Strona główna › Trygonometria › Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów

W każdym trójkącie naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok — to wiadomo od dawna. Twierdzenie sinusów mówi znacznie więcej: podaje dokładną proporcję między bokiem a kątem naprzeciw niego, i to taką samą dla wszystkich trzech par. Razem z twierdzeniem cosinusów pozwala rozwiązać dowolny trójkąt — a najważniejsze w praktyce jest to, które z nich wybrać.

Dział: TrygonometriaPoziom: liceum — zakres rozszerzonyZadań z matury: 24

Przejdź od razu do zadań (24) ↓

1Wzór i co w nim jest stałe

Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest taki sam dla wszystkich trzech par.

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

Oznaczenia są tu kluczowe: α\alpha leży naprzeciw boku aa, β\beta naprzeciw bb, a γ\gamma naprzeciw cc. Bok i kąt zawsze chodzą w parze — i to jest jedyna rzecz, którą trzeba przy tym wzorze pilnować.

W zadaniach nie używa się całego łańcucha naraz. Bierze się dwie części, te, w których są trzy znane wielkości i jedna szukana:

asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}

Stąd bok a=b⋅sin⁡αsin⁡βa = \frac{b \cdot \sin\alpha}{\sin\beta}, a kąt wyznacza się analogicznie, przekształcając proporcję w drugą stronę.

Gdzie to jest w podstawie — w zakresie rozszerzonym

Podstawa dla liceum, dział VII. Trygonometria, zakres rozszerzony, punkt 7 brzmi dosłownie: „stosuje twierdzenie sinusów”. Osobny punkt 8 dokłada obliczanie kątów i długości boków dowolnego trójkąta.

W zakresie podstawowym twierdzenia sinusów nie ma. Punkt 3 wymienia wyłącznie „stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta” (sam wzór jest w pliku podstawy grafiką, więc go nie odczytałem), a punkt 4 dotyczy obliczania kątów i boków trójkąta prostokątnego.

Praktycznie: do matury podstawowej twierdzenie sinusów nie jest wymagane — potrzebne jest twierdzenie cosinusów. Znać je jednak warto, bo w wielu zadaniach skraca rachunek.

Warto zauważyć, że twierdzenie potwierdza rachunkiem to, co widać na rysunku: skoro sinus rośnie dla kątów ostrych, a dla rozwartego sin⁡α=sin⁡(180∘−α)\sin\alpha = \sin(180^\circ-\alpha), większy kąt trójkąta daje większy licznik, a więc i dłuższy bok. Zależność jest jednak dokładna, a nie tylko jakościowa.

2Wspólna wartość to średnica okręgu opisanego

Ta część twierdzenia bywa pomijana, a jest najciekawsza — bo tłumaczy, czemu ten stosunek w ogóle jest stały.

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

gdzie RR to promień okręgu opisanego na trójkącie. Wspólna wartość nie jest więc przypadkową liczbą — to średnica okręgu przechodzącego przez wszystkie trzy wierzchołki.

Skąd to się bierze? Z faktu, o którym piszę przy kątach wpisanych: kąt oparty na średnicy jest prosty.

  1. Poprowadź średnicę z wierzchołka BB — trafi w punkt DD na okręgu.
  2. Trójkąt BCDBCD ma kąt prosty przy CC, bo BDBD jest średnicą.
  3. Kąty α\alpha i ∠BDC\angle BDC są wpisane oparte na tym samym łuku, więc są równe. Gdy α\alpha jest rozwarty, punkt DD leży na przeciwnym łuku i ∠BDC=180∘−α\angle BDC = 180^\circ - \alpha — ale sinusy tych kątów są równe, więc dalszy rachunek się nie zmienia.
  4. W trójkącie prostokątnym BCDBCD mamy sin⁡(∠BDC)=a2R\sin(\angle BDC) = \frac{a}{2R}, czyli sin⁡α=a2R\sin\alpha = \frac{a}{2R}.

Po przekształceniu wychodzi dokładnie asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R — i to samo rozumowanie działa dla pozostałych dwóch par. Stała wartość jest stała, bo okrąg opisany jest jeden.

Praktyczna konsekwencja

Znając jeden bok i kąt naprzeciw niego, znasz od razu promień okręgu opisanego: R=a2sin⁡αR = \frac{a}{2\sin\alpha}.

Dla trójkąta prostokątnego daje to znany wynik: kąt prosty leży naprzeciw przeciwprostokątnej, a sin⁡90°=1\sin 90° = 1, więc R=c2R = \frac{c}{2} — czyli połowa przeciwprostokątnej ✓

3Które twierdzenie wybrać

To pytanie pada w zadaniach częściej niż same wzory — i odpowiedź zależy wyłącznie od układu danych, nie od rodzaju trójkąta.

co masz daneczego szukasztwierdzenie
bok i kąt naprzeciw niego + jeszcze jedna wielkość z parybrakujący bok lub kątsinusów
dwa kąty i dowolny bokpozostałe bokisinusów
dwa boki i kąt między nimitrzeci bokcosinusów
trzy bokidowolny kątcosinusów

Reguła praktyczna mieści się w jednym zdaniu: jeśli widzisz kompletną parę „bok i kąt naprzeciw niego” — sinusy. Jeśli kąt leży między znanymi bokami — cosinusy.

Przy dwóch kątach i boku warto pamiętać, że trzeci kąt wychodzi od razu z sumy 180°180° — więc para „bok i kąt naprzeciw” zawsze da się wtedy skompletować.

⚠️ Pułapka dwóch rozwiązań

Gdy z twierdzenia sinusów wyznaczasz kąt, a nie bok, trzeba uważać: równanie sin⁡α=0,5\sin\alpha = 0{,}5 ma w trójkącie dwa rozwiązania — 30°30° i 150°150°, bo sin⁡(180°−α)=sin⁡α\sin(180°-\alpha) = \sin\alpha.

Rozstrzyga zwykle warunek dodatkowy: suma kątów nie może przekroczyć 180°180°, a naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.

Ta niejednoznaczność nie występuje przy wyznaczaniu boku — tam wynik jest zawsze jeden.

4Wzór na pole z sinusem — narzędzie z sąsiedniego punktu

Wzór na pole z sinusem stoi w podstawie razem z twierdzeniem cosinusów, w jednym punkcie zakresu podstawowego (dział VII, punkt 3) — twierdzenia sinusów w tym punkcie nie ma, bo ono należy do zakresu rozszerzonego. Sąsiedztwo nie jest jednak przypadkowe: wszystkie trzy narzędzia dotyczą tej samej sytuacji, czyli trójkąta opisanego przez boki i kąty.

P=12absin⁡γP = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

Kąt γ\gamma musi leżeć między bokami aa i bb — tak samo jak w twierdzeniu cosinusów. Wzór wychodzi wprost z klasycznego P=12⋅podstawa⋅wysokosˊcˊP = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}, bo wysokość opuszczona na bok aa wynosi bsin⁡γb\sin\gamma.

Warto zauważyć, że dzięki własności sin⁡(180°−γ)=sin⁡γ\sin(180° - \gamma) = \sin\gamma nie ma znaczenia, czy kąt jest ostry, czy rozwarty — wzór działa tak samo. Tę samą obserwację wykorzystuję przy polu rombu.

Dla γ=90°\gamma = 90° wzór redukuje się do P=12abP = \frac{1}{2}ab, czyli do znanego pola trójkąta prostokątnego — bo sin⁡90°=1\sin 90° = 1. To ta sama logika, co przy twierdzeniu cosinusów, gdzie kąt prosty zerował człon poprawkowy.

Wszystkie trzy narzędzia z tego punktu podstawy warto traktować łącznie: cosinusy liczą boki, sinusy liczą kąty i promień, a wzór z sinusem liczy pole — i w trudniejszym zadaniu zwykle używa się ich po kolei.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: brakujący bok, promień okręgu opisanego i wybór twierdzenia.

Przykład 1 Brakujący bok

W trójkącie α=30°\alpha = \textcolor{#16A06A}{30°}, β=45°\beta = \textcolor{#16A06A}{45°}, a bok a=10a = \textcolor{#16A06A}{10}. Oblicz bok bb.

  1. Mam kompletną parę: bok a=10a = \textcolor{#16A06A}{10} i kąt α=30°\alpha = \textcolor{#16A06A}{30°} leżący naprzeciw niego — więc twierdzenie sinusów.
  2. Zapisuję proporcję dla dwóch par: asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.
  3. Przekształcam: b=a⋅sin⁡βsin⁡α=10⋅sin⁡45°sin⁡30°b = \frac{a \cdot \sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{\textcolor{#16A06A}{10} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{45°}}{\sin \textcolor{#16A06A}{30°}}
  4. Podstawiam wartości: sin⁡45°=22\sin \textcolor{#16A06A}{45°} = \frac{\sqrt2}{2}, sin⁡30°=12\sin \textcolor{#16A06A}{30°} = \frac{1}{2}.
  5. b=10⋅2212=10⋅22⋅2=102b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt2}{2} \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{10\sqrt2}
  6. Kontrola sensu: 45°>30°\textcolor{#16A06A}{45°} > \textcolor{#16A06A}{30°}, więc bok bb musi być dłuższy od aa — i jest, bo 102>1010\sqrt2 > 10 ✓
  7. Kontrola nierównością trójkąta: trzeci kąt to 180°−30°−45°=105°180° - 30° - 45° = 105°, więc bok cc będzie najdłuższy — ale musi być krótszy od sumy pozostałych, czyli od 10+102=10(1+2)10 + 10\sqrt2 = 10\left(1+\sqrt2\right) ✓

Odpowiedź: b=102b = 10\sqrt2.

Kontrola przez porównanie kątów jest tu najtańsza: naprzeciw większego kąta zawsze leży dłuższy bok. Jeśli wynik temu przeczy, gdzieś odwrócono proporcję.

Przykład 2 Promień okręgu opisanego

W trójkącie bok a=12a = \textcolor{#16A06A}{12} leży naprzeciw kąta α=30°\alpha = \textcolor{#16A06A}{30°}. Oblicz promień okręgu opisanego.

  1. Korzystam z rozszerzonej postaci twierdzenia: asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R.
  2. 2R=12sin⁡30°=1212=242R = \frac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\sin \textcolor{#16A06A}{30°}} = \frac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\frac{1}{2}} = \textcolor{#2F80D8}{24}
  3. R=242=12R = \frac{\textcolor{#2F80D8}{24}}{2} = \textcolor{#E0453A}{12}
  4. Kontrola sensu: promień okręgu opisanego musi być co najmniej połową najdłuższego boku; 12≥122=6\textcolor{#E0453A}{12} \geq \frac{\textcolor{#16A06A}{12}}{2} = 6 ✓
  5. Kontrola przypadkiem granicznym: gdyby kąt wynosił 90°90°, wyszłoby R=122=6R = \frac{12}{2} = 6, czyli połowa przeciwprostokątnej — zgodnie z regułą dla trójkąta prostokątnego ✓
  6. Kontrola sensu geometrycznego: kąt 30°\textcolor{#16A06A}{30°} jest mały, więc bok naprzeciw niego jest krótką cięciwą dużego okręgu — stąd promień większy od samego boku ✓

Odpowiedź: R=12R = 12.

Ten wariant twierdzenia bywa pomijany na lekcjach, a bardzo skraca zadania o okręgu opisanym. Wystarczy jedna kompletna para bok–kąt, żeby mieć promień.

Przykład 3 Które twierdzenie wybrać

W trójkącie dane są boki 7\textcolor{#16A06A}{7} i 9\textcolor{#16A06A}{9} oraz kąt 40°\textcolor{#16A06A}{40°} między nimi. Czy do wyznaczenia trzeciego boku użyć twierdzenia sinusów?

  1. Sprawdzam układ danych: kąt 40°\textcolor{#16A06A}{40°} leży między znanymi bokami, a nie naprzeciw któregoś z nich.
  2. Twierdzenie sinusów wymaga kompletnej pary „bok i kąt naprzeciw niego” — tutaj takiej pary nie ma.
  3. Gdybym spróbował zapisać 7sin⁡α=9sin⁡β\frac{\textcolor{#16A06A}{7}}{\sin\alpha} = \frac{\textcolor{#16A06A}{9}}{\sin\beta}, dostałbym jedno równanie z dwiema niewiadomymi — nierozwiązywalne.
  4. Właściwym narzędziem jest twierdzenie cosinusów: c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma.
  5. c2=72+92−2⋅7⋅9⋅cos⁡40°≈49+81−126⋅0,766≈33,5c^2 = \textcolor{#16A06A}{7}^2 + \textcolor{#16A06A}{9}^2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{7} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} \cdot \cos \textcolor{#16A06A}{40°} \approx 49 + 81 - 126 \cdot 0{,}766 \approx \textcolor{#2F80D8}{33{,}5}
  6. c≈5,79c \approx \textcolor{#E0453A}{5{,}79}
  7. Kontrola nierównością trójkąta: 7+5,79=12,79>9\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#E0453A}{5{,}79} = 12{,}79 > \textcolor{#16A06A}{9} ✓ oraz 9−7=2<5,79\textcolor{#16A06A}{9} - \textcolor{#16A06A}{7} = 2 < \textcolor{#E0453A}{5{,}79} ✓
  8. Kontrola sensu: kąt 40°\textcolor{#16A06A}{40°} jest ostry, więc cc musi być krótszy niż przy kącie prostym, gdzie wyszłoby 130≈11,4\sqrt{130} \approx 11{,}4 ✓
  9. Dopiero teraz, mając trzeci bok, dałoby się użyć twierdzenia sinusów do wyznaczenia pozostałych kątów.

