Trójkąt równoboczny

Odpowiedź: D

1. Droga jest dwuetapowa: z wysokości do boku, a z boku do pola. Nie da się przeskoczyć od razu do pola, bo wzór na pole używa boku, a nie wysokości.
2. $h = \dfrac{a\sqrt3}{2}$, więc $\textcolor{#16A06A}{6\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$, czyli $a = \dfrac{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3}}{\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{12}$.
3. $P = \dfrac{a^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12}^2 \cdot \sqrt3}{4} = \dfrac{144\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{36\sqrt3}$
4. Odpowiedź: D.
5. Kontrola drugą drogą, wzorem „połowa podstawy razy wysokość”: $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3} = 6 \cdot 6\sqrt3 = 36\sqrt3$ ✓ — ten sam wynik bez wzoru na pole trójkąta równobocznego.
6. Kontrola sensem: bok $12$ jest dłuższy od wysokości $6\sqrt3 \approx 10{,}39$ ✓. W trójkącie równobocznym zawsze tak jest, bo $\tfrac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87$ — wysokość to około $87\%$ boku. Gdyby bok wyszedł krótszy od wysokości, rachunek poszedłby w złą stronę.

💡 Wskazówka: Nie licz pola wprost z wysokości — najpierw wyznacz bok. A żeby sprawdzić, czy nie pomnożyłeś zamiast podzielić przez $\tfrac{\sqrt3}{2}$, porównaj wynik z wysokością: bok musi być od niej dłuższy, zawsze o około $15\%$.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $27\sqrt3$ — z potraktowania wysokości jako boku: podstawienie $a = 6\sqrt3$ do wzoru na pole daje $\tfrac{(6\sqrt3)^2\sqrt3}{4} = \tfrac{108\sqrt3}{4} = 27\sqrt3$. To najczęstszy błąd w całym temacie i dlatego ta liczba jest wśród odpowiedzi. Odpowiedzi $A$ i $B$ odpowiadają bokom $2\sqrt3 \approx 3{,}5$ oraz $4$ — czyli trójkątom kilkakrotnie mniejszym niż ten z zadania; wystarczy porównać je z podaną wysokością, żeby je odrzucić.

Odpowiedź: C

1. Ten sam wzór, ale użyty w drugą stronę: pole jest dane, szukamy boku.
2. $\dfrac{a^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3}$
3. Mnożymy obie strony przez $4$ i dzielimy przez $\sqrt3$ — pierwiastki się skracają:
4. $a^2 = \dfrac{4 \cdot \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3}}{\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{24}$
5. $a = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{24}} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt6}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola „do przodu”: $\dfrac{\left(2\sqrt6\right)^2 \sqrt3}{4} = \dfrac{24\sqrt3}{4} = 6\sqrt3$ ✓ — dokładnie podane pole.
8. Skrót przy zadaniu zamkniętym: skoro $a^2 = 24$, wystarczy podnieść do kwadratu cztery podane odpowiedzi i zobaczyć, która daje $24$. Wychodzi kolejno $18$, $12$, $24$ i $72$ — pasuje tylko trzecia. Ta droga jest szybsza od pierwiastkowania i nie da się na niej pomylić przy upraszczaniu.

💡 Wskazówka: Przy równaniu z pierwiastkiem po obu stronach najpierw je skróć, a dopiero potem licz — inaczej wpadniesz w $\sqrt{\sqrt3}$. A w zadaniu zamkniętym najszybciej jest podnieść odpowiedzi do kwadratu i porównać z $a^2$; kwadratowanie jest łatwiejsze niż pierwiastkowanie.

⚠ Najczęstszy błąd to pomnożenie zamiast podzielenia przez $\sqrt3$: wychodzi wtedy $a^2 = 72$, czyli $a = 6\sqrt2$ — odpowiedź $D$. Odpowiedź $B$, czyli $2\sqrt3$, odpowiada polu $3\sqrt3$, czyli połowie podanego; powstaje przy dzieleniu przez dwa zamiast przez cztery w mianowniku wzoru na pole. Kontrola „do przodu” wykrywa każdy z tych błędów w jednej linijce.

