  • B. 22\dfrac{\sqrt2}{2}
  • C. 32\dfrac{\sqrt3}{2}
  • D. 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Dodajemy kąty z treści — to pierwszy odruch w każdym zadaniu z wzorami redukcyjnymi:
  2. 12∘+78∘=90∘\textcolor{#16A06A}{12^\circ} + \textcolor{#16A06A}{78^\circ} = \textcolor{#E0453A}{90^\circ}
  3. Kąty dopełniają się do prostego, więc funkcje jednego zamieniają się na funkcje drugiego:
  4. sin⁡78∘=sin⁡(90∘−12∘)=cos⁡12∘\sin \textcolor{#16A06A}{78^\circ} = \sin\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{12^\circ}\right) = \cos \textcolor{#E0453A}{12^\circ}
  5. cos⁡78∘=cos⁡(90∘−12∘)=sin⁡12∘\cos \textcolor{#16A06A}{78^\circ} = \cos\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{12^\circ}\right) = \sin \textcolor{#E0453A}{12^\circ}
  6. Podstawiamy oba do wyrażenia:
  7. cos⁡12∘⋅cos⁡12∘+sin⁡12∘⋅sin⁡12∘=cos⁡212∘+sin⁡212∘\textcolor{#16A06A}{\cos 12^\circ} \cdot \textcolor{#E0453A}{\cos 12^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\sin 12^\circ} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sin 12^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\cos^2 12^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\sin^2 12^\circ}
  8. A to jest jedynka trygonometryczna:
  9. sin⁡212∘+cos⁡212∘=1\textcolor{#E0453A}{\sin^2 12^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 12^\circ} = 1
  10. Odpowiedź: 11, czyli D.
  11. Kontrola liczbowa: cos⁡12∘≈0,9781\cos 12^\circ \approx 0{,}9781, sin⁡78∘≈0,9781\sin 78^\circ \approx 0{,}9781, sin⁡12∘≈0,2079\sin 12^\circ \approx 0{,}2079, cos⁡78∘≈0,2079\cos 78^\circ \approx 0{,}2079.
  12. 0,9781⋅0,9781+0,2079⋅0,2079≈0,9567+0,0432≈0,99990{,}9781 \cdot 0{,}9781 + 0{,}2079 \cdot 0{,}2079 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9567} + \textcolor{#E0453A}{0{,}0432} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9999} ✓ (drobna różnica to zaokrąglenia)
  13. Zwróć uwagę, że liczba 1212 w ogóle nie wchodzi do wyniku. Wyrażenie tej postaci jest równe 11 dla każdej pary kątów sumujących się do 90∘90^\circ — można było wziąć 30∘30^\circ i 60∘60^\circ albo 1∘1^\circ i 89∘89^\circ.

💡 Wskazówka: Zawsze dodaj kąty, które widzisz w treści. Suma 90∘90^\circ jest sygnałem, że zadanie jest o wzorach redukcyjnych, i wtedy zamiana funkcji jednego kąta na funkcje drugiego zwykle prowadzi wprost do jedynki trygonometrycznej. Tutaj wystarczy zamienić dwa czynniki, żeby całe wyrażenie zapadło się do 11.

⚠ Sięganie po wzór na sinus sumy kątów. On faktycznie daje ten wynik (sin⁡(12∘+78∘)=sin⁡90∘=1\sin\left(12^\circ + 78^\circ\right) = \sin 90^\circ = 1), ale nie ma go w wymaganiach matury podstawowej i łatwo pomylić go ze wzorem na cosinus sumy. Droga przez wzory redukcyjne i jedynkę korzysta wyłącznie z rzeczy obowiązkowych. Drugi błąd: zamiana tylko jednego czynnika, na przykład sin⁡78∘\sin 78^\circ na cos⁡12∘\cos 12^\circ, i zatrzymanie się przy cos⁡212∘+sin⁡12∘cos⁡78∘\cos^2 12^\circ + \sin 12^\circ \cos 78^\circ — trzeba zamienić oba, żeby powstała suma kwadratów. Trzeci błąd: wybór 22\tfrac{\sqrt2}{2} (B) przez skojarzenie z kątem 45∘45^\circ, który tu nie występuje.