Odpowiedź: Nie — trzeba użyć twierdzenia cosinusów; c≈5,79c \approx 5{,}79.

To najważniejsze rozstrzygnięcie w całym dziale. Sprawdzenie zajmuje sekundę: czy któryś znany kąt leży naprzeciw znanego boku? Jeśli nie, sinusy nie pomogą.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy doboru pary bok–kąt.

Zestawianie boku z kątem, który nie leży naprzeciw niego

Skąd się bierze: Wzór wiąże bok wyłącznie z kątem naprzeciwległym. Podstawienie kąta przyległego daje proporcję, która nie jest prawdziwa, a wynik wygląda wiarygodnie i przechodzi przez kontrolę rzędu wielkości.

Jak zrobić dobrze: Przed podstawieniem wskaż na rysunku bok i sprawdź, który kąt leży dokładnie po drugiej stronie. Kontrola: naprzeciw dłuższego boku musi wyjść większy kąt.

Pomijanie drugiego rozwiązania przy wyznaczaniu kąta

Skąd się bierze: Równanie sin⁡α=0,5\sin\alpha = 0{,}5 ma w trójkącie dwa rozwiązania: 30°30° i 150°150°, bo sinus kąta rozwartego jest dodatni. Kalkulator poda tylko pierwsze, a drugie bywa jedynym poprawnym.

Jak zrobić dobrze: Po wyznaczeniu kąta sprawdź, czy wariant rozwarty też mieści się w trójkącie — suma kątów nie może przekroczyć 180°180°. Przy wyznaczaniu boku ten problem nie występuje.

Stosowanie sinusów przy dwóch bokach i kącie między nimi

Skąd się bierze: W takim układzie nie ma kompletnej pary bok–kąt naprzeciw, więc proporcja zawiera dwie niewiadome i nic z niej nie wynika. Próba prowadzi do jednego równania z dwiema niewiadomymi — żadnego z kątów nie da się z niego wyznaczyć.

Jak zrobić dobrze: Zadaj sobie jedno pytanie: czy znany kąt leży naprzeciw znanego boku? Jeśli leży między bokami — to twierdzenie cosinusów.

Odwracanie proporcji przy przekształcaniu

Skąd się bierze: Z asin⁡α=bsin⁡β\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} bok bb wyznacza się jako asin⁡βsin⁡α\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}, a nie asin⁡αsin⁡β\frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}. Pomyłka daje wynik odwrotny — zamiast wydłużenia otrzymuje się skrócenie.

Jak zrobić dobrze: Mnóż na krzyż zamiast przekształcać w pamięci: asin⁡β=bsin⁡αa\sin\beta = b\sin\alpha, a dopiero potem dziel. Kontrola przez porównanie kątów wychwyci odwrócenie natychmiast.

Zadania maturalne — dana zależność, policz wartość wyrażenia (zamknięte i otwarte)

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. Zestaw ćwiczy tożsamości trygonometryczne — jedynkę, tangens i wyrażenia jednorodne — a nie samo twierdzenie sinusów.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Te zadania łączy jedno: nie trzeba znać miary kąta, żeby policzyć wartość wyrażenia. Wystarczą trzy narzędzia — jedynka trygonometryczna sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, definicja tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} i umiejętność rozpoznania, którego z nich zadanie od nas chce. Najczęstszy schemat: policz brakującą funkcję z jedynki, podstaw i uporządkuj. Drugi, wygodniejszy, gdy dany jest tangens: zapisz sin⁡α\sin\alpha i cos⁡α\cos\alpha jako wielokrotności tej samej liczby — w wyrażeniach, gdzie licznik i mianownik mają ten sam stopień, ta liczba się skróci i nie trzeba jej wcale wyznaczać.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 14 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (pokazowa 2023)1 pktłatwe

Kąt α\alpha jest ostry oraz 4tg⁡α=3sin⁡2α+3cos⁡2α4\operatorname{tg}\alpha = 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha. Tangens kąta α\alpha jest równy
  • A. 34\dfrac{3}{4}
  • B. 43\dfrac{4}{3}
  • C. 14\dfrac{1}{4}
  • D. 44
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Prawa strona wygląda groźnie, ale wystarczy wyciągnąć trójkę przed nawias i zobaczyć, co zostaje.
  2. 3sin⁡2α+3cos⁡2α=3(sin⁡2α+cos⁡2α)=3⋅1=3\textcolor{#16A06A}{3}\sin^2\alpha + \textcolor{#16A06A}{3}\cos^2\alpha = \textcolor{#16A06A}{3}\left(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\right) = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{3}
  3. Cała prawa strona to po prostu liczba 33 — nie zależy od kąta w ogóle.
  4. Zostaje równanie liniowe:
  5. 4tg⁡α=3⟹tg⁡α=34\textcolor{#16A06A}{4}\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3}{4}
  6. Odpowiedź: 34\tfrac34, czyli A.
  7. Sprawdzenie: dla tg⁡α=34\operatorname{tg}\alpha = \tfrac34 mamy trójkąt o przyprostokątnych 33 i 44, więc sin⁡α=35\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac35} i cos⁡α=45\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac45}.
  8. Lewa strona: 4⋅34=34 \cdot \tfrac34 = \textcolor{#E0453A}{3}. Prawa: 3⋅925+3⋅1625=2725+4825=7525=33 \cdot \tfrac{9}{25} + 3 \cdot \tfrac{16}{25} = \tfrac{27}{25} + \tfrac{48}{25} = \tfrac{75}{25} = \textcolor{#E0453A}{3} ✓
  9. Zwróć uwagę, że informacja „kąt jest ostry” nie była tu potrzebna do rachunku — zapewnia tylko, że taki kąt istnieje i jest jeden.

💡 Wskazówka: Zanim cokolwiek policzysz, przejrzyj obie strony równania i sprawdź, czy któraś nie zwija się do liczby. Wyrażenie 3sin⁡2α+3cos⁡2α3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha to 33 razy jedynka trygonometryczna, więc równanie z pozoru trygonometryczne okazuje się zwykłym równaniem liniowym z jedną niewiadomą.

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór 43\tfrac43 (odpowiedź B) — z 4tg⁡α=34\operatorname{tg}\alpha = 3 dzielimy przez 44, więc czwórka idzie do mianownika. Drugi błąd: uznanie, że 3sin⁡2α+3cos⁡2α3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha to 3+3=63 + 3 = 6 albo 99; jedynka wychodzi z sumy kwadratów, a trójka stoi przed nawiasem tylko raz. Trzeci: wybór 44 (D) przez zatrzymanie się na współczynniku z lewej strony.

Zadanie 2 (czerwiec 2013)1 pktłatwe

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=13\sin\alpha = \dfrac{1}{3}. Wartość wyrażenia 1+tg⁡α⋅cos⁡α1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha jest równa
  • A. 43\dfrac{4}{3}
  • B. 119\dfrac{11}{9}
  • C. 179\dfrac{17}{9}
  • D. 113\dfrac{11}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Nie licz cosinusa. Iloczyn tg⁡α⋅cos⁡α\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha upraszcza się sam — wystarczy podstawić definicję tangensa.
  2. tg⁡α⋅cos⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡α=sin⁡α\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}
  3. Cosinus się skraca i zostaje sam sinus — a jego wartość jest podana w treści:
  4. 1+tg⁡α⋅cos⁡α=1+13=431 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = 1 + \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} = \dfrac{4}{3}
  5. Odpowiedź: 43\tfrac43, czyli A.
  6. Kontrola drogą dłuższą, dla pewności. Z jedynki: cos⁡2α=1−19=89\cos^2\alpha = 1 - \tfrac19 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac89}, więc cos⁡α=223\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{2\sqrt2}{3}} (dodatni, bo kąt ostry).
  7. tg⁡α=1/322/3=122\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1/3}{2\sqrt2/3} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2\sqrt2}}, a wtedy tg⁡α⋅cos⁡α=122⋅223=13\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2\sqrt2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2\sqrt2}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13} ✓
  8. Ta sama odpowiedź, tylko przez pierwiastki i cztery dodatkowe rachunki. Warto rozpoznać skrócenie, bo oszczędza całej tej pracy — i przy okazji nie daje okazji do pomyłki w niewymiernościach.
  9. Zauważ, że tożsamość tg⁡α⋅cos⁡α=sin⁡α\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \sin\alpha działa dla każdego kąta, przy którym cosinus nie jest zerem. Wartość 13\tfrac13 z treści wchodzi więc wprost do wyniku.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj trzy skrócenia, które wracają w tych zadaniach: tg⁡α⋅cos⁡α=sin⁡α\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \sin\alpha,  sin⁡αtg⁡α=cos⁡α\tfrac{\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = \cos\alpha  oraz  1tg⁡α=cos⁡αsin⁡α\tfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. Zanim policzysz brakującą funkcję z jedynki, sprawdź, czy wyrażenie nie skraca się do czegoś, co już masz w treści.

⚠ Policzenie cosinusa i tangensa osobno, a potem pomnożenie — droga poprawna, ale przechodzi przez 223\tfrac{2\sqrt2}{3} i łatwo w niej pomylić się w pierwiastku. Poważniejszy błąd: uznanie, że tg⁡α⋅cos⁡α\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha to sin⁡α⋅cos⁡2α\sin\alpha \cdot \cos^2\alpha albo sin⁡αcos⁡2α\tfrac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha} — cosinus w mianowniku tangensa skraca się z tym mnożonym, a nie dodaje do potęgi. Dystraktory z dziewiątkami w mianowniku (119\tfrac{11}{9}, 179\tfrac{17}{9}) są ustawione na kogoś, kto policzy cos⁡2α=89\cos^2\alpha = \tfrac89 i wstawi ten kwadrat do wyniku.

Zadanie 3 (sierpień 2016)1 pktłatwe

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=45\sin\alpha = \dfrac{4}{5}. Wtedy wartość wyrażenia sin⁡α−cos⁡α\sin\alpha - \cos\alpha jest równa
  • A. 15\dfrac{1}{5}
  • B. 35\dfrac{3}{5}
  • C. 1725\dfrac{17}{25}
  • D. 125\dfrac{1}{25}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — cosinus z jedynki.
  2. cos⁡2α=1−(45)2=1−1625=925\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac45}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{9}{25}}
  3. cos⁡α=35\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac35}  (dodatni, bo kąt jest ostry)
  4. Krok 2 — odejmujemy. Mianowniki są te same, więc odejmujemy liczniki:
  5. sin⁡α−cos⁡α=45−35=15\sin\alpha - \cos\alpha = \textcolor{#16A06A}{\dfrac45} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac35} = \dfrac{1}{5}
  6. Odpowiedź: 15\tfrac15, czyli A.
  7. Warto rozpoznać trójkę pitagorejską 3,4,53, 4, 5: jeśli sinus wynosi 45\tfrac45, to cosinus wynosi 35\tfrac35 i nie trzeba liczyć jedynki. Ta trójka wraca w zadaniach maturalnych częściej niż jakakolwiek inna.
  8. Kontrola liczbowa: α≈53,13∘\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{53{,}13^\circ}, sin⁡α=0,8\sin\alpha = 0{,}8, cos⁡α=0,6\cos\alpha = 0{,}6, różnica =0,2=15= \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = \tfrac15 ✓
  9. Skąd dystraktory. Odpowiedź 125\tfrac{1}{25} (D) to kwadrat poprawnej odpowiedzi — podniesienie różnicy do kwadratu, choć zadanie o to nie prosi. Odpowiedź 35\tfrac35 (B) to sam cosinus, czyli zatrzymanie się po pierwszym kroku. Odpowiedź 1725\tfrac{17}{25} (C) ma mianownik 2525, czyli kwadrat piątki — pojawia się u kogoś, kto operuje kwadratami funkcji zamiast samymi funkcjami.

💡 Wskazówka: Naucz się rozpoznawać trójki pitagorejskie w mianownikach: (3,4,5)\left(3,4,5\right), (5,12,13)\left(5,12,13\right), (8,15,17)\left(8,15,17\right), (7,24,25)\left(7,24,25\right). Jeśli sinus ma mianownik 55, 1313, 1717 albo 2525, drugą funkcję odczytasz z pamięci i oszczędzisz liczenia jedynki. Sprawdzenie jest natychmiastowe: kwadraty liczników muszą sumować się do kwadratu mianownika.

⚠ Odjęcie w odwrotnej kolejności i podanie −15-\tfrac15 — treść pyta o sin⁡α−cos⁡α\sin\alpha - \cos\alpha, w tej kolejności. Liczby ujemnej nie ma wśród odpowiedzi, więc błąd się ujawnia, ale kosztuje czas. Drugi błąd: zatrzymanie się na cosinusie i wybór 35\tfrac35 (B). Trzeci: podniesienie różnicy do kwadratu i wybór 125\tfrac{1}{25} (D) — zadanie pyta o samą różnicę, bez kwadratu.

