Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

Odpowiedź: B

1. Zadanie nie wymaga tangensa. Wystarczy rozpoznać trójkąt — a rozpoznaje się go po przeciwprostokątnej.
2. Liczymy ją z twierdzenia Pitagorasa: $c^2 = \textcolor{#16A06A}{1}^2 + \textcolor{#E0453A}{(\sqrt3)}^2 = 1 + 3 = 4$, więc $c = \textcolor{#2F80D8}{2}$.
3. Boki wyszły $\textcolor{#16A06A}{1}$, $\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$, $\textcolor{#2F80D8}{2}$ — to dokładnie proporcja $1 : \sqrt3 : 2$, czyli połówka trójkąta równobocznego. Kąty takiego trójkąta to $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$.
4. Zostaje przypisać kąty do boków. Naprzeciw najkrótszego boku leży najmniejszy kąt, a najkrótszy bok to $\textcolor{#16A06A}{1}$ — więc szukany kąt ma $30^\circ$.
5. Odpowiedź: B.
6. Kontrola: przeciwprostokątna $\textcolor{#2F80D8}{2}$ jest dokładnie dwa razy dłuższa od $\textcolor{#16A06A}{1}$ ✓, a $\textcolor{#E0453A}{\sqrt3} \approx 1{,}73$ mieści się między nimi ✓. Suma kątów: $30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ ✓.

💡 Wskazówka: Zanim sięgniesz po tangens, podziel dłuższą przyprostokątną przez krótszą. Jeśli wyjdzie $\sqrt3$ — masz trójkąt $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ i dalej nie liczysz już nic. Tutaj $\sqrt3 : 1 = \sqrt3$, więc rozpoznanie jest natychmiastowe.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $60^\circ$ — kąty w tym trójkącie rzeczywiście wynoszą $30^\circ$ i $60^\circ$, więc obie liczby są prawdziwe; pytanie brzmi jednak o najmniejszy. Ten leży naprzeciw boku $1$, a $60^\circ$ leży naprzeciw boku $\sqrt3$. Drugi częsty wybór to $C$, czyli $45^\circ$ — bierze się z odruchu „trójkąt prostokątny w zadaniu to pewnie równoramienny”. Przyprostokątne równoramiennego są równe, a tu jedna jest prawie dwa razy dłuższa od drugiej.

Odpowiedź: A

1. Najpierw sprawdzamy, gdzie jest kąt prosty — same współrzędne to pokazują. Punkt $C$ ma tę samą pierwszą współrzędną co $A$ (obie $\sqrt2$) i tę samą drugą co $B$ (obie $0$).
2. Znaczy to, że odcinek $AC$ jest pionowy, a odcinek $BC$ poziomy, więc kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty.
3. Długości obu przyprostokątnych odczytujemy wprost, bez wzoru na odległość: $|AC| = \textcolor{#E0453A}{\sqrt6}$ (różnica drugich współrzędnych) oraz $|BC| = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ (różnica pierwszych).
4. Dzielimy dłuższą przez krótszą: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt6}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}} = \sqrt{\dfrac{6}{2}} = \sqrt3$ — czyli przyprostokątne mają się jak $1 : \sqrt3$. To połówka trójkąta równobocznego.
5. Kąt $BAC$ jest przy wierzchołku $A$, więc leży naprzeciw boku $BC$, czyli naprzeciw tej krótszej przyprostokątnej $\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$. Naprzeciw krótszej leży mniejszy z kątów ostrych: $30^\circ$.
6. Odpowiedź: A.
7. Kontrola przeciwprostokątną: $|AB|^2 = (\sqrt2)^2 + (\sqrt6)^2 = 2 + 6 = 8$, więc $|AB| = \textcolor{#2F80D8}{2\sqrt2}$. To dokładnie dwa razy $\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ ✓ — a bok równy połowie przeciwprostokątnej zawsze leży naprzeciw $30^\circ$.

💡 Wskazówka: Nie licz odległości wzorem, dopóki nie spojrzysz na same współrzędne. Wspólna pierwsza współrzędna oznacza odcinek pionowy, wspólna druga — poziomy; jeśli oba wychodzą z jednego punktu, kąt tam jest prosty i całe zadanie zamienia się w rachunek na dwóch liczbach.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $60^\circ$ — to miara drugiego kąta ostrego, przy wierzchołku $B$. Pomyłka bierze się z przypisania kąta do niewłaściwego wierzchołka: w oznaczeniu $BAC$ środkowa litera wskazuje wierzchołek kąta, więc chodzi o kąt przy $A$, a nie przy $B$. Drugi błąd to policzenie $\dfrac{\sqrt6}{\sqrt2}$ jako $\sqrt3 \approx 1{,}73$ i uznanie, że „to prawie $2$”, więc kąt to $45^\circ$ — proporcja $1 : \sqrt3$ i proporcja $1 : 1$ dają zupełnie różne trójkąty.

Odpowiedź: B

1. Kąt ostry trapezu prostokątnego zawsze siedzi w trójkącie prostokątnym odciętym od trapezu przez wysokość poprowadzoną z krótszej podstawy. Ten trójkąt trzeba najpierw zobaczyć.
2. Jego pozioma przyprostokątna to nadwyżka dłuższej podstawy nad krótszą: $8 - 5 = \textcolor{#E0453A}{3}$.
3. Pionowa przyprostokątna to wysokość trapezu, