Pojęcie miary kąta i jego uogólnienie

Odpowiedź: D

1. Tangens ze współrzędnych. Gdy drugie ramię kąta przechodzi przez punkt $P = (x, y)$, to
2. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{y}{x}$
3. — czyli druga współrzędna przez pierwszą. Warto zapamiętać kolejność, bo jest odwrotna do tej, w jakiej zapisuje się punkt.
4. Podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{-3}$ i $y = \textcolor{#16A06A}{1}$:
5. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#16A06A}{-3}} = -\dfrac{1}{3}$
6. Odpowiedź: $-\tfrac13$, czyli D.
7. Kontrola znaku: punkt leży w drugiej ćwiartce (pierwsza współrzędna ujemna, druga dodatnia), więc kąt jest rozwarty, a w drugiej ćwiartce tangens jest ujemny ✓ To odrzuca odpowiedź A jeszcze przed rachunkiem.
8. Skąd biorą się pozostałe dystraktory. Liczba $\sqrt{10}$ w odpowiedziach A i B to $r = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{10}}$, czyli odległość punktu $P$ od początku układu. Jest ona potrzebna do sinusa ($\sin\alpha = \tfrac{1}{\sqrt{10}}$) i cosinusa ($\cos\alpha = \tfrac{-3}{\sqrt{10}}$), ale nie do tangensa — tangens liczy się z samych współrzędnych, bez pierwiastka.
9. Odpowiedź C ($-\tfrac31$) to odwrócony ułamek, czyli policzenie $\tfrac{x}{y}$ zamiast $\tfrac{y}{x}$.

💡 Wskazówka: Tangens to $\tfrac{y}{x}$ — i to jedyna z trzech funkcji, do której nie trzeba liczyć odległości $r$. Jeśli łapiesz się na pierwiastkowaniu w zadaniu o tangensie, prawdopodobnie robisz krok, którego zadanie nie wymaga. Kontrola znaku jest natychmiastowa: punkt w drugiej ćwiartce oznacza tangens ujemny.

⚠ Policzenie $\tfrac{x}{y}$ zamiast $\tfrac{y}{x}$ i wybór $-\tfrac31$ (odpowiedź C). Pomocna jest analogia z funkcją liniową: tangens kąta nachylenia to współczynnik kierunkowy, czyli „ile w górę na ile w prawo” — najpierw $y$, potem $x$. Drugi błąd: policzenie $r = \sqrt{10}$ i wstawienie go do mianownika, czyli podanie sinusa (A) albo cosinusa (B) zamiast tangensa. Odległość $r$ jest tu poprawnie policzoną liczbą, tylko odpowiada na inne pytanie.

Odpowiedź: B

1. Tym razem mowa o kącie nachylenia prostej do osi $Ox$, a nie o kącie z ramieniem — ale liczy się go tak samo, bo prosta przechodzi przez początek układu.
2. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#16A06A}{-3}} = -\dfrac{4}{3}$
3. Odpowiedź: $-\tfrac43$, czyli B.
4. To samo przez współczynnik kierunkowy. Prosta przechodzi przez $\textcolor{#16A06A}{(0,0)}$ i $\textcolor{#16A06A}{(-3,4)}$, więc jej równanie ma postać $y = ax$, a
5. $a = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4} - 0}{\textcolor{#16A06A}{-3} - 0} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac43}$
6. Tangens kąta nachylenia prostej jest jej współczynnikiem kierunkowym — to ta sama liczba, policzona dwiema drogami.
7. Kontrola znaku: prosta opada (idąc w prawo, schodzi w dół), więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny, a kąt nachylenia rozwarty ✓ To odrzuca odpowiedzi C i D bez rachunku.
8. Uwaga na odpowiedź A ($-\tfrac34$). Ma dobry znak i te same cyfry, tylko odwrócone — to najczęstszy błąd w tym zadaniu, bo współrzędne punktu podaje się w kolejności $(x, y)$, a do ułamka wchodzą w kolejności odwrotnej.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj jedną równoważność, która upraszcza wiele zadań: tangens kąta nachylenia prostej to jej współczynnik kierunkowy $a$. Dlatego dla prostej przez początek układu wystarczy podzielić $y$ przez $x$ dowolnego jej punktu (poza początkiem). Znak sprawdzasz spojrzeniem na rysunek: prosta rosnąca → tangens dodatni, opadająca → ujemny.

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór $-\tfrac34$ (odpowiedź A) — znak jest wtedy poprawny, więc kontrola znaku tego błędu nie wykryje i trzeba pilnować samej kolejności. Drugi błąd: zgubienie minusa i wybór $\tfrac43$ (C). Kontrola: prosta na rysunku opada, a kąt nachylenia jest rozwarty, więc tangens musi być ujemny — dwie z czterech odpowiedzi odpadają natychmiast.

Odpowiedź: D

1. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{-4}} = -\dfrac{5}{4}$
2. Odpowiedź: $-\tfrac54$, czyli D.
3. Wszystkie cztery odpowiedzi są ujemne, więc kontrola znaku niczego tu nie rozstrzyga — trzeba policzyć dokładnie. Ale można zawęzić inaczej: punkt $\textcolor{#16A06A}{(-4,5)}$ ma drugą współrzędną większą od wartości bezwzględnej pierwszej ($5 > 4$), więc ramię jest bliżej osi $Oy$ niż osi $Ox$, a wtedy wartość bezwzględna tangensa musi być większa od $1$.
4. Sprawdźmy odpowiedzi tym kryterium: $\left|-\tfrac{\sqrt3}{3}\right| \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}58}$,  $\left|-\tfrac45\right| = \textcolor{#E0453A}{0{,}8}$,  $\left|-1\right| = \textcolor{#E0453A}{1}$,  $\left|-\tfrac54\right| = \textcolor{#E0453A}{1{,}25}$.
5. Tylko ostatnia przekracza $1$ — czyli D jeszcze przed właściwym rachunkiem.
6. Skąd dystraktory. Odpowiedź B ($-\tfrac45$) to odwrócony ułamek. Odpowiedź C ($-1$) to tangens kąta $135^\circ$, czyli sytuacja, w której punkt leżałby dokładnie na dwusiecznej — tu nie leży, bo $5 \ne 4$. Odpowiedź A to $-\operatorname{tg} 30^\circ$, liczba z tabeli wartości szczególnych, która z tym zadaniem nie ma nic wspólnego.

💡 Wskazówka: Gdy wszystkie odpowiedzi mają ten sam znak, poszukaj innego szybkiego kryterium. Tu wystarczy porównać $|y|$ z $|x|$: jeśli $|y| > |x|$, to $|\operatorname{tg}\alpha| > 1$; jeśli $|y| < |x|$, to $|\operatorname{tg}\alpha| < 1$. Ramię bliższe osi $Oy$ oznacza duży tangens, bliższe osi $Ox$ — mały.

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór $-\tfrac45$ (odpowiedź B) — to ta sama pomyłka co w poprzednich zadaniach i najczęstsza na tej stronie. Drugi błąd: odczytanie współrzędnych punktu z rysunku w odwrotnej kolejności, czyli przyjęcie $P = (5, -4)$; wtedy punkt leżałby w czwartej ćwiartce, a kąt nie byłby rozwarty, co przeczy rysunkowi. Warto podpisać sobie na rysunku, która współrzędna jest która, zanim się cokolwiek podzieli.

Odpowiedź: B, F

1. Zadanie za dwa punkty, trzeba wskazać dwie odpowiedzi. Dzielimy je na dwie grupy: cztery dotyczą znaków, dwie zależności między sinusem i cosinusem. Rozstrzygamy każdą grupę osobno.
2. Grupa znaków. Warunek $\textcolor{#16A06A}{90^\circ < \alpha < 180^\circ}$ mówi, że kąt jest w drugiej ćwiartce. Tam:
3. $\sin\alpha > 0$  (druga współrzędna punktu na ramieniu jest dodatnia),   $\cos\alpha < 0$  (pierwsza jest ujemna)
4. A: $\sin\alpha < 0$ — fałsz, sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni.
5. D: $\cos\alpha > 0$ — fałsz, cosinus jest ujemny.
6. B: $\sin\alpha \cdot \cos\alpha < 0$ — iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny, więc prawda ✓
7. C: $\sin\alpha \cdot \cos\alpha > 0$ — fałsz, bo iloczyn jest ujemny.
8. Grupa zależności. Korzystamy z definicji tangensa i danej z treści:
9. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{-3}$
10. Mnożymy obie strony przez $\cos\alpha$ (wolno, bo w drugiej ćwiartce $\cos\alpha \ne 0$):
11. $\sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{-3}\cos\alpha$
12. F: $\sin\alpha = -3\cos\alpha$ — prawda ✓
13. E: $\sin\alpha = -\tfrac13\cos\alpha$ — fałsz; to zależność dla $\operatorname{tg}\alpha = -\tfrac13$, czyli dla odwrotności danej z treści.
14. Odpowiedź: B oraz F.
15. Kontrola liczbowa. Skoro $\operatorname{tg}\alpha = -3$, ramię przechodzi na przykład przez punkt $(-1, 3)$, gdzie $r = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{10}}$. Wtedy $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{3}{\sqrt{10}}} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}949}$ i $\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac{1}{\sqrt{10}}} \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}316}$.
16. Sprawdzenie B: $0{,}949 \cdot (-0{,}316) \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}3} < 0$ ✓
17. Sprawdzenie F: $-3 \cdot (-0{,}316) \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}949} = \sin\alpha$ ✓
18. Sprawdzenie E dla kontrastu: $-\tfrac13 \cdot (-0{,}316) \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}105} \ne 0{,}949$ ✗