Zadanie 4 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i cos⁡α=35\cos\alpha = \dfrac{3}{5}. Wtedy
  • A. sin⁡α⋅tg⁡α=1615\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{16}{15}
  • B. sin⁡α⋅tg⁡α=1516\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{15}{16}
  • C. sin⁡α⋅tg⁡α=815\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{8}{15}
  • D. sin⁡α⋅tg⁡α=620\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{6}{20}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — sinus. Trójka pitagorejska 3,4,53,4,5: skoro cos⁡α=35\cos\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac35}, to sin⁡α=45\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac45}.
  2. (z jedynki: sin⁡2α=1−925=1625\sin^2\alpha = 1 - \tfrac{9}{25} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{16}{25}}, więc sin⁡α=45\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac45})
  3. Krok 2 — tangens.
  4. tg⁡α=4/53/5=43\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4/5}}{\textcolor{#16A06A}{3/5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43}  (piątki się skracają)
  5. Krok 3 — iloczyn.
  6. sin⁡α⋅tg⁡α=45⋅43=1615\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac43} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{15}}
  7. Odpowiedź: 1615\tfrac{16}{15}, czyli A.
  8. Szybsza droga. Skoro tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, to
  9. sin⁡α⋅tg⁡α=sin⁡2αcos⁡α=16/253/5=1625⋅53=1615\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16/25}}{\textcolor{#16A06A}{3/5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{25}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac53} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{15}}
  10. — jedno przekształcenie mniej i nie trzeba wyznaczać tangensa osobno.
  11. Kontrola rzędu wielkości. Wynik jest większy od 11 i to warto zauważyć: sin⁡α<1\sin\alpha < 1, ale tg⁡α=43>1\operatorname{tg}\alpha = \tfrac43 > 1, a iloczyn wychodzi tuż nad jedynką. Odpowiedzi B, C i D są wszystkie mniejsze od 11, więc odpadają jednym spojrzeniem — o ile pamięta się, że tangens kąta większego od 45∘45^\circ przekracza jedynkę.
  12. Kontrola liczbowa: 0,8⋅1,3333≈1,06670{,}8 \cdot 1{,}3333 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}0667}, a 1615≈1,0667\tfrac{16}{15} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}0667} ✓

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć tangens osobno, zapisz od razu sin⁡α⋅tg⁡α=sin⁡2αcos⁡α\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} — kwadrat sinusa dostajesz wprost z jedynki, bez pierwiastkowania. Przy okazji porównaj wynik z jedynką: jeśli cosinus jest mniejszy od sinusa, to tangens przekracza 11 i iloczyn też, co często odrzuca większość odpowiedzi.

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór 1516\tfrac{15}{16} (odpowiedź B) — liczby te same, tylko odwrotność. Kontrola rzędu wielkości to wykrywa: wynik musi być większy od jedynki. Drugi błąd: policzenie sin⁡α⋅cos⁡α=1225\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \tfrac{12}{25} zamiast sin⁡α⋅tg⁡α\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha, czyli pomylenie tangensa z cosinusem. Trzeci: odpowiedź 620\tfrac{6}{20} (D) to 35⋅24\tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{2}{4}, czyli iloczyn liczb wziętych z treści bez żadnej drogi rachunkowej — czysty dystraktor.

Zadanie 5 (maj 2010)1 pktłatwe

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=34\sin\alpha = \dfrac{3}{4}. Wartość wyrażenia 2−cos⁡2α2 - \cos^2\alpha jest równa
  • A. 2516\dfrac{25}{16}
  • B. 32\dfrac{3}{2}
  • C. 1716\dfrac{17}{16}
  • D. 3116\dfrac{31}{16}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Pytanie dotyczy kwadratu cosinusa, więc pierwiastkowanie jest zbędne — jedynka daje kwadrat od razu.
  2. cos⁡2α=1−(34)2=1−916=716\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac34}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}}
  3. Podstawiamy:
  4. 2−716=3216−716=25162 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{32}}{\textcolor{#E0453A}{16}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{25}{16}
  5. Odpowiedź: 2516\tfrac{25}{16}, czyli A.
  6. Kontrola liczbowa: cos⁡2α=0,4375\cos^2\alpha = 0{,}4375, więc 2−0,4375=1,56252 - 0{,}4375 = \textcolor{#E0453A}{1{,}5625}, a 2516=1,5625\tfrac{25}{16} = \textcolor{#E0453A}{1{,}5625} ✓
  7. Kontrola rzędu wielkości. Kwadrat cosinusa mieści się między 00 i 11, więc całe wyrażenie musi być między 11 i 22. Odpowiedź 3116≈1,94\tfrac{31}{16} \approx 1{,}94 też się w tym mieści, ale 32=1,5\tfrac{3}{2} = 1{,}5 i 1716≈1,06\tfrac{17}{16} \approx 1{,}06 są podejrzanie blisko krańców. Rachunek trzeba więc dokończyć — samo oszacowanie nie rozstrzyga.
  8. Skąd dystraktory. Odpowiedź 1716\tfrac{17}{16} (C) to 2−15162 - \tfrac{15}{16}, czyli policzenie cos⁡2α\cos^2\alpha jako 1−1161 - \tfrac{1}{16} — pomyłka w kwadracie licznika (32=93^2 = 9, nie 11). Odpowiedź 3116\tfrac{31}{16} (D) to 2−1162 - \tfrac{1}{16}, czyli podniesienie do kwadratu tylko mianownika. Odpowiedź 32\tfrac32 (B) to 2−122 - \tfrac12 — cosinus przyjęty „na oko” jako 12\tfrac{1}{\sqrt2}.

💡 Wskazówka: Gdy pytanie dotyczy kwadratu funkcji, nie wyciągaj pierwiastka. Jedynka trygonometryczna daje cos⁡2α\cos^2\alpha bezpośrednio, a pierwiastkowanie i ponowne podnoszenie do kwadratu to dwie zbędne operacje i dwie okazje do pomyłki. Ta sama uwaga dotyczy zadań o sin⁡2\sin^2, 2cos⁡2−12\cos^2 - 1 i podobnych.

⚠ Podniesienie do kwadratu tylko licznika albo tylko mianownika: (34)2\left(\tfrac34\right)^2 to 916\tfrac{9}{16}, a nie 316\tfrac{3}{16} ani 94\tfrac{9}{4}. Dwa z czterech dystraktorów są ustawione właśnie na tę pomyłkę. Drugi błąd: policzenie cos⁡α=74\cos\alpha = \tfrac{\sqrt7}{4}, a potem podnoszenie tego do kwadratu — droga poprawna, ale okrężna, bo jedynka dała już kwadrat. Trzeci: odjęcie w odwrotną stronę, czyli 716−2\tfrac{7}{16} - 2, co daje liczbę ujemną, której nie ma wśród odpowiedzi.

Zadanie 6 (maj 2013)1 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=32\sin\alpha = \dfrac{\sqrt3}{2}. Wartość wyrażenia cos⁡2α−2\cos^2\alpha - 2 jest równa
  • A. −74-\dfrac{7}{4}
  • B. −14-\dfrac{1}{4}
  • C. 12\dfrac{1}{2}
  • D. 32\dfrac{\sqrt3}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. cos⁡2α=1−(32)2=1−34=14\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{2}}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14}
  2. (kwadrat pierwiastka z trójki to po prostu 3\textcolor{#E0453A}{3} — pierwiastek znika)
  3. Podstawiamy:
  4. 14−2=14−84=−74\textcolor{#E0453A}{\dfrac14} - 2 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14} - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = -\dfrac{7}{4}
  5. Odpowiedź: −74-\tfrac74, czyli A.
  6. Kontrola znaku — najważniejsza rzecz tutaj. Kwadrat cosinusa nie przekracza 11, a odejmujemy 22, więc wynik musi być ujemny. To odrzuca odpowiedzi C i D bez rachunku.
  7. Sinus 32\tfrac{\sqrt3}{2} rozpoznasz z tabeli: to sinus kąta 60∘\textcolor{#E0453A}{60^\circ}. Wtedy cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}, więc cos⁡2α=14\cos^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} ✓ — ta sama liczba, tylko szybciej.
  8. Kontrola liczbowa: 0,25−2=−1,750{,}25 - 2 = \textcolor{#E0453A}{-1{,}75}, a −74=−1,75-\tfrac74 = \textcolor{#E0453A}{-1{,}75} ✓
  9. Odpowiedź −14-\tfrac14 (B) to cos⁡2α\cos^2\alpha ze znakiem minus, czyli zapomnienie o odjęciu dwójki. Odpowiedź 32\tfrac{\sqrt3}{2} (D) to przepisana dana z treści.

💡 Wskazówka: Zacznij od znaku: skoro 0⩽cos⁡2α⩽10 \leqslant \cos^2\alpha \leqslant 1, to cos⁡2α−2\cos^2\alpha - 2 leży między −2-2 i −1-1. To nie tylko odrzuca dwie odpowiedzi, ale też pozwala sprawdzić wynik na koniec — −74=−1,75-\tfrac74 = -1{,}75 mieści się w tym przedziale, a gdyby wyszło coś poza nim, gdzieś jest błąd.

⚠ Wybór −14-\tfrac14 (odpowiedź B), czyli podanie samego −cos⁡2α-\cos^2\alpha i pominięcie odjęcia dwójki. Drugi błąd: potraktowanie (32)2\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 jako 34\tfrac{\sqrt3}{4} — kwadrat pierwiastka z trójki to trójka, pierwiastek znika. Trzeci: wybór 12\tfrac12 (C), czyli podanie cosinusa kąta 60∘60^\circ; to poprawnie policzona liczba, ale odpowiada na inne pytanie i ma zły znak wobec oszacowania.

Zadanie 7 (sierpień 2013)1 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=33\sin\alpha = \dfrac{\sqrt3}{3}. Wtedy wartość wyrażenia 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1 jest równa
  • A. 00
  • B. 13\dfrac{1}{3}
  • C. 59\dfrac{5}{9}
  • D. 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Uwaga na daną. To 33\tfrac{\sqrt3}{3}, a nie 32\tfrac{\sqrt3}{2} — liczby wyglądają podobnie, ale to zupełnie inny kąt. Kwadratujemy uważnie:
  2. sin⁡2α=(33)2=39=13\sin^2\alpha = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{3}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}
  3. Cosinus kwadrat z jedynki:
  4. cos⁡2α=1−13=23\cos^2\alpha = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac13} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23}
  5. Podstawiamy do wyrażenia:
  6. 2⋅23−1=43−1=132 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac23} - 1 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43} - 1 = \dfrac{1}{3}
  7. Odpowiedź: 13\tfrac13, czyli B.
  8. Kontrola liczbowa: 33≈0,5774\tfrac{\sqrt3}{3} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}5774}, więc α≈35,26∘\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{35{,}26^\circ} i cos⁡α≈0,8165\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}8165}.
  9. 2⋅0,81652−1=2⋅0,6667−1=0,3333=132 \cdot 0{,}8165^2 - 1 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}6667} - 1 = \textcolor{#E0453A}{0{,}3333} = \tfrac13 ✓
  10. Drugi zapis tej samej liczby. Ułamek 33\tfrac{\sqrt3}{3} to 13\tfrac{1}{\sqrt3} po usunięciu niewymierności z mianownika — warto to zauważyć, bo wtedy sin⁡2α=13\sin^2\alpha = \tfrac13 widać od razu, bez kwadratowania pierwiastka.
  11. Odpowiedź 00 (A) wychodzi, jeśli ktoś przyjmie cos⁡2α=12\cos^2\alpha = \tfrac12, czyli pomyli daną z sinusem kąta 45∘45^\circ. Odpowiedź 59\tfrac59 (C) to 2⋅79−12 \cdot \tfrac79 - 1, czyli wynik przy błędnym cos⁡2α=79\cos^2\alpha = \tfrac79 — a taki wychodzi, gdy ktoś przyjmie sin⁡2α=29\sin^2\alpha = \tfrac29 zamiast 13\tfrac13. Mianownik 99 w obu dystraktorach jest sygnałem, że w rachunku został kwadrat mianownika danej.

💡 Wskazówka: Przy ułamkach z pierwiastkiem sprawdź, czy nie da się ich zapisać prościej. Tu 33=13\tfrac{\sqrt3}{3} = \tfrac{1}{\sqrt3}, więc kwadrat to 13\tfrac13 — jedno spojrzenie zamiast rachunku. Uważaj też na podobieństwo do 32\tfrac{\sqrt3}{2}: te dwie liczby różnią się mianownikiem i odpowiadają kątom 35∘35^\circ i 60∘60^\circ, więc pomylenie ich psuje całe zadanie.

⚠ Pomylenie danej 33\tfrac{\sqrt3}{3} z 32\tfrac{\sqrt3}{2} z tabeli wartości szczególnych. Wtedy sin⁡2α=34\sin^2\alpha = \tfrac34, cos⁡2α=14\cos^2\alpha = \tfrac14 i wyrażenie daje −12-\tfrac12 — liczby nie ma wśród odpowiedzi, co ratuje, ale kosztuje czas. Drugi błąd: podniesienie do kwadratu tylko mianownika, czyli sin⁡2α=39\sin^2\alpha = \tfrac{\sqrt3}{9}; kwadrat dotyczy licznika i mianownika, a (3)2=3\left(\sqrt3\right)^2 = 3. Trzeci: pomnożenie przez 22 przed odjęciem jedynki w odwrotnej kolejności, czyli policzenie 2(cos⁡2α−1)=−232\left(\cos^2\alpha - 1\right) = -\tfrac23 — kolejność działań stawia mnożenie przed odejmowaniem.