Zadanie 4 (marzec 2012)1 pktśrednie

W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre: α=27∘\alpha = 27^\circ i β=63∘\beta = 63^\circ. Wtedy cos⁡α+sin⁡βcos⁡α\dfrac{\cos\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha} równa się
  • A. 1+sin⁡63∘1 + \sin 63^\circ
  • B. sin⁡63∘\sin 63^\circ
  • C. 11
  • D. 22
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Treść mówi o trójkącie prostokątnym, a to od razu daje informację o kątach: dwa kąty ostre w takim trójkącie zawsze sumują się do 90∘90^\circ. Sprawdźmy:
  2. 27∘+63∘=90∘\textcolor{#16A06A}{27^\circ} + \textcolor{#16A06A}{63^\circ} = \textcolor{#E0453A}{90^\circ} ✓
  3. Zamieniamy sin⁡β\sin\beta na cosinus kąta α\alpha:
  4. sin⁡63∘=sin⁡(90∘−27∘)=cos⁡27∘\sin \textcolor{#16A06A}{63^\circ} = \sin\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{27^\circ}\right) = \cos \textcolor{#E0453A}{27^\circ}
  5. Podstawiamy do licznika — oba składniki stają się identyczne:
  6. cos⁡27∘+cos⁡27∘cos⁡27∘=2cos⁡27∘cos⁡27∘=2\dfrac{\textcolor{#16A06A}{\cos 27^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos 27^\circ}}{\textcolor{#16A06A}{\cos 27^\circ}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}\textcolor{#16A06A}{\cos 27^\circ}}{\textcolor{#16A06A}{\cos 27^\circ}} = 2
  7. Odpowiedź: 22, czyli D.
  8. Kontrola liczbowa: cos⁡27∘≈0,8910\cos 27^\circ \approx 0{,}8910 i sin⁡63∘≈0,8910\sin 63^\circ \approx 0{,}8910 — te same wartości ✓
  9. 0,8910+0,89100,8910=1,78200,8910=2\dfrac{0{,}8910 + 0{,}8910}{0{,}8910} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1{,}7820}}{0{,}8910} = 2 ✓
  10. Zauważ, że dopiero po zamianie widać, że można skrócić. Przed zamianą licznik jest sumą dwóch różnych rzeczy i skracać nie wolno — mianownik dotyczy całego licznika, nie jednego składnika.
  11. Odpowiedź 1+sin⁡63∘1 + \sin 63^\circ (A) jest ciekawa: powstaje z poprawnego rozdzielenia ułamka na cos⁡27∘cos⁡27∘+sin⁡63∘cos⁡27∘=1+sin⁡63∘cos⁡27∘\tfrac{\cos 27^\circ}{\cos 27^\circ} + \tfrac{\sin 63^\circ}{\cos 27^\circ} = 1 + \tfrac{\sin 63^\circ}{\cos 27^\circ}, ale potem ktoś skraca mianownik, którego skrócić nie można. Poprawnie ten drugi ułamek jest równy 11, więc suma wynosi 22.

💡 Wskazówka: Informacja „trójkąt prostokątny” to w tych zadaniach nie ozdoba — to gwarancja, że kąty ostre sumują się do 90∘90^\circ, czyli że wzory redukcyjne wejdą w grę. Tu wystarczy zauważyć, że sin⁡63∘\sin 63^\circ i cos⁡27∘\cos 27^\circ to ta sama liczba, i cały ułamek robi się trywialny.