Odpowiedź: A

1. Droga jest trzyetapowa i to jest cała trudność: z pola do kwadratu boku, z niego do boku, a z boku dopiero do obwodu.
2. $\dfrac{a^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4\sqrt3}{9}}$
3. $a^2 = \dfrac{4}{\sqrt3} \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4\sqrt3}{9}} = \dfrac{16}{9}$, czyli $a = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43}$.
4. Obwód to trzy boki:
5. $3a = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac43} = \textcolor{#E0453A}{4}$
6. Odpowiedź: A.
7. Kontrola „do przodu”: dla $a = \tfrac43$ pole wynosi $\dfrac{\left(\tfrac43\right)^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\tfrac{16}{9}\sqrt3}{4} = \dfrac{4\sqrt3}{9}$ ✓.
8. Zwróć uwagę, jak dobrano odpowiedzi: $\tfrac43$ to bok, a nie obwód. Liczba, do której doprowadza poprawny rachunek w przedostatnim kroku, jest wśród odpowiedzi — wystarczy zapomnieć o pomnożeniu przez trzy, żeby wybrać źle. To ten sam mechanizm, co w poprzednich zadaniach: prawidłowy rachunek, złe pytanie.

💡 Wskazówka: Przy ułamkach nie upraszczaj w pamięci — zapisz $a^2$ jako jeden ułamek i dopiero potem pierwiastkuj licznik i mianownik osobno: $\sqrt{\tfrac{16}{9}} = \tfrac43$. I na samym końcu przeczytaj pytanie jeszcze raz: „obwód” to trzy boki, nie jeden.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $\tfrac43$ — podanie boku zamiast obwodu. To nie jest błąd rachunkowy: cały rachunek jest poprawny, brakuje tylko ostatniego mnożenia. Odpowiedź $D$, czyli $\tfrac23$, to połowa boku — powstaje z pomylenia $\tfrac{16}{9}$ z $\tfrac49$.

Odpowiedź: C

1. Zadanie wygląda na rachunek na figurach, ale jest rachunkiem na brzegu. Trzeba prześledzić, co z brzegu prostokąta znika, a co dochodzi.
2. Trójkąt jest równoboczny i ma obwód $\textcolor{#16A06A}{15}$, więc jego bok wynosi $\textcolor{#E0453A}{5}$. Bok $AD$ jest wspólny — to jednocześnie bok trójkąta i bok prostokąta, więc $AD = \textcolor{#E0453A}{5}$.
3. Prostokąt ma obwód $\textcolor{#16A06A}{30}$, czyli $2 \cdot (AB + AD) = \textcolor{#16A06A}{30}$, skąd $AB = 15 - \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{10}$.
4. Teraz brzeg zacieniowanej figury. Znika bok $AD$ (jest teraz wewnątrz wycięcia), a dochodzą dwa boki trójkąta: $AO$ i $OD$, każdy po $\textcolor{#E0453A}{5}$.
5. $\text{Obwód} = \underbrace{\textcolor{#16A06A}{30}}_{\text{prostokąt}} - \underbrace{\textcolor{#E0453A}{5}}_{AD} + \underbrace{\textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{5}}_{AO + OD} = \textcolor{#E0453A}{35}$
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola przez wypisanie wszystkich odcinków po kolei: $AB = 10$, $BC = 5$, $CD = 10$, $DO = 5$, $OA = 5$. Razem $35$ ✓ — pięć odcinków, bo zacieniowana figura jest pięciokątem.
8. Kontrola kierunkiem, bez rachunku: wycięcie trójkąta wydłuża brzeg, bo jeden prosty odcinek zastępują dwa, które razem są od niego dłuższe (nierówność trójkąta). Odpowiedź musi więc przekraczać $30$ — co od razu odrzuca $A$ i $B$.

💡 Wskazówka: Przy figurach złożonych nie licz pól ani obwodów całości — prześledź brzeg: co przestaje do niego należeć i co dochodzi. Tu wspólny bok $AD$ znika, a wchodzą dwa boki trójkąta. Sprawdź na końcu kierunek: wycięcie „wgłębienia” zawsze wydłuża obwód.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $40$ — z dodania całego obwodu trójkąta zamiast dwóch jego boków: $30 - 5 + 15$. Bok $AD$ dochodzi wtedy z powrotem, choć został wycięty. Odpowiedź $A$, czyli $25$, to $30 - 5$, czyli odjęcie wspólnego boku bez doliczenia dwóch nowych. Odpowiedź $B$, czyli $30$, zakłada, że obwód się nie zmienił — a zmienia się zawsze, gdy odcinek zastępuje łamana.