Zadanie 8 (maj 2015)1 pktśrednie

Jeżeli 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ oraz tg⁡α=2sin⁡α\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha, to
  • A. cos⁡α=12\cos\alpha = \dfrac{1}{2}
  • B. cos⁡α=22\cos\alpha = \dfrac{\sqrt2}{2}
  • C. cos⁡α=32\cos\alpha = \dfrac{\sqrt3}{2}
  • D. cos⁡α=1\cos\alpha = 1
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Po obu stronach równania stoi sinus — po jednej ukryty w tangensie. Wystarczy go skrócić.
  2. Podstawiamy definicję tangensa:
  3. sin⁡αcos⁡α=2sin⁡α\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}\sin\alpha
  4. Dzielimy obie strony przez sin⁡α\sin\alpha. Wolno, bo dla kąta z przedziału (0∘,90∘)\textcolor{#16A06A}{(0^\circ, 90^\circ)} sinus jest dodatni, więc różny od zera:
  5. 1cos⁡α=2\dfrac{1}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}
  6. Odwracamy:
  7. cos⁡α=12\cos\alpha = \dfrac{1}{2}
  8. Odpowiedź: 12\tfrac12, czyli A.
  9. Sprawdzenie: cos⁡α=12\cos\alpha = \tfrac12 oznacza α=60∘\alpha = \textcolor{#E0453A}{60^\circ}, więc sin⁡α=32\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} i tg⁡α=3\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}.
  10. Lewa strona: 3≈1,732\textcolor{#E0453A}{\sqrt3} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}732}. Prawa: 2⋅32=32 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} ✓ Równość zachodzi.
  11. Po co warunek na kąt. Gdyby dopuścić α=0∘\alpha = 0^\circ, to sin⁡α=0\sin\alpha = 0 i równanie tg⁡α=2sin⁡α\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha byłoby spełnione trywialnie (0=00 = 0), a dzielenie przez sinus stałoby się niedozwolone. Przedział (0∘,90∘)(0^\circ, 90^\circ) usuwa ten przypadek i to jedyna jego rola.
  12. Odpowiedź 11 (D) to właśnie ten wykluczony przypadek: cos⁡α=1\cos\alpha = 1 znaczy α=0∘\alpha = 0^\circ, kąt poza przedziałem z treści.

💡 Wskazówka: Gdy ta sama funkcja stoi po obu stronach równania, spróbuj ją skrócić — ale napisz, dlaczego wolno. Dzielenie przez sin⁡α\sin\alpha wymaga, żeby sinus nie był zerem, a to gwarantuje dopiero warunek na kąt z treści. W zadaniu otwartym za samo skrócenie bez komentarza można stracić punkt.

⚠ Skrócenie sinusa bez zauważenia, że zostaje 1cos⁡α=2\tfrac{1}{\cos\alpha} = 2, i zapisanie od razu cos⁡α=2\cos\alpha = 2 — liczba większa od jedynki, więc niemożliwa dla cosinusa. Po skróceniu trzeba jeszcze odwrócić ułamek. Drugi błąd: podniesienie obu stron do kwadratu i wejście w jedynkę trygonometryczną; droga prowadzi do celu, ale przez równanie kwadratowe, którego zadanie nie wymaga. Trzeci: wybór 11 (D), czyli przypadku α=0∘\alpha = 0^\circ, wykluczonego przez treść.

Zadanie 9 (maj 2025)1 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i spełnia warunek 3tg⁡α=2sin⁡α\sqrt3 \operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha. Cosinus kąta α\alpha jest równy
  • A. 12\dfrac{1}{2}
  • B. 22\dfrac{\sqrt2}{2}
  • C. 32\dfrac{\sqrt3}{2}
  • D. 33\dfrac{\sqrt3}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Ten sam schemat co w poprzednim zadaniu, tylko ze współczynnikiem niewymiernym.
  2. 3⋅sin⁡αcos⁡α=2sin⁡α\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}\sin\alpha
  3. Dzielimy przez sin⁡α\sin\alpha (dodatni, bo kąt jest ostry):
  4. 3cos⁡α=2\dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}
  5. Wyznaczamy cosinus:
  6. cos⁡α=32\cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}}{\textcolor{#16A06A}{2}}
  7. Odpowiedź: 32\tfrac{\sqrt3}{2}, czyli C.
  8. Sprawdzenie: cos⁡α=32\cos\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2} oznacza α=30∘\alpha = \textcolor{#E0453A}{30^\circ}, więc sin⁡α=12\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} i tg⁡α=33\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{3}}.
  9. Lewa strona: 3⋅33=33=1\sqrt3 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{3}{3}} = \textcolor{#E0453A}{1}. Prawa: 2⋅12=12 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{1} ✓
  10. Porównaj z poprzednim zadaniem. Tam współczynnik przy tangensie był jedynką i wyszło cos⁡α=12\cos\alpha = \tfrac12; tu jest 3\sqrt3 i wychodzi 32\tfrac{\sqrt3}{2}. Reguła jest ogólna: z ktg⁡α=2sin⁡αk\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha wynika cos⁡α=k2\cos\alpha = \tfrac{k}{2} — współczynnik ląduje w liczniku, a dwójka w mianowniku.
  11. Odpowiedź 33\tfrac{\sqrt3}{3} (D) to tangens kąta 30∘30^\circ, czyli liczba pojawiająca się w sprawdzeniu — poprawnie policzona, ale odpowiadająca na inne pytanie.

💡 Wskazówka: Nie bój się niewymiernego współczynnika — przechodzi przez rachunek jak zwykła liczba. Po skróceniu sinusa zostaje 3cos⁡α=2\tfrac{\sqrt3}{\cos\alpha} = 2, a stąd cosinus wyznaczasz jednym przekształceniem. Sprawdzenie na kącie 30∘30^\circ zajmuje dwie linijki i warto je zrobić, bo w tabeli wartości szczególnych łatwo pomylić 32\tfrac{\sqrt3}{2} z 33\tfrac{\sqrt3}{3}.

⚠ Przeniesienie 3\sqrt3 do mianownika i wybór 33\tfrac{\sqrt3}{3} (odpowiedź D) — czyli policzenie cos⁡α=23\cos\alpha = \tfrac{2}{\sqrt3} i próba uproszczenia. Liczba 23≈1,15\tfrac{2}{\sqrt3} \approx 1{,}15 jest większa od jedynki, więc nie może być cosinusem — to najszybsza kontrola tego błędu. Drugi błąd: pomylenie ról i wyjście na 12\tfrac12 (A), czyli odpowiedź poprzedniego zadania z tej strony; różnica jest w tym, że tu przy tangensie stoi 3\sqrt3.

Zadanie 10 (sierpień 2014)1 pkttrudniejsze

Kąt α\alpha jest ostry i spełniona jest równość 3tg⁡α=23\operatorname{tg}\alpha = 2. Wtedy wartość wyrażenia sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha + \cos\alpha jest równa
  • A. 11
  • B. 51326\dfrac{5\sqrt{13}}{26}
  • C. 51313\dfrac{5\sqrt{13}}{13}
  • D. 5\sqrt5
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Z treści tg⁡α=23\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac23}. Najwygodniejsza metoda przy danym tangensie to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych licznikowi i mianownikowi.
  2. Przyprostokątne: naprzeciw kąta 2\textcolor{#E0453A}{2}, przy kącie 3\textcolor{#E0453A}{3}. Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:
  3. r=22+32=4+9=13r = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{2}^2 + \textcolor{#E0453A}{3}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}
  4. Stąd obie funkcje:
  5. sin⁡α=213,cos⁡α=313\sin\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}}, \qquad \cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}}
  6. Dodajemy — mianowniki są te same:
  7. sin⁡α+cos⁡α=2+313=513\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2} + \textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}}
  8. Usuwamy niewymierność z mianownika — mnożymy licznik i mianownik przez 13\sqrt{13}:
  9. 513=51313⋅13=51313\dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}\sqrt{13}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \dfrac{5\sqrt{13}}{13}
  10. Odpowiedź: 51313\tfrac{5\sqrt{13}}{13}, czyli C.
  11. Kontrola liczbowa: 13≈3,606\sqrt{13} \approx \textcolor{#E0453A}{3{,}606}, więc sin⁡α≈0,5547\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}5547}, cos⁡α≈0,8321\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}8321}, a suma ≈1,3868\approx \textcolor{#E0453A}{1{,}3868}.
  12. Z drugiej strony 51313≈18,0313≈1,3868\tfrac{5\sqrt{13}}{13} \approx \tfrac{18{,}03}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}3868} ✓
  13. Kontrola rzędu wielkości. Dla kąta ostrego suma sinusa i cosinusa jest zawsze większa od 11 (i nie większa od 2≈1,41\sqrt2 \approx 1{,}41). To od razu odrzuca odpowiedź 11 (A), a odpowiedź 5≈2,24\sqrt5 \approx 2{,}24 jest wyraźnie za duża. Zostają B i C, a 51326≈0,693\tfrac{5\sqrt{13}}{26} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}693} jest za małe — więc C jeszcze przed rachunkiem.

💡 Wskazówka: Przy danym tangensie pq\tfrac{p}{q} najszybciej narysować w myślach trójkąt o przyprostokątnych pp i qq — przeciwprostokątna wychodzi p2+q2\sqrt{p^2+q^2}, a sinus i cosinus czyta się wprost. Uwaga na pułapkę oszacowania: dla kąta ostrego sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha + \cos\alpha zawsze mieści się między 11 i 2\sqrt2, więc każda odpowiedź poza tym przedziałem odpada bez liczenia.

⚠ Odpowiedź 51326\tfrac{5\sqrt{13}}{26} (B) to poprawny wynik podzielony przez 22 — powstaje, gdy przy usuwaniu niewymierności ktoś pomnoży mianownik przez 13\sqrt{13} dwa razy albo pomyli 13⋅13=13\sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = 13 z 2626. Kontrola oszacowaniem to wykrywa: 0,690{,}69 jest mniejsze od jedynki, a suma sinusa i cosinusa kąta ostrego mniejsza być nie może. Drugi błąd: wybór 11 (A) przez pomylenie sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha + \cos\alpha z sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha — jedynka wychodzi tylko z kwadratów.

Zadanie 11 (grudzień 2013)1 pktśrednie

Jeżeli kąt α\alpha jest ostry i tg⁡α=34\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3}{4}, to 2−cos⁡α2+cos⁡α\dfrac{2 - \cos\alpha}{2 + \cos\alpha} równa się
  • A. (−1)(-1)
  • B. −13-\dfrac{1}{3}
  • C. 37\dfrac{3}{7}
  • D. 8425\dfrac{84}{25}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — cosinus z tangensa. Trójka pitagorejska 3,4,53, 4, 5: przyprostokątne 3\textcolor{#E0453A}{3} i 4\textcolor{#E0453A}{4} dają przeciwprostokątną 5\textcolor{#E0453A}{5}.
  2. cos⁡α=45\cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{5}}
  3. (przy kącie leży przyprostokątna 44, bo tangens to „naprzeciw przez przy”, czyli 34\tfrac34)
  4. Krok 2 — podstawiamy do ułamka. Licznik i mianownik liczymy osobno:
  5. licznik=2−45=105−45=65\text{licznik} = \textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}}{\textcolor{#E0453A}{5}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac65}
  6. mianownik=2+45=105+45=145\text{mianownik} = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}}{\textcolor{#E0453A}{5}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{14}{5}}
  7. Krok 3 — dzielimy. Piątki się skracają:
  8. 6/514/5=614=37\dfrac{\textcolor{#E0453A}{6/5}}{\textcolor{#E0453A}{14/5}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{14}} = \dfrac{3}{7}
  9. Odpowiedź: 37\tfrac37, czyli C.
  10. Kontrola liczbowa: cos⁡α=0,8\cos\alpha = 0{,}8, więc 2−0,82+0,8=1,22,8≈0,4286\tfrac{2 - 0{,}8}{2 + 0{,}8} = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{1{,}2}}{\textcolor{#E0453A}{2{,}8}} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4286}, a 37≈0,4286\tfrac37 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4286} ✓
  11. Kontrola znaku i wielkości. Cosinus kąta ostrego mieści się między 00 i 11, więc licznik 2−cos⁡α2 - \cos\alpha jest dodatni i mniejszy od mianownika 2+cos⁡α2 + \cos\alpha. Cały ułamek jest więc dodatni i mniejszy od 11. To odrzuca odpowiedzi A, B (ujemne) i D (większa od 11) — czyli całe zadanie da się rozstrzygnąć oszacowaniem.

💡 Wskazówka: Przy ułamku z funkcją w liczniku i mianowniku najpierw oszacuj. Cosinus kąta ostrego leży między 00 i 11, więc licznik jest z przedziału (1,2)(1, 2), mianownik z (2,3)(2, 3), a cały ułamek jest dodatni i mniejszy od 11. Trzy z czterech odpowiedzi odpadają bez rachunku, a rachunek zostaje tylko na potwierdzenie.

⚠ Pomylenie, która przyprostokątna leży przy kącie: z tg⁡α=34\operatorname{tg}\alpha = \tfrac34 wynika cos⁡α=45\cos\alpha = \tfrac45, a nie 35\tfrac35. Przy cos⁡α=35\cos\alpha = \tfrac35 ułamek dałby 713\tfrac{7}{13}, liczby nie ma wśród odpowiedzi. Drugi błąd: skrócenie dwójek w liczniku i mianowniku — nie wolno, bo to składniki sumy, nie czynniki. Takie „skrócenie” daje −cos⁡αcos⁡α=−1\tfrac{-\cos\alpha}{\cos\alpha} = -1, czyli dokładnie odpowiedź A, i dlatego ona tam siedzi.