💡 Wskazówka: Podziel odpowiedzi na grupy według tego, czego dotyczą. Cztery pierwsze mówią o znakach i rozstrzyga je sama ćwiartka — nie trzeba znać wartości tangensa. Dwie ostatnie mówią o zależności i rozstrzyga je definicja $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ przemnożona przez cosinus. Skoro odpowiedzi mają być dwie, prawdopodobnie po jednej z każdej grupy — i tak tu jest.

⚠ Wybór E zamiast F, czyli wstawienie odwrotności tangensa. Z równania $\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -3$ po pomnożeniu przez $\cos\alpha$ zostaje $\sin\alpha = -3\cos\alpha$ — liczba $-3$ nie przechodzi do mianownika. Kontrola: sinus jest tu bliski jedynki, a cosinus bliski zera, więc sinus musi być wielokrotnością cosinusa, a nie jego ułamkiem. Drugi błąd: wskazanie tylko jednej odpowiedzi — polecenie wymaga dwóch i odpowiedź niepełna nie jest zaliczana. Trzeci: pomylenie znaków w drugiej ćwiartce i wybór A albo D; warto zapamiętać, że w drugiej ćwiartce dodatni jest tylko sinus.

Odpowiedź: A

1. Dwa etapy: najpierw wartość cosinusa z jedynki trygonometrycznej, potem jego znak z informacji, że kąt jest rozwarty.
2. Etap 1 — wartość bezwzględna. Z jedynki $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
3. $\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{4}}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{13}{16}}$
4. $\left|\cos\alpha\right| = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\dfrac{13}{16}}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt{13}}{4}}$
5. Etap 2 — znak. Kąt rozwarty leży w drugiej ćwiartce, a tam cosinus jest ujemny:
6. $\cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{13}}{4}$
7. Odpowiedź: $-\tfrac{\sqrt{13}}{4}$, czyli A.
8. Kontrola liczbowa: $\tfrac{\sqrt3}{4} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}433}$, więc $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{154{,}3^\circ}$ — faktycznie kąt rozwarty ✓
9. $\cos 154{,}3^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}901}$, a $-\tfrac{\sqrt{13}}{4} \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}901}$ ✓
10. Sprawdzenie jedynki: $\left(0{,}433\right)^2 + \left(-0{,}901\right)^2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}1875} + \textcolor{#E0453A}{0{,}8125} = 1$ ✓
11. Dlaczego słowo „rozwarty” jest tu podkreślone w arkuszu. Bez niego zadanie miałoby dwie odpowiedzi: $\pm\tfrac{\sqrt{13}}{4}$, bo równanie $\cos^2\alpha = \tfrac{13}{16}$ ma dwa rozwiązania. Dopiero informacja o ćwiartce wybiera jedno — i dlatego odpowiedź D (ta sama liczba ze znakiem plus) siedzi na liście.

💡 Wskazówka: Rozdziel zadanie na wartość i znak. Jedynka trygonometryczna daje tylko kwadrat cosinusa, więc po spierwiastkowaniu masz dwie liczby różniące się znakiem — i to informacja o kącie (rozwarty, ostry, ćwiartka) decyduje, którą wziąć. Jeśli treść podkreśla słowo „rozwarty”, to znaczy, że bez niego zadanie byłoby nierozstrzygalne.