⚠ Skrócenie cos⁡α\cos\alpha z licznika i mianownika przed zamianą funkcji, czyli traktowanie sumy jak iloczynu. Prowadzi to do odpowiedzi sin⁡63∘\sin 63^\circ (B). Skracać można tylko czynniki, a licznik jest sumą — dopóki nie zamienimy sin⁡63∘\sin 63^\circ na cos⁡27∘\cos 27^\circ i nie zapiszemy licznika jako 2cos⁡27∘2\cos 27^\circ, nie ma co skracać. Drugi błąd: odpowiedź A, czyli zatrzymanie się na 1+sin⁡63∘cos⁡27∘1 + \tfrac{\sin 63^\circ}{\cos 27^\circ} i uznanie tego ułamka za sin⁡63∘\sin 63^\circ; on jest równy 11, bo licznik i mianownik to ta sama liczba.

Zadanie 5 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=23\sin\alpha = \dfrac{2}{3}. Wtedy cos⁡2(90∘−α)\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right) jest równy
  • A. 19\dfrac{1}{9}
  • B. 29\dfrac{2}{9}
  • C. 49\dfrac{4}{9}
  • D. 59\dfrac{5}{9}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Wyrażenie cos⁡2(90∘−α)\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right) znaczy: wartość cosinusa kąta 90∘−α90^\circ - \alpha, podniesiona do kwadratu. Zaczynamy więc od zamiany funkcji, a kwadrat zostawiamy na koniec.
  2. Wzór redukcyjny:
  3. cos⁡(90∘−α)=sin⁡α=23\cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{\dfrac23}
  4. Podnosimy do kwadratu:
  5. cos⁡2(90∘−α)=(23)2=49\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right) = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac23}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{9}}
  6. Odpowiedź: 49\tfrac49, czyli C.
  7. Kontrola liczbowa. Ze sin⁡α=23\sin\alpha = \tfrac23 wynika α≈41,81∘\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{41{,}81^\circ}, więc 90∘−α≈48,19∘90^\circ - \alpha \approx \textcolor{#E0453A}{48{,}19^\circ}.
  8. cos⁡48,19∘≈0,6667=23\cos 48{,}19^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6667} = \tfrac23 ✓, a 0,66672≈0,4444=490{,}6667^2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4444} = \tfrac49 ✓
  9. Uwaga na to, czego zadanie NIE wymaga. Nie trzeba liczyć cos⁡α\cos\alpha — a to najczęstsza pułapka. Odpowiedź 59\tfrac59 (D) to właśnie cos⁡2α\cos^2\alpha, bo 1−49=591 - \tfrac49 = \tfrac59. Kto odruchowo sięgnie po jedynkę trygonometryczną, trafi dokładnie w ten dystraktor.
  10. Sedno zadania: cos⁡(90∘−α)\cos\left(90^\circ - \alpha\right) to nie cos⁡α\cos\alpha. Nawias zmienia wszystko — wzór redukcyjny zamienia cosinus na sinus i wynik jest podany wprost w treści.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na nawias: cos⁡2(90∘−α)\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right) dotyczy kąta 90∘−α90^\circ - \alpha, a nie kąta α\alpha. Po zastosowaniu wzoru redukcyjnego dostajesz sin⁡α\sin\alpha, czyli liczbę podaną w treści — całe zadanie sprowadza się do podniesienia 23\tfrac23 do kwadratu. Jeśli łapiesz się na liczeniu cos⁡α\cos\alpha, to znak, że pominąłeś wzór redukcyjny.

⚠ Policzenie cos⁡2α\cos^2\alpha zamiast cos⁡2(90∘−α)\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right): z jedynki trygonometrycznej cos⁡2α=1−49=59\cos^2\alpha = 1 - \tfrac49 = \tfrac59, czyli odpowiedź D. To dystraktor ustawiony dokładnie na zignorowanie nawiasu. Drugi błąd: podniesienie do kwadratu tylko licznika i wybór 29\tfrac29 (B) — kwadrat ułamka to kwadrat licznika przez kwadrat mianownika. Trzeci: odpowiedź 19\tfrac19 (A), która powstaje z (13)2\left(\tfrac13\right)^2, czyli z pomylenia 23\tfrac23 z jego dopełnieniem do jedynki.