Zadanie 12 (maj 2014)1 pkttrudniejsze

Jeżeli α\alpha jest kątem ostrym oraz tg⁡α=25\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{5}, to wartość wyrażenia 3cos⁡α−2sin⁡αsin⁡α−5cos⁡α\dfrac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 5\cos\alpha} jest równa
  • A. −2311-\dfrac{23}{11}
  • B. −1123-\dfrac{11}{23}
  • C. 524\dfrac{5}{24}
  • D. 245\dfrac{24}{5}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. To najciekawsze zadanie na tej stronie, bo nie trzeba liczyć ani sinusa, ani cosinusa. Wystarczy zauważyć, że licznik i mianownik są tego samego stopnia — w obu każdy składnik zawiera dokładnie jedną funkcję trygonometryczną.
  2. Podstawienie. Z tg⁡α=25\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac25} wynika, że sinus i cosinus są proporcjonalne do 2\textcolor{#E0453A}{2} i 5\textcolor{#E0453A}{5}. Zapiszmy więc
  3. sin⁡α=2k,cos⁡α=5k\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{2}k, \qquad \cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{5}k
  4. dla pewnej liczby k>0k > 0. (Konkretnie k=129k = \tfrac{1}{\sqrt{29}}, ale nie będzie potrzebna.)
  5. Podstawiamy do licznika:
  6. 3cos⁡α−2sin⁡α=3⋅5k−2⋅2k=15k−4k=11k\textcolor{#16A06A}{3}\cos\alpha - \textcolor{#16A06A}{2}\sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}k - \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2}k = \textcolor{#E0453A}{15}k - \textcolor{#E0453A}{4}k = \textcolor{#E0453A}{11}k
  7. I do mianownika:
  8. sin⁡α−5cos⁡α=2k−5⋅5k=2k−25k=−23k\sin\alpha - \textcolor{#16A06A}{5}\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{2}k - \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}k = \textcolor{#E0453A}{2}k - \textcolor{#E0453A}{25}k = \textcolor{#E0453A}{-23}k
  9. Dzielimy — litera kk się skraca:
  10. 11k−23k=−1123\dfrac{\textcolor{#E0453A}{11}k}{\textcolor{#E0453A}{-23}k} = -\dfrac{11}{23}
  11. Odpowiedź: −1123-\tfrac{11}{23}, czyli B.
  12. Kontrola liczbowa: k=129≈0,1857k = \tfrac{1}{\sqrt{29}} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}1857}, więc sin⁡α≈0,3714\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}3714} i cos⁡α≈0,9285\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9285}.
  13. Licznik: 3⋅0,9285−2⋅0,3714≈2,04263 \cdot 0{,}9285 - 2 \cdot 0{,}3714 \approx \textcolor{#E0453A}{2{,}0426}. Mianownik: 0,3714−5⋅0,9285≈−4,27120{,}3714 - 5 \cdot 0{,}9285 \approx \textcolor{#E0453A}{-4{,}2712}.
  14. Iloraz: 2,0426−4,2712≈−0,4783\tfrac{2{,}0426}{-4{,}2712} \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}4783}, a −1123≈−0,4783-\tfrac{11}{23} \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}4783} ✓
  15. Kontrola znaku. Mianownik sin⁡α−5cos⁡α\sin\alpha - 5\cos\alpha jest ujemny, bo cosinus jest tu ponad dwa razy większy od sinusa, a jeszcze mnożymy go przez 55. Licznik jest dodatni z tego samego powodu. Iloraz musi więc być ujemny — to odrzuca odpowiedzi C i D bez rachunku.

💡 Wskazówka: Sprawdź, czy licznik i mianownik są tego samego stopnia. Jeśli tak, podstaw sin⁡α=pk\sin\alpha = pk i cos⁡α=qk\cos\alpha = qk, gdzie pq\tfrac{p}{q} to dany tangens — litera kk skróci się na końcu i nie trzeba jej wyznaczać. To oszczędza całej roboty z przeciwprostokątną i pierwiastkami. Drugi sposób na to samo: podziel licznik i mianownik przez cos⁡α\cos\alpha, a wszystko zamieni się w tangensy.

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór −2311-\tfrac{23}{11} (odpowiedź A) — to najczęstszy błąd, bo obie liczby wychodzą w rachunku i łatwo je pomieszać przy zapisywaniu. Warto od razu przypisać 1111 do licznika, a 2323 do mianownika, zgodnie z kolejnością w treści. Drugi błąd: przyjęcie sin⁡α=2\sin\alpha = 2 i cos⁡α=5\cos\alpha = 5 bez litery kk — akurat w tym zadaniu daje poprawny wynik, bo kk się skraca, ale jest to zapis fałszywy (cosinus nie może być równy 55) i w zadaniu otwartym byłby zakwestionowany. Trzeci: zgubienie znaku minus w mianowniku i wybór C albo D.

Zadanie 13 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Kąt α∈(0∘,180∘)\alpha \in \left(0^\circ, 180^\circ\right) oraz wiadomo, że sin⁡α⋅cos⁡α=−38\sin\alpha \cdot \cos\alpha = -\dfrac{3}{8}. Wartość wyrażenia (cos⁡α−sin⁡α)2+2\left(\cos\alpha - \sin\alpha\right)^2 + 2 jest równa
  • A. 154\dfrac{15}{4}
  • B. 94\dfrac{9}{4}
  • C. 278\dfrac{27}{8}
  • D. 218\dfrac{21}{8}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Nie liczymy sinusa ani cosinusa osobno — po rozwinięciu kwadratu pojawi się dokładnie to, co dane w treści.
  2. Rozwijamy kwadrat różnicy:
  3. (cos⁡α−sin⁡α)2=cos⁡2α−2sin⁡αcos⁡α+sin⁡2α\left(\cos\alpha - \sin\alpha\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha} - \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha + \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}
  4. Grupujemy kwadraty — to jedynka trygonometryczna:
  5. =sin⁡2α+cos⁡2α⏟=1−2sin⁡αcos⁡α=1−2sin⁡αcos⁡α= \underbrace{\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}}_{= \textcolor{#E0453A}{1}} - \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha
  6. Podstawiamy daną z treści. Uwaga na dwa minusy:
  7. =1−2⋅(−38)=1+34=74= \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \left(\textcolor{#16A06A}{-\dfrac38}\right) = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac34} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac74}
  8. Dodajemy dwójkę z treści:
  9. 74+2=74+84=154\textcolor{#E0453A}{\dfrac74} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac74} + \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \dfrac{15}{4}
  10. Odpowiedź: 154\tfrac{15}{4}, czyli A.
  11. Skąd ujemny iloczyn. Przedział (0∘,180∘)\textcolor{#16A06A}{(0^\circ, 180^\circ)} dopuszcza kąty rozwarte, a dla nich cosinus jest ujemny przy dodatnim sinusie — dlatego iloczyn może być ujemny. Dla kąta ostrego byłby dodatni i zadanie nie miałoby sensu.
  12. Kontrola. Szukamy kąta rozwartego z sin⁡αcos⁡α=−0,375\sin\alpha\cos\alpha = -0{,}375: wychodzi α≈114,3∘\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{114{,}3^\circ}, gdzie sin⁡α≈0,9114\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9114} i cos⁡α≈−0,4114\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}4114}.
  13. Iloczyn: 0,9114⋅(−0,4114)≈−0,3750{,}9114 \cdot (-0{,}4114) \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}375} ✓
  14. Wyrażenie: (−0,4114−0,9114)2+2=(−1,3228)2+2≈1,750+2=3,750\left(-0{,}4114 - 0{,}9114\right)^2 + 2 = \left(\textcolor{#E0453A}{-1{,}3228}\right)^2 + 2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}750} + 2 = \textcolor{#E0453A}{3{,}750}, a 154=3,75\tfrac{15}{4} = \textcolor{#E0453A}{3{,}75} ✓

💡 Wskazówka: Kiedy w zadaniu dany jest iloczyn sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha, a pytanie dotyczy kwadratu sumy albo różnicy, rozwiń kwadrat i pogrupuj: zawsze zostanie 1±2sin⁡αcos⁡α1 \pm 2\sin\alpha\cos\alpha. Dwa wzory warto mieć w pamięci: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α\left(\sin\alpha + \cos\alpha\right)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha oraz (cos⁡α−sin⁡α)2=1−2sin⁡αcos⁡α\left(\cos\alpha - \sin\alpha\right)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha. Nie trzeba wtedy znać żadnej z funkcji osobno.

⚠ Zgubienie jednego minusa: −2⋅(−38)-2 \cdot \left(-\tfrac38\right) to +34+\tfrac34, a nie −34-\tfrac34. Przy błędzie wychodzi 1−34+2=941 - \tfrac34 + 2 = \tfrac94, czyli odpowiedź B — i dlatego ona tam siedzi. Warto zapisać podstawienie z nawiasem, żeby oba minusy były widoczne. Drugi błąd: pominięcie dwójki dopisanej w treści i podanie 74\tfrac74; liczby nie ma wśród odpowiedzi, ale kosztuje to powrót do zadania. Trzeci: rozwinięcie kwadratu bez środkowego wyrazu, czyli cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1, i podanie 33 — kwadrat różnicy ma trzy składniki.

Zadanie 14 (sierpień 2022)1 pktśrednie

Nie istnieje kąt ostry α\alpha taki, że
  • A. sin⁡α=13\sin\alpha = \dfrac{1}{3}  i  cos⁡α=23\cos\alpha = \dfrac{2}{3}
  • B. sin⁡α=513\sin\alpha = \dfrac{5}{13}  i  cos⁡α=1213\cos\alpha = \dfrac{12}{13}
  • C. sin⁡α=35\sin\alpha = \dfrac{3}{5}  i  cos⁡α=45\cos\alpha = \dfrac{4}{5}
  • D. sin⁡α=915\sin\alpha = \dfrac{9}{15}  i  cos⁡α=1215\cos\alpha = \dfrac{12}{15}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Pytanie jest odwrotne niż zwykle: szukamy pary, która nie może opisywać żadnego kąta. Kryterium jest jedno — jedynka trygonometryczna musi być spełniona.
  2. Sprawdzamy każdą parę, licząc sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha i porównując z 11.
  3. A: (13)2+(23)2=19+49=59\left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac13}\right)^2 + \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac23}\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac19} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac49} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac59} — to nie jest 11, więc taki kąt nie istnieje ✓
  4. B: 25169+144169=169169=1\textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{169}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{144}{169}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{169}{169}} = \textcolor{#E0453A}{1} ✓ kąt istnieje
  5. C: 925+1625=2525=1\textcolor{#E0453A}{\dfrac{9}{25}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{25}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{25}} = \textcolor{#E0453A}{1} ✓ kąt istnieje
  6. D: 81225+144225=225225=1\textcolor{#E0453A}{\dfrac{81}{225}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{144}{225}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{225}{225}} = \textcolor{#E0453A}{1} ✓ kąt istnieje
  7. Odpowiedź: A.
  8. Szybsza droga — trójki pitagorejskie. Wystarczy sprawdzić, czy kwadraty liczników sumują się do kwadratu mianownika:
  9. B: 52+122=25+144=169=1325^2 + 12^2 = \textcolor{#E0453A}{25} + \textcolor{#E0453A}{144} = \textcolor{#E0453A}{169} = 13^2 ✓ (trójka 5,12,135, 12, 13)
  10. C: 32+42=9+16=25=523^2 + 4^2 = \textcolor{#E0453A}{9} + \textcolor{#E0453A}{16} = \textcolor{#E0453A}{25} = 5^2 ✓ (trójka 3,4,53, 4, 5)
  11. D: 92+122=81+144=225=1529^2 + 12^2 = \textcolor{#E0453A}{81} + \textcolor{#E0453A}{144} = \textcolor{#E0453A}{225} = 15^2 ✓ (to trójka 3,4,53,4,5 pomnożona przez 33)
  12. A: 12+22=1+4=51^2 + 2^2 = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{4} = \textcolor{#E0453A}{5}, a 32=93^2 = \textcolor{#E0453A}{9} ✗ — nie zgadza się.
  13. Zwróć uwagę, że odpowiedź D to ta sama para co C, tylko rozszerzona: 915=35\tfrac{9}{15} = \tfrac35 i 1215=45\tfrac{12}{15} = \tfrac45. Autor zadania sprawdza więc dodatkowo, czy skracasz ułamki przed sprawdzaniem.

💡 Wskazówka: Przy pytaniu „nie istnieje kąt taki, że” jedynym kryterium jest jedynka trygonometryczna: para (sin⁡α,cos⁡α)\left(\sin\alpha, \cos\alpha\right) opisuje jakiś kąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów wynosi 11. Najszybciej sprawdza się to na licznikach: kwadraty liczników muszą dać kwadrat mianownika. Skróć najpierw ułamki — jedna z odpowiedzi jest zwykle rozszerzoną wersją innej.