⚠ Pominięcie słowa „rozwarty” i wybór $\tfrac{\sqrt{13}}{4}$ (odpowiedź D) — wartość poprawna, znak zły. To najczęstszy błąd w zadaniach o kątach rozwartych i dlatego dystraktor jest dokładnie taką parą. Drugi błąd: pierwiastkowanie tylko mianownika, czyli $\sqrt{\tfrac{13}{16}} = \tfrac{13}{4}$ — pierwiastek dotyczy całego ułamka: $\sqrt{\tfrac{13}{16}} = \tfrac{\sqrt{13}}{4}$. Trzeci: odpowiedzi B i C ($\pm\tfrac12$) to wartości dla $\sin\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2}$, czyli dla kąta $30^\circ$ albo $150^\circ$; wstawiono je dla kogoś, kto pomyli daną $\tfrac{\sqrt3}{4}$ z podobnie wyglądającą $\tfrac{\sqrt3}{2}$ z tabeli wartości szczególnych.

Odpowiedź: P, F

1. Najpierw cosinus, bo będzie potrzebny do obu stwierdzeń.
2. $\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac45}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{9}{25}} \qquad \Longrightarrow \qquad \left|\cos\alpha\right| = \textcolor{#E0453A}{\dfrac35}$
3. Warunek $\textcolor{#16A06A}{90^\circ < \alpha < 180^\circ}$ oznacza drugą ćwiartkę, gdzie cosinus jest ujemny:
4. $\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac35}$
5. Stwierdzenie 1 mówi dokładnie to samo, więc jest PRAWDĄ.
6. Stwierdzenie 2 — wartość bezwzględna tangensa. Liczymy tangens z definicji:
7. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4/5}}{\textcolor{#E0453A}{-3/5}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac43}$
8. (piątki się skracają, bo oba ułamki mają ten sam mianownik)
9. $\left|\operatorname{tg}\alpha\right| = \left|\textcolor{#E0453A}{-\dfrac43}\right| = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43}$
10. Stwierdzenie mówi, że jest to $\tfrac34$ — a wyszło $\tfrac43$, czyli liczba odwrotna. Stwierdzenie jest FAŁSZEM.
11. Odpowiedź: P, F.
12. Kontrola liczbowa: $\sin\alpha = 0{,}8$, więc $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{126{,}87^\circ}$ ✓ kąt rozwarty.
13. $\cos 126{,}87^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}6} = -\tfrac35$ ✓   $\operatorname{tg} 126{,}87^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{-1{,}333} = -\tfrac43$ ✓
14. Zwróć uwagę na sens wartości bezwzględnej w drugim stwierdzeniu. Autor zadania świadomie ją dodał, żeby pytanie nie dotyczyło znaku — inaczej byłoby to zbyt podobne do pierwszego stwierdzenia. Dzięki temu jedyną rzeczą do sprawdzenia jest to, czy ułamek nie jest odwrócony. Sprytne i podstępne naraz.

💡 Wskazówka: Trójkę i czwórkę z tego zadania rozpoznasz jako trójkę pitagorejską $3, 4, 5$ — jeśli sinus wynosi $\tfrac45$, to cosinus co do wartości bezwzględnej wynosi $\tfrac35$, bez liczenia jedynki. Ale kolejność w tangensie trzeba sprawdzić rachunkiem: $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin}{\cos}$, czyli $\tfrac{4}{3}$, a nie $\tfrac34$. Wartość bezwzględna w treści zdejmuje kłopot ze znakiem, więc cała pułapka jest w kolejności.

⚠ Uznanie drugiego stwierdzenia za prawdziwe, bo „$3$ i $4$ się zgadzają”. Tangens to sinus przez cosinus, więc licznik pochodzi od sinusa: $\tfrac{4/5}{3/5} = \tfrac43$. Odwrotny ułamek $\tfrac34$ byłby wartością bezwzględną cotangensa. Drugi błąd: uznanie pierwszego stwierdzenia za fałszywe, bo cosinus „powinien być dodatni” — w drugiej ćwiartce jest ujemny, a minus w stwierdzeniu jest właśnie poprawny. Trzeci: wliczenie znaku do drugiego stwierdzenia i uznanie go za fałszywe „bo tangens jest ujemny” — wartość bezwzględna ten znak usuwa, więc stwierdzenie byłoby prawdziwe, gdyby tylko ułamek nie był odwrócony.