Zadanie 6 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Wartość wyrażenia 2sin⁡218∘+sin⁡272∘+cos⁡218∘2\sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ + \cos^2 18^\circ jest równa
  • A. 00
  • B. 11
  • C. 22
  • D. 44
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Dodajemy kąty: 18∘+72∘=90∘\textcolor{#16A06A}{18^\circ} + \textcolor{#16A06A}{72^\circ} = \textcolor{#E0453A}{90^\circ} — czyli wzory redukcyjne wchodzą w grę.
  2. Zamieniamy sin⁡272∘\sin^2 72^\circ na funkcję kąta 18∘18^\circ:
  3. sin⁡72∘=sin⁡(90∘−18∘)=cos⁡18∘⟹sin⁡272∘=cos⁡218∘\sin \textcolor{#16A06A}{72^\circ} = \sin\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{18^\circ}\right) = \cos \textcolor{#E0453A}{18^\circ} \qquad \Longrightarrow \qquad \sin^2 \textcolor{#16A06A}{72^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\cos^2 18^\circ}
  4. Podstawiamy — teraz wszystko dotyczy jednego kąta:
  5. 2sin⁡218∘+cos⁡218∘+cos⁡218∘=2sin⁡218∘+2cos⁡218∘\textcolor{#16A06A}{2}\textcolor{#16A06A}{\sin^2 18^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 18^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\cos^2 18^\circ} = \textcolor{#16A06A}{2}\textcolor{#16A06A}{\sin^2 18^\circ} + \textcolor{#E0453A}{2}\textcolor{#E0453A}{\cos^2 18^\circ}
  6. Wyciągamy dwójkę przed nawias:
  7. =2(sin⁡218∘+cos⁡218∘)=2⋅1=2= \textcolor{#E0453A}{2}\left(\textcolor{#16A06A}{\sin^2 18^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 18^\circ}\right) = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = 2
  8. Odpowiedź: 22, czyli C.
  9. Kontrola liczbowa: sin⁡18∘≈0,3090\sin 18^\circ \approx 0{,}3090, sin⁡72∘≈0,9511\sin 72^\circ \approx 0{,}9511, cos⁡18∘≈0,9511\cos 18^\circ \approx 0{,}9511.
  10. 2⋅0,0955+0,9045+0,9045=0,1910+1,8090=22 \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}0955} + \textcolor{#E0453A}{0{,}9045} + \textcolor{#E0453A}{0{,}9045} = \textcolor{#E0453A}{0{,}1910} + \textcolor{#E0453A}{1{,}8090} = 2 ✓
  11. Zwróć uwagę, że sin⁡72∘\sin 72^\circ i cos⁡18∘\cos 18^\circ to ta sama liczba (0,95110{,}9511) — dlatego drugi i trzeci składnik są identyczne i sumują się do podwojonego cos⁡218∘\cos^2 18^\circ.
  12. Dlaczego dwójka z treści nie psuje jedynki. Po zamianie mamy 2sin⁡2+2cos⁡22\sin^2 + 2\cos^2, czyli oba kwadraty pomnożone przez dwa — a to jest 22 razy jedynka. Gdyby przy jednym z nich stała inna liczba, wyrażenie nie zwinęłoby się tak ładnie i zależałoby od kąta.

💡 Wskazówka: Przy trzech składnikach najpierw sprowadź wszystko do jednego kąta — dopiero wtedy widać, co się z czym łączy. Tu zamiana sin⁡272∘\sin^2 72^\circ na cos⁡218∘\cos^2 18^\circ sprawia, że dwa składniki stają się identyczne, a współczynniki przy sin⁡2\sin^2 i cos⁡2\cos^2 wyrównują się na 22. To wyrównanie jest warunkiem, żeby dała się wyciągnąć jedynka.