⚠ Sprawdzanie, czy sinus jest mniejszy od cosinusa, albo czy oba są mniejsze od 11 — to warunki konieczne, ale nie wystarczające. W odpowiedzi A oba ułamki są mniejsze od jedynki i sinus jest mniejszy od cosinusa, a mimo to taki kąt nie istnieje. Rozstrzyga wyłącznie suma kwadratów. Drugi błąd: przerwanie sprawdzania po znalezieniu pierwszej pary spełniającej jedynkę — pytanie dotyczy pary, która jej nie spełnia, więc trzeba przejść przez wszystkie cztery albo trafić na tę jedną. Trzeci: uznanie odpowiedzi D za niemożliwą, bo ułamki nie są skrócone; nieskrócony zapis nie zmienia wartości.

Zadania otwarte

Zadanie 15 (marzec 2021)2 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α+cos⁡α=75\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{7}{5}. Oblicz wartość wyrażenia 2sin⁡αcos⁡α2\sin\alpha\cos\alpha.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 2sin⁡αcos⁡α=24252\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{24}{25}

  1. Nie wyznaczamy sinusa ani cosinusa osobno — to byłoby rozwiązywanie układu z pierwiastkami. Cały pomysł polega na podniesieniu danej do kwadratu.
  2. (sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α\left(\sin\alpha + \cos\alpha\right)^2 = \sin^2\alpha + \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha
  3. Grupujemy kwadraty — to jedynka trygonometryczna:
  4. =sin⁡2α+cos⁡2α⏟=1+2sin⁡αcos⁡α=1+2sin⁡αcos⁡α= \underbrace{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}_{= \textcolor{#E0453A}{1}} + \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha
  5. Podstawiamy daną z treści:
  6. (75)2=1+2sin⁡αcos⁡α⟹4925=1+2sin⁡αcos⁡α\left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac75}\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{1} + 2\sin\alpha\cos\alpha \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{\dfrac{49}{25}} = \textcolor{#E0453A}{1} + 2\sin\alpha\cos\alpha
  7. 2sin⁡αcos⁡α=4925−1=4925−2525=24252\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{49}{25}} - \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{49}{25}} - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{25}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \dfrac{24}{25}
  8. Odpowiedź: 2sin⁡αcos⁡α=24252\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac{24}{25}.
  9. Sprawdzenie. Szukany iloczyn to 1225\tfrac{12}{25}, a suma 75\tfrac75 — takie liczby dają sinus i cosinus równe 45\tfrac45 i 35\tfrac35 (trójka pitagorejska 3,4,53,4,5).
  10. Kontrola: 45+35=75\tfrac45 + \tfrac35 = \tfrac75 ✓ oraz 2⋅45⋅35=24252 \cdot \tfrac45 \cdot \tfrac35 = \tfrac{24}{25} ✓
  11. Kontrola sensowności. Iloczyn 2sin⁡αcos⁡α2\sin\alpha\cos\alpha dla kąta ostrego nie przekracza 11 (największy jest przy 45∘45^\circ), a 2425=0,96\tfrac{24}{25} = 0{,}96 mieści się poniżej — wynik jest więc możliwy. To warto sprawdzić, bo gdyby wyszło coś powyżej 11, dana z treści byłaby sprzeczna.

💡 Wskazówka: Gdy dana jest suma sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha + \cos\alpha, a pytanie dotyczy iloczynu — podnieś daną do kwadratu. Po rozwinięciu zostaje 1+2sin⁡αcos⁡α1 + 2\sin\alpha\cos\alpha, czyli dokładnie to, o co pytają, plus jedynka. Odwrotnie działa to samo: z iloczynu można dostać sumę. Nie próbuj wyznaczać obu funkcji osobno — prowadzi to do równania kwadratowego, którego zadanie nie wymaga.

⚠ Podniesienie do kwadratu tylko jednego składnika, czyli zapisanie (sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+cos⁡2α=1\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 — wtedy dana z treści znika i zadania nie da się dokończyć. Kwadrat sumy ma trzy składniki i to środkowy jest tu najważniejszy. Drugi błąd: zapomnienie o odjęciu jedynki i podanie 4925\tfrac{49}{25}; ta liczba jest większa od 11, a iloczyn 2sin⁡αcos⁡α2\sin\alpha\cos\alpha przekroczyć jedynki nie może — kontrola zakresu wykrywa to natychmiast.

Zadanie 16 (czerwiec 2017)2 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i spełniona jest równość sin⁡α+cos⁡α=72\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{\sqrt7}{2}. Oblicz wartość wyrażenia (sin⁡α−cos⁡α)2\left(\sin\alpha - \cos\alpha\right)^2.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: (sin⁡α−cos⁡α)2=14\left(\sin\alpha - \cos\alpha\right)^2 = \dfrac{1}{4}

  1. Dane jest kwadrat sumy, a pytanie dotyczy kwadratu różnicy. Oba rozwijają się prawie identycznie — różnią się tylko znakiem środkowego wyrazu.
  2. Krok 1 — z danej wyciągamy iloczyn. Podnosimy daną do kwadratu:
  3. (72)2=74(kwadrat pierwiastka usuwa pierwiastek)\left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt7}{2}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{7}}{\textcolor{#E0453A}{4}} \qquad \text{(kwadrat pierwiastka usuwa pierwiastek)}
  4. 1+2sin⁡αcos⁡α=74⟹2sin⁡αcos⁡α=74−1=34\textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac74} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac74} - \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac34}
  5. Krok 2 — kwadrat różnicy. Ten sam rozkład, tylko z minusem w środku:
  6. (sin⁡α−cos⁡α)2=sin⁡2α+cos⁡2α⏟=1−2sin⁡αcos⁡α=1−34=14\left(\sin\alpha - \cos\alpha\right)^2 = \underbrace{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}_{= \textcolor{#E0453A}{1}} - \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac34} = \dfrac{1}{4}
  7. Odpowiedź: (sin⁡α−cos⁡α)2=14\left(\sin\alpha - \cos\alpha\right)^2 = \tfrac14.
  8. Warto zauważyć zależność. Suma obu kwadratów jest zawsze równa 22:
  9. (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(sin⁡2α+cos⁡2α)=2\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2 + \left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{2}\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right) = \textcolor{#E0453A}{2}
  10. Sprawdzenie: 74+14=2\tfrac74 + \tfrac14 = \textcolor{#E0453A}{2} ✓ — i to jest najkrótsza droga do tego zadania: wystarczy odjąć daną od dwójki.
  11. Kontrola liczbowa. Kąt spełniający daną to ≈65,7∘\approx \textcolor{#E0453A}{65{,}7^\circ}, gdzie sin⁡α≈0,911\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}911} i cos⁡α≈0,411\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}411}.
  12. Suma: ≈1,323\approx \textcolor{#E0453A}{1{,}323}, a 72≈1,323\tfrac{\sqrt7}{2} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}323} ✓ Różnica: ≈0,500\approx \textcolor{#E0453A}{0{,}500}, jej kwadrat ≈0,250=14\approx \textcolor{#E0453A}{0{,}250} = \tfrac14 ✓

💡 Wskazówka: Zapamiętaj parę wzorów: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha oraz (sin⁡α−cos⁡α)2=1−2sin⁡αcos⁡α\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha. Ich suma jest zawsze równa 22, więc gdy jeden jest dany, drugi dostajesz odejmowaniem od dwójki — bez liczenia iloczynu. To rozwiązuje całe zadanie w jednej linijce.

⚠ Potraktowanie (72)2\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2 jako 74\tfrac{\sqrt7}{4} — kwadrat pierwiastka z siódemki to siódemka, pierwiastek znika. Drugi błąd: pomylenie znaku i policzenie 1+34=741 + \tfrac34 = \tfrac74 jako odpowiedzi; kwadrat różnicy ma minus w środku, więc odejmujemy. Kontrola dwójką rozstrzyga to natychmiast: gdyby oba kwadraty wynosiły 74\tfrac74, ich suma byłaby 72\tfrac72, a musi być 22.

Zadanie 17 (czerwiec 2018)2 pkttrudniejsze

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α+cos⁡α=2\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt2. Oblicz wartość wyrażenia tg⁡α+1tg⁡α\operatorname{tg}\alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: tg⁡α+1tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = 2

  1. Zadanie łączy dwa przekształcenia: z danej wyciągniemy iloczyn, a szukane wyrażenie sprowadzimy do tego samego iloczynu.
  2. Krok 1 — iloczyn z danej.
  3. (2)2=1+2sin⁡αcos⁡α⟹2=1+2sin⁡αcos⁡α\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha
  4. 2sin⁡αcos⁡α=1⟹sin⁡αcos⁡α=12\textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad \sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}
  5. Krok 2 — upraszczamy szukane wyrażenie. Podstawiamy definicję tangensa i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  6. tg⁡α+1tg⁡α=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}}{\sin\alpha\cos\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\sin\alpha\cos\alpha}
  7. Licznik zwinął się do jedynki — i to jest sedno zadania. Wyrażenie zależy wyłącznie od iloczynu.
  8. Krok 3 — podstawiamy:
  9. 112=2\dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#E0453A}{\frac12}} = 2
  10. Odpowiedź: tg⁡α+1tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha + \tfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = 2.
  11. Co tu właściwie zaszło. Iloczyn sin⁡αcos⁡α=12\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac12 jest największy możliwy dla kąta ostrego i osiąga tę wartość tylko przy α=45∘\alpha = \textcolor{#E0453A}{45^\circ}. Zadanie w ukryciu podaje więc konkretny kąt.
  12. Sprawdzenie: dla 45∘45^\circ mamy sin⁡α=cos⁡α=22\sin\alpha = \cos\alpha = \tfrac{\sqrt2}{2}, więc suma to 2\sqrt2 ✓, a tg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{1}, czyli 1+11=21 + \tfrac11 = 2 ✓
  13. Warto jednak przejść drogą ogólną, a nie zgadywać kąt — bo przy innej danej z treści kąt nie byłby tak wygodny, a rachunek działa zawsze.

💡 Wskazówka: Wyrażenie tg⁡α+1tg⁡α\operatorname{tg}\alpha + \tfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} zawsze upraszcza się do 1sin⁡αcos⁡α\tfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} — po sprowadzeniu do wspólnego mianownika licznik zwija się do jedynki. Warto to zapamiętać jako gotowy wzór, bo pojawia się w wielu zadaniach i za każdym razem zamienia je w pytanie o iloczyn sinusa i cosinusa.

⚠ Próba wyznaczenia sin⁡α\sin\alpha i cos⁡α\cos\alpha osobno z układu {sin⁡α+cos⁡α=2, sin⁡2α+cos⁡2α=1}\left\{\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt2,\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\right\} — droga poprawna, ale prowadzi przez równanie kwadratowe, a zadanie tego nie wymaga. Drugi błąd: dodanie ułamków bez wspólnego mianownika, czyli zapisanie sin⁡α+cos⁡αcos⁡α+sin⁡α=1\tfrac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} = 1 — ułamki dodaje się przez wspólny mianownik, a nie licznik do licznika i mianownik do mianownika.

Zadanie 18 (sierpień 2015)2 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i spełnia równość tg⁡α+1tg⁡α=72\operatorname{tg}\alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{7}{2}. Oblicza wartość wyrażenia sin⁡α⋅cos⁡α\sin\alpha \cdot \cos\alpha.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: sin⁡αcos⁡α=27\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{2}{7}

  1. Kierunek odwrotny niż w poprzednim zadaniu: tam iloczyn był po drodze, tu jest celem. Wzór jest ten sam.
  2. tg⁡α+1tg⁡α=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}}{\sin\alpha\cos\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\sin\alpha\cos\alpha}
  3. Przyrównujemy do danej z treści:
  4. 1sin⁡αcos⁡α=72\dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\sin\alpha\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac72}
  5. Odwracamy obie strony:
  6. sin⁡αcos⁡α=27\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{2}{7}
  7. Odpowiedź: sin⁡αcos⁡α=27\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac27.
  8. Kontrola osiągalności. Iloczyn sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha dla kąta ostrego nie przekracza 12\tfrac12, a 27≈0,286\tfrac27 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}286} mieści się poniżej — dana z treści jest więc możliwa. Warto to sprawdzać: gdyby wyszło coś powyżej 12\tfrac12, żaden kąt nie spełniałby warunku.
  9. Sprawdzenie liczbowe. Kąt spełniający daną to ≈17,4∘\approx \textcolor{#E0453A}{17{,}4^\circ}, gdzie sin⁡α≈0,299\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}299} i cos⁡α≈0,954\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}954}.
  10. Iloczyn: ≈0,286=27\approx \textcolor{#E0453A}{0{,}286} = \tfrac27 ✓ Kontrola danej: tg⁡α≈0,314\operatorname{tg}\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}314}, a 0,314+10,314≈3,50=720{,}314 + \tfrac{1}{0{,}314} \approx \textcolor{#E0453A}{3{,}50} = \tfrac72 ✓
  11. Dlaczego dana musi być co najmniej 22. Skoro wyrażenie równa się 1sin⁡αcos⁡α\tfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}, a iloczyn nie przekracza 12\tfrac12, to wyrażenie nie może być mniejsze od 22. Dana 72\tfrac72 jest większa, więc wszystko się zgadza — a gdyby w treści stało na przykład 32\tfrac32, zadanie byłoby sprzeczne.

💡 Wskazówka: Rozpoznaj wzór tg⁡α+1tg⁡α=1sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha + \tfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \tfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} i całe zadanie sprowadza się do odwrócenia ułamka. Dwa zadania na tej stronie różnią się tylko tym, która strona tej równości jest dana — warto więc zapamiętać sam wzór, a nie procedurę.