⚠ Wybór 11 (odpowiedź B) przez zignorowanie dwójki przy pierwszym składniku i wyciągnięcie jedynki z sin⁡2+cos⁡2\sin^2 + \cos^2 bez sprawdzenia współczynników. Trzeba porównać, ile razy występuje każdy kwadrat — tu oba po dwa razy. Drugi błąd: wybór 44 (D) przez zsumowanie samych współczynników (2+1+12 + 1 + 1) bez zauważenia, że kwadraty łączą się w jedynkę. Trzeci błąd: zamiana sin⁡272∘\sin^2 72^\circ na sin⁡218∘\sin^2 18^\circ, czyli odejmowanie kąta bez zmiany funkcji; wtedy wychodzi 3sin⁡218∘+cos⁡218∘3\sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ, wyrażenie zależne od kąta, którego wartość (≈1,19\approx 1{,}19) nie występuje wśród odpowiedzi.

Zadanie 7 (maj 2011)1 pktśrednie

Wartość wyrażenia sin⁡238∘+cos⁡238∘−1sin⁡252∘+cos⁡252∘+1\dfrac{\sin^2 38^\circ + \cos^2 38^\circ - 1}{\sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ + 1} jest równa
  • A. 12\dfrac{1}{2}
  • B. 00
  • C. −12-\dfrac{1}{2}
  • D. 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Kąty 38∘\textcolor{#16A06A}{38^\circ} i 52∘\textcolor{#16A06A}{52^\circ} sumują się do 90∘\textcolor{#E0453A}{90^\circ}, ale tutaj to nie ma znaczenia — i to jest cała sztuczka zadania. W liczniku i mianowniku stoją pełne jedynki trygonometryczne, każda dla swojego kąta.
  2. Licznik. Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa 11, niezależnie od tego, jaki to kąt:
  3. sin⁡238∘+cos⁡238∘=1⟹licznik=1−1=0\textcolor{#16A06A}{\sin^2 38^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\cos^2 38^\circ} = \textcolor{#E0453A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad \text{licznik} = \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{0}
  4. Mianownik. Ta sama jedynka, dla kąta 52∘\textcolor{#16A06A}{52^\circ}:
  5. sin⁡252∘+cos⁡252∘=1⟹mianownik=1+1=2\textcolor{#16A06A}{\sin^2 52^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\cos^2 52^\circ} = \textcolor{#E0453A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad \text{mianownik} = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{2}
  6. Dzielimy:
  7. 02=0\dfrac{\textcolor{#E0453A}{0}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = 0
  8. Odpowiedź: 00, czyli B.
  9. Kontrola liczbowa: sin⁡38∘≈0,6157\sin 38^\circ \approx 0{,}6157, cos⁡38∘≈0,7880\cos 38^\circ \approx 0{,}7880, więc licznik to 0,3791+0,6209−1=00{,}3791 + 0{,}6209 - 1 = \textcolor{#E0453A}{0} ✓
  10. sin⁡52∘≈0,7880\sin 52^\circ \approx 0{,}7880, cos⁡52∘≈0,6157\cos 52^\circ \approx 0{,}6157, więc mianownik to 0,6209+0,3791+1=20{,}6209 + 0{,}3791 + 1 = \textcolor{#E0453A}{2} ✓
  11. Dlaczego mianownik jest ważny. Ułamek o zerowym liczniku jest równy zero tylko wtedy, gdy mianownik nie jest zerem. Tu mianownik wynosi 22, więc wszystko jest w porządku. Warto to zauważyć, bo autor zadania celowo dodał w mianowniku +1+1 zamiast −1-1 — gdyby było −1-1, mianownik byłby zerem i wyrażenie nie miałoby wartości.
  12. Zwróć uwagę, że kąty 38∘38^\circ i 52∘52^\circ są tu kompletnie nieistotne. Można je zamienić na dowolne inne i wynik się nie zmieni. Ich suma równa 90∘90^\circ to fałszywy trop — sugeruje wzory redukcyjne, których nie trzeba w ogóle użyć.