⚠ Podanie 72\tfrac72 jako odpowiedzi, czyli pominięcie odwrócenia — dana z treści jest odwrotnością szukanego iloczynu, nie nim samym. Kontrola zakresu wykrywa to od razu: 72=3,5\tfrac72 = 3{,}5 jest znacznie większe od 12\tfrac12, a iloczyn sinusa i cosinusa tyle wynosić nie może. Drugi błąd: mnożenie zamiast dodawania ułamków przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika, co daje sin⁡αcos⁡αcos⁡αsin⁡α=1\tfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha\sin\alpha} = 1 i gubi całą informację.

Zadanie 19 (maj 2011)2 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2. Oblicz wartość wyrażenia sin⁡α⋅cos⁡α\sin\alpha \cdot \cos\alpha.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: sin⁡αcos⁡α=12\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}

  1. To ten sam warunek co w poprzednim zadaniu, tylko rozpisany — pierwszy ułamek to tangens, drugi jego odwrotność.
  2. sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1sin⁡αcos⁡α=2\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}}{\sin\alpha\cos\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\sin\alpha\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}
  3. sin⁡αcos⁡α=12\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}
  4. Odpowiedź: sin⁡αcos⁡α=12\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac12.
  5. Ten wynik jest szczególny. Iloczyn sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha osiąga wartość 12\tfrac12 tylko dla α=45∘\alpha = \textcolor{#E0453A}{45^\circ} — to jego największa możliwa wartość dla kąta ostrego. Dana z treści opisuje więc dokładnie jeden kąt.
  6. Sprawdzenie: dla 45∘45^\circ mamy sin⁡α=cos⁡α=22\sin\alpha = \cos\alpha = \tfrac{\sqrt2}{2}, więc oba ułamki są równe 1\textcolor{#E0453A}{1}, a ich suma 2\textcolor{#E0453A}{2} ✓ Iloczyn: 22⋅22=24=12\tfrac{\sqrt2}{2} \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = \tfrac{2}{4} = \tfrac12 ✓
  7. Dlaczego dwójka jest tu wartością graniczną. Wyrażenie równa się 1sin⁡αcos⁡α\tfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}, a iloczyn nie przekracza 12\tfrac12, więc wyrażenie jest zawsze co najmniej 22. Dana z treści trafia dokładnie w tę granicę — i dlatego kąt jest wyznaczony jednoznacznie.
  8. Porównaj z poprzednim zadaniem, gdzie dana 72\tfrac72 była większa od granicy: tam kąt też był jeden, ale nie tak okrągły (≈17,4∘\approx 17{,}4^\circ). Im dana bliżej dwójki, tym kąt bliżej 45∘45^\circ.

💡 Wskazówka: Rozpoznaj, że sin⁡αcos⁡α\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} i cos⁡αsin⁡α\tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} to liczby wzajemnie odwrotne, więc masz do czynienia z wyrażeniem postaci x+1xx + \tfrac1x. Taka suma jest zawsze co najmniej 22 dla dodatniego xx, z równością tylko przy x=1x = 1 — czyli przy tg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha = 1, czyli dla 45∘45^\circ. Dana równa dokładnie 22 jest więc sygnałem, że kąt jest wyznaczony.

⚠ Sprowadzenie do wspólnego mianownika z błędem: licznik to sin⁡2α+cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha, a nie sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha + \cos\alpha — po pomnożeniu na krzyż każdy składnik podnosi się do kwadratu. Drugi błąd: podanie 22 jako odpowiedzi, czyli pominięcie odwrócenia. Trzeci: uznanie, że skoro wynik to 12\tfrac12, a sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha nie może być większe, to zadanie jest sprzeczne — może być równe 12\tfrac12, i to dokładnie przy 45∘45^\circ.

Zadanie 20 (sierpień 2014)2 pkttrudniejsze

Kąt α\alpha jest ostry oraz 4sin⁡2α+4cos⁡2α=25\dfrac{4}{\sin^2\alpha} + \dfrac{4}{\cos^2\alpha} = 25. Oblicz wartość wyrażenia sin⁡α⋅cos⁡α\sin\alpha \cdot \cos\alpha.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: sin⁡αcos⁡α=25\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{2}{5}

  1. Krok 1 — wyciągamy czwórkę przed nawias. To robi porządek, zanim zaczniemy sprowadzać do wspólnego mianownika:
  2. 4(1sin⁡2α+1cos⁡2α)=25\textcolor{#16A06A}{4}\left(\dfrac{1}{\sin^2\alpha} + \dfrac{1}{\cos^2\alpha}\right) = \textcolor{#16A06A}{25}
  3. 1sin⁡2α+1cos⁡2α=254\dfrac{1}{\sin^2\alpha} + \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{4}}
  4. Krok 2 — sprowadzamy do wspólnego mianownika. Licznik zwija się do jedynki:
  5. cos⁡2α+sin⁡2αsin⁡2αcos⁡2α=1sin⁡2αcos⁡2α=254\dfrac{\textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{4}}
  6. Krok 3 — odwracamy i pierwiastkujemy. Zauważ, że sin⁡2αcos⁡2α=(sin⁡αcos⁡α)2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^2:
  7. (sin⁡αcos⁡α)2=425⟹sin⁡αcos⁡α=25albo−25\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{25}} \qquad \Longrightarrow \qquad \sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac25} \quad \text{albo} \quad \textcolor{#E0453A}{-\dfrac25}
  8. Kąt jest ostry, więc oba czynniki są dodatnie i iloczyn też. Zostaje 25\tfrac25.
  9. Odpowiedź: sin⁡αcos⁡α=25\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac25.
  10. Kontrola osiągalności. Wynik 25=0,4\tfrac25 = \textcolor{#E0453A}{0{,}4} jest mniejszy od 12\tfrac12, więc taki kąt istnieje. Warto sprawdzić też daną: skoro 1(sin⁡αcos⁡α)2⩾4\tfrac{1}{\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^2} \geqslant 4, to lewa strona z treści jest co najmniej 4⋅4=164 \cdot 4 = \textcolor{#E0453A}{16} — a podane 2525 jest większe, więc warunek jest spełnialny.
  11. Sprawdzenie liczbowe. Kąt spełniający daną to ≈26,57∘\approx \textcolor{#E0453A}{26{,}57^\circ}, gdzie sin⁡α≈0,447\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}447} i cos⁡α≈0,894\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}894}.
  12. Iloczyn: ≈0,400\approx \textcolor{#E0453A}{0{,}400} ✓ Kontrola danej: 40,2+40,8=20+5=25\tfrac{4}{0{,}2} + \tfrac{4}{0{,}8} = \textcolor{#E0453A}{20} + \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{25} ✓

💡 Wskazówka: Suma 1sin⁡2α+1cos⁡2α\tfrac{1}{\sin^2\alpha} + \tfrac{1}{\cos^2\alpha} zawsze upraszcza się do 1(sin⁡αcos⁡α)2\tfrac{1}{\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^2} — warto to mieć jako gotowy wzór. Współczynnik przed ułamkami (tu czwórkę) wyciągnij przed nawias na początku, bo inaczej wejdzie w sprowadzanie do wspólnego mianownika i łatwo go zgubić. Na końcu pamiętaj o pierwiastku: wzór daje kwadrat iloczynu, nie iloczyn.

⚠ Pominięcie pierwiastka i podanie 425\tfrac{4}{25} — wzór daje kwadrat iloczynu, więc trzeba jeszcze spierwiastkować licznik i mianownik osobno. Drugi błąd: niewyciągnięcie czwórki i przyrównanie 1(sin⁡αcos⁡α)2\tfrac{1}{\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^2} do 2525 zamiast do 254\tfrac{25}{4}; wychodzi wtedy 15\tfrac15, liczba mniejsza od poprawnej dokładnie dwa razy. Trzeci: wzięcie ujemnego pierwiastka — dla kąta ostrego oba czynniki są dodatnie.

Zadanie 21 (maj 2020)2 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i spełnia warunek 2sin⁡α+3cos⁡αcos⁡α=4\dfrac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 4. Oblicz tangens α\alpha.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: tg⁡α=12\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{2}

  1. Mianownik jest jednym składnikiem, więc ułamek można rozdzielić na dwa — i to jest cała sztuczka tego zadania.
  2. 2sin⁡α+3cos⁡αcos⁡α=2sin⁡αcos⁡α+3cos⁡αcos⁡α\dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}\sin\alpha + \textcolor{#16A06A}{3}\cos\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}\cos\alpha}{\cos\alpha}
  3. W pierwszym ułamku powstaje tangens, w drugim cosinusy się skracają:
  4. =2⋅sin⁡αcos⁡α+3=2tg⁡α+3= \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{2}\operatorname{tg}\alpha + \textcolor{#16A06A}{3}
  5. Przyrównujemy do danej:
  6. 2tg⁡α+3=4⟹2tg⁡α=1⟹tg⁡α=12\textcolor{#16A06A}{2}\operatorname{tg}\alpha + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#16A06A}{2}\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{2}
  7. Odpowiedź: tg⁡α=12\operatorname{tg}\alpha = \tfrac12.
  8. Sprawdzenie. Dla tg⁡α=12\operatorname{tg}\alpha = \tfrac12 trójkąt ma przyprostokątne 1\textcolor{#E0453A}{1} i 2\textcolor{#E0453A}{2}, więc sin⁡α=15\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{\sqrt5}} i cos⁡α=25\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{2}{\sqrt5}}.
  9. Podstawiamy: 2⋅15+3⋅2525=25+6525=82=4\dfrac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt5} + 3 \cdot \frac{2}{\sqrt5}}{\frac{2}{\sqrt5}} = \dfrac{\frac{2}{\sqrt5} + \frac{6}{\sqrt5}}{\frac{2}{\sqrt5}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{4} ✓
  10. Zwróć uwagę, że pierwiastki się skróciły — bo licznik i mianownik są tego samego stopnia. Dlatego dzielenie przez cosinus działa w tym zadaniu tak dobrze.

💡 Wskazówka: Gdy w mianowniku stoi jedna funkcja, a w liczniku suma — rozdziel ułamek na dwa. Każdy składnik podzielony przez cos⁡α\cos\alpha daje albo tangens (gdy był sinusem), albo liczbę (gdy był cosinusem). Ten sam trik pod inną nazwą: „podziel licznik i mianownik przez cos⁡α\cos\alpha” — po takim podzieleniu wyrażenie zależy już tylko od tangensa.

⚠ Skracanie cos⁡α\cos\alpha z mianownika tylko z drugim składnikiem licznika i uznanie, że zostaje 2sin⁡α+3=42\sin\alpha + 3 = 4 — nie wolno tak skracać, bo mianownik dotyczy całego licznika. Poprawnie: albo rozdzielasz ułamek na dwa, albo dzielisz każdy składnik. Drugi błąd: zapomnienie o dwójce przy tangensie i podanie tg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha = 1 z równania tg⁡α+3=4\operatorname{tg}\alpha + 3 = 4; współczynnik 22 zostaje przy tangensie i trzeba przez niego podzielić.

Zadanie 22 (sierpień 2013)2 pktśrednie

Kąt α\alpha jest ostry i tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = 2. Oblicz sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+cos⁡α\dfrac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+cos⁡α=13\dfrac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \dfrac{1}{3}

  1. Licznik i mianownik są tego samego stopnia — w obu każdy składnik zawiera dokładnie jedną funkcję. W takim wyrażeniu wystarczy znać tangens.
  2. Dzielimy licznik i mianownik przez cos⁡α\cos\alpha (wolno, bo dla kąta ostrego cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0):
  3. sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+cos⁡α=sin⁡αcos⁡α−cos⁡αcos⁡αsin⁡αcos⁡α+cos⁡αcos⁡α=tg⁡α−1tg⁡α+1\dfrac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \dfrac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha - \textcolor{#E0453A}{1}}{\operatorname{tg}\alpha + \textcolor{#E0453A}{1}}
  4. Podstawiamy daną:
  5. 2−12+1=13\dfrac{\textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{1}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#E0453A}{3}}
  6. Odpowiedź: 13\tfrac13.
  7. Druga droga — podstawienie wielokrotności. Z tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{2} wynika sin⁡α=2k\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{2}k i cos⁡α=1k\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{1}k dla pewnego k>0k > 0:
  8. 2k−1k2k+1k=1k3k=13\dfrac{\textcolor{#E0453A}{2} k - \textcolor{#E0453A}{1} k}{\textcolor{#E0453A}{2} k + \textcolor{#E0453A}{1} k} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1} k}{\textcolor{#E0453A}{3} k} = \dfrac13 ✓ — litera kk się skraca, więc nie trzeba jej wyznaczać.
  9. Kontrola liczbowa: tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = 2 oznacza α≈63,43∘\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{63{,}43^\circ}, gdzie sin⁡α≈0,894\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}894} i cos⁡α≈0,447\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}447}.
  10. 0,894−0,4470,894+0,447=0,4471,342≈0,333=13\dfrac{0{,}894 - 0{,}447}{0{,}894 + 0{,}447} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{0{,}447}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}342}} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}333} = \tfrac13 ✓
  11. Kontrola znaku. Tangens 2>12 > 1 oznacza, że sinus jest większy od cosinusa, więc licznik jest dodatni — a przy tangensie mniejszym od 11 wyszedłby ujemny. Znak wyniku niesie więc informację o tym, czy kąt przekracza 45∘45^\circ.

💡 Wskazówka: Rozpoznaj wyrażenie jednorodne: jeśli w liczniku i mianowniku każdy składnik ma dokładnie jedną funkcję trygonometryczną, podziel oba przez cos⁡α\cos\alpha — zostaną same tangensy. Nie trzeba wtedy liczyć ani sinusa, ani cosinusa, ani przeciwprostokątnej. To najczęstszy typ zadania otwartego z tangensem w danych.

⚠ Wyznaczanie sin⁡α=25\sin\alpha = \tfrac{2}{\sqrt5} i cos⁡α=15\cos\alpha = \tfrac{1}{\sqrt5}, a potem podstawianie — droga poprawna, ale przechodzi przez pierwiastki, które i tak się skrócą. Drugi błąd: podzielenie tylko licznika przez cos⁡α\cos\alpha i zapomnienie o mianowniku, co daje tg⁡α−1sin⁡α+cos⁡α\tfrac{\operatorname{tg}\alpha - 1}{\sin\alpha+\cos\alpha} — wyrażenie, którego nie da się dokończyć. Dzielić trzeba oba, bo tylko wtedy wartość ułamka się nie zmienia.

Zadanie 23 (informator CKE)2 pkttrudniejsze

Wiedząc, że α\alpha jest kątem ostrym i tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = 2, oblicz wartość wyrażenia 4cos⁡α−3sin⁡α3cos⁡α+5sin⁡α\dfrac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{3\cos\alpha + 5\sin\alpha}.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4cos⁡α−3sin⁡α3cos⁡α+5sin⁡α=−213\dfrac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{3\cos\alpha + 5\sin\alpha} = -\dfrac{2}{13}

  1. Znowu wyrażenie jednorodne, tylko ze współczynnikami — i z wynikiem ujemnym, co warto przewidzieć zawczasu.
  2. Dzielimy licznik i mianownik przez cos⁡α\cos\alpha:
  3. 4cos⁡α−3sin⁡α3cos⁡α+5sin⁡α=4−3tg⁡α3+5tg⁡α\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}\cos\alpha - \textcolor{#16A06A}{3}\sin\alpha}{\textcolor{#16A06A}{3}\cos\alpha + \textcolor{#16A06A}{5}\sin\alpha} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4} - \textcolor{#16A06A}{3}\operatorname{tg}\alpha}{\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{5}\operatorname{tg}\alpha}
  4. Podstawiamy tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{2}:
  5. =4−3⋅23+5⋅2=4−63+10=−213=−213= \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4} - \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4} - \textcolor{#E0453A}{6}}{\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#E0453A}{10}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-2}}{\textcolor{#E0453A}{13}} = -\dfrac{2}{13}
  6. Odpowiedź: −213-\tfrac{2}{13}.
  7. Kontrola znaku, przed rachunkiem. Tangens 22 oznacza, że sinus jest dwa razy większy od cosinusa. W liczniku odejmujemy 3sin⁡α3\sin\alpha od 4cos⁡α4\cos\alpha, czyli w praktyce około 6cos⁡α6\cos\alpha od 4cos⁡α4\cos\alpha — wynik ujemny. Mianownik jest dodatni, bo oba składniki są dodatnie. Cały ułamek musi więc być ujemny.
  8. Kontrola liczbowa: sin⁡α≈0,894\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}894}, cos⁡α≈0,447\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}447}.
  9. Licznik: 4⋅0,447−3⋅0,894≈1,789−2,683=−0,8944 \cdot 0{,}447 - 3 \cdot 0{,}894 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}789} - \textcolor{#E0453A}{2{,}683} = \textcolor{#E0453A}{-0{,}894}
  10. Mianownik: 3⋅0,447+5⋅0,894≈1,342+4,472=5,8143 \cdot 0{,}447 + 5 \cdot 0{,}894 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}342} + \textcolor{#E0453A}{4{,}472} = \textcolor{#E0453A}{5{,}814}
  11. Iloraz: ≈−0,1538\approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}1538}, a −213≈−0,1538-\tfrac{2}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}1538} ✓
  12. Uwaga na kolejność. Po podzieleniu przez cos⁡α\cos\alpha współczynnik przy cosinusie zostaje liczbą, a współczynnik przy sinusie mnoży tangens. Łatwo to pomieszać, bo w treści cosinus stoi pierwszy w liczniku, a w mianowniku też — ale to przypadek, nie reguła.

💡 Wskazówka: Po podzieleniu przez cos⁡α\cos\alpha pilnuj, który współczynnik mnoży tangens: ten, który stał przy sinusie. Zapisz to od razu w postaci 4−3tg⁡α3+5tg⁡α\tfrac{4 - 3\operatorname{tg}\alpha}{3 + 5\operatorname{tg}\alpha} i dopiero potem podstawiaj liczbę. Przewiduj też znak: przy tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = 2 sinus jest dwa razy większy od cosinusa, więc składnik z sinusem zwykle przeważa.

⚠ Pomylenie, który współczynnik mnoży tangens, i zapisanie 4tg⁡α−33tg⁡α+5\tfrac{4\operatorname{tg}\alpha - 3}{3\operatorname{tg}\alpha + 5} — wtedy wychodzi 511\tfrac{5}{11}, liczba dodatnia, co przeczy kontroli znaku. Drugi błąd: zgubienie minusa w liczniku i podanie 213\tfrac{2}{13}; wynik musi być ujemny, bo 3sin⁡α>4cos⁡α3\sin\alpha > 4\cos\alpha przy tangensie równym 22. Trzeci: dzielenie tylko licznika przez cos⁡α\cos\alpha.

Zadanie 24 (informator CKE)4 pkttrudniejsze

W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa 233\dfrac{2\sqrt3}{3}. Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Iloczyn sinusów kątów ostrych jest równy 16\dfrac{1}{6}

  1. Zadanie za cztery punkty i najmocniejsze na tej stronie. Nie da się tu wyznaczyć kątów — trzeba zauważyć, jak są ze sobą powiązane.
  2. Krok 1 — kąty się dopełniają. W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90∘\textcolor{#E0453A}{90^\circ}, więc jeśli jeden ma miarę α\alpha, drugi ma 90∘−α\textcolor{#E0453A}{90^\circ - \alpha}.
  3. Krok 2 — wzory redukcyjne zamieniają sinusy na cosinusy. To sedno zadania:
  4. sin⁡(90∘−α)=cos⁡αorazcos⁡(90∘−α)=sin⁡α\sin\left(90^\circ - \alpha\right) = \cos\alpha \qquad \text{oraz} \qquad \cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha
  5. Zapisujemy obie wielkości z treści przez sam kąt α\alpha:
  6. suma cosinusów: cos⁡α+cos⁡(90∘−α)=cos⁡α+sin⁡α=233\cos\alpha + \cos\left(90^\circ-\alpha\right) = \cos\alpha + \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{2\sqrt3}{3}}
  7. iloczyn sinusów: sin⁡α⋅sin⁡(90∘−α)=sin⁡α⋅cos⁡α\sin\alpha \cdot \sin\left(90^\circ-\alpha\right) = \sin\alpha \cdot \textcolor{#E0453A}{\cos\alpha}
  8. I tu pointa: iloczyn sinusów obu kątów jest równy sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha — czyli szukamy iloczynu z sumy, dokładnie jak w pierwszych zadaniach tej strony.
  9. Krok 3 — podnosimy sumę do kwadratu:
  10. (233)2=4⋅39=129=43\left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2\sqrt3}{3}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{12}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43}
  11. 1+2sin⁡αcos⁡α=43⟹2sin⁡αcos⁡α=13\textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}
  12. sin⁡αcos⁡α=16\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{6}
  13. Odpowiedź: iloczyn sinusów kątów ostrych jest równy 16\tfrac16.
  14. Kontrola liczbowa. Kąt spełniający daną to ≈80,26∘\approx \textcolor{#E0453A}{80{,}26^\circ} (drugi więc ≈9,74∘\approx \textcolor{#E0453A}{9{,}74^\circ}).
  15. Suma cosinusów: cos⁡80,26∘+cos⁡9,74∘≈0,169+0,986=1,155\cos 80{,}26^\circ + \cos 9{,}74^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}169} + \textcolor{#E0453A}{0{,}986} = \textcolor{#E0453A}{1{,}155}, a 233≈1,155\tfrac{2\sqrt3}{3} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}155} ✓
  16. Iloczyn sinusów: sin⁡80,26∘⋅sin⁡9,74∘≈0,986⋅0,169≈0,167=16\sin 80{,}26^\circ \cdot \sin 9{,}74^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}986} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}169} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}167} = \tfrac16 ✓
  17. Dlaczego iloczyn sinusów równa się iloczynowi cosinusów. Bo sinus jednego kąta jest cosinusem drugiego — te same dwie liczby, tylko w odwrotnym przyporządkowaniu. To dlatego zadanie o sinusach da się rozwiązać z danej o cosinusach.

💡 Wskazówka: W trójkącie prostokątnym kąty ostre dopełniają się do 90∘90^\circ, więc sinus jednego jest cosinusem drugiego. Zamień więc wszystko na funkcje jednego kąta — wtedy suma cosinusów staje się cos⁡α+sin⁡α\cos\alpha+\sin\alpha, a iloczyn sinusów sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha, i zadanie sprowadza się do znanego przejścia „suma → iloczyn” przez podniesienie do kwadratu.

⚠ Próba wyznaczenia obu kątów osobno — dana nie pozwala na to elementarnie i to najczęstsza droga w nikąd. Drugi błąd: potraktowanie kątów jako niezależnych i zapisanie sumy cosinusów jako cos⁡α+cos⁡β\cos\alpha + \cos\beta bez wykorzystania β=90∘−α\beta = 90^\circ - \alpha; wtedy zostają dwie niewiadome i jedno równanie. Trzeci: pomyłka w kwadracie (233)2\left(\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2 — do kwadratu podnosi się dwójkę i pierwiastek, więc licznik daje 4⋅3=124 \cdot 3 = 12, a nie 232\sqrt3 ani 434\sqrt3.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. A3. A4. A5. A6. A
7. B8. A9. C10. C11. C12. B
13. A14. A15. 2sin⁡αcos⁡α=24252\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{24}{25}16. (sin⁡α−cos⁡α)2=14\left(\sin\alpha - \cos\alpha\right)^2 = \dfrac{1}{4}17. tg⁡α+1tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha + \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = 218. sin⁡αcos⁡α=27\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{2}{7}
19. sin⁡αcos⁡α=12\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2}20. sin⁡αcos⁡α=25\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{2}{5}21. tg⁡α=12\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{2}22. sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+cos⁡α=13\dfrac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \dfrac{1}{3}23. 4cos⁡α−3sin⁡α3cos⁡α+5sin⁡α=−213\dfrac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{3\cos\alpha + 5\sin\alpha} = -\dfrac{2}{13}24. Iloczyn sinusów kątów ostrych jest równy 16\dfrac{1}{6}

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jak brzmi twierdzenie sinusów?

W dowolnym trójkącie stosunek boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest taki sam dla wszystkich trzech par: asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}. Wspólna wartość równa się średnicy okręgu opisanego.

Kiedy stosować twierdzenie sinusów, a kiedy cosinusów?

Sinusów — gdy masz kompletną parę bok i kąt leżący naprzeciw niego, albo dwa kąty i bok. Cosinusów — gdy masz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki. Decyduje układ danych, nie rodzaj trójkąta.

Czemu równa się wspólny stosunek w twierdzeniu sinusów?

Średnicy okręgu opisanego na trójkącie, czyli 2R2R. Wynika to z twierdzenia o kącie wpisanym: kąt oparty na średnicy jest prosty, a kąty oparte na tym samym łuku są równe.

Jak obliczyć promień okręgu opisanego z twierdzenia sinusów?

Ze wzoru R=a2sin⁡αR = \frac{a}{2\sin\alpha}, gdzie aa i α\alpha to dowolna para bok–kąt naprzeciw. Dla trójkąta prostokątnego daje to połowę przeciwprostokątnej, bo sin⁡90°=1\sin 90° = 1.

Dlaczego przy wyznaczaniu kąta mogą wyjść dwa rozwiązania?

Bo sin⁡(180°−α)=sin⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha, więc ta sama wartość sinusa odpowiada kątowi ostremu i rozwartemu. Rozstrzyga suma kątów trójkąta oraz reguła, że naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.

Czy twierdzenie sinusów jest na maturze podstawowej?

Nie. Podstawa umieszcza je w dziale VII w zakresie rozszerzonym (punkt 7). W zakresie podstawowym jest natomiast twierdzenie cosinusów (punkt 3), razem ze wzorem na pole P=12absin⁡γP = \frac{1}{2}ab\sin\gamma. Te dwa twierdzenia leżą po dwóch stronach granicy zakresów, choć wyglądają na równorzędne.

Czytaj dalej

Twierdzenie cosinusówWersja dla zakresu podstawowego — to ono, a nie sinusy, obowiązuje na maturze podstawowejTrygonometriaDefinicje funkcji i wartości dla kątów szczególnychOkrąg opisany na trójkąciePromień, który wychodzi wprost z tego twierdzeniaKąt środkowy i wpisanyStąd bierze się związek ze średnicąWzory na pole trójkątaWzór z sinusem kąta między bokami
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22