💡 Wskazówka: Nie rzucaj się na wzory redukcyjne tylko dlatego, że kąty sumują się do 90∘90^\circ. Najpierw sprawdź, czy w liczniku i mianowniku nie stoją pełne jedynki trygonometryczne — czyli sumy kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta. Jedynka nie wymaga, żeby kąt był szczególny; działa dla każdego. Tu wystarczy podstawić 11 w dwóch miejscach i policzyć 02\tfrac{0}{2}.

⚠ Sprowadzanie obu kątów do jednego wzorami redukcyjnymi — droga poprawna, ale zupełnie zbędna, bo jedynka działa dla każdego kąta osobno. Drugi błąd, poważniejszy: wybór 11 (odpowiedź D) przez skrócenie ułamka „jedynka przez jedynkę” bez uwzględnienia dodanych i odjętych liczb. Trzeba najpierw policzyć licznik (1−1=01 - 1 = 0) i mianownik (1+1=21 + 1 = 2) do końca, a dopiero potem dzielić. Trzeci błąd: uznanie, że skoro licznik jest zerem, to wyrażenie jest nieokreślone — zero w liczniku jest zupełnie w porządku, problem byłby z zerem w mianowniku.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D2. A3. D4. D5. C6. C
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Do czego służą wzory redukcyjne?

Do sprowadzenia dowolnego kąta do kąta ostrego, dla którego wartość funkcji można odczytać z tablicy lub z pamięci. Bez nich nie da się policzyć na przykład sin⁡210°\sin 210°, bo tablice podają wartości tylko od 0°0° do 90°90°.

Jak zapamiętać wzory redukcyjne?

Nie trzeba ich pamiętać. Wystarczy jedna reguła: przy nieparzystej wielokrotności 90°90° funkcja zmienia się na kofunkcję, przy parzystej zostaje, a znak bierze się z ćwiartki, w której leży kąt wyjściowy.

Jakie są wzory na sinus i cosinus sumy kątów?

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta oraz cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. Przy sinusie w środku stoi plus, a przy cosinusie minus — to najczęściej mylone miejsce.

Dlaczego sin⁡2α\sin 2\alpha nie równa się 2sin⁡α2\sin\alpha?

Bo podwojenie kąta nie podwaja wartości funkcji. Prawidłowy wzór to sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha. Dla α=30°\alpha = 30° błędny zapis dałby 11, a rzeczywista wartość sin⁡60°\sin 60° wynosi około 0,870{,}87.

Skąd biorą się trzy postacie wzoru na cos⁡2α\cos 2\alpha?

Wszystkie trzy to ten sam wzór. Podstawowa postać cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha - \sin^2\alpha przechodzi w pozostałe po zastosowaniu jedynki trygonometrycznej — wystarczy zastąpić jeden z kwadratów jego dopełnieniem do jedynki.

Czy wzory trygonometryczne są na maturze podstawowej?

Częściowo. Wzór sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin\left(90^\circ - \alpha\right) = \cos\alpha i wynikający z niego cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha należą do zakresu podstawowego (dział VII, proste zależności między funkcjami). Pozostałe wzory redukcyjne oraz wzory na sumę kątów i kąt podwojony podstawa umieszcza w zakresie rozszerzonym. Poza nimi na poziomie podstawowym wystarczą definicje, wartości szczególne, jedynka trygonometryczna i twierdzenie cosinusów — dział VII, punkt 3. Twierdzenie sinusów stoi w tym samym dziale, ale w zakresie rozszerzonym (punkt 7).

Czytaj dalej

TrygonometriaDefinicje funkcji i wartości dla kątów szczególnychTwierdzenie cosinusówTam pierwszy wzór redukcyjny jest już używanyWzory skróconego mnożeniaTa sama pułapka: nawiasu nie wolno opuścićLogarytmyTrzeci przypadek działania, które nie rozdziela się na sumęTrójkąt 30-60-90Źródło wartości używanych w przykładachWzór de Moivre'a — potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonychPostać trygonometryczna zamienia potęgowanie w mnożenie kąta. Moduł,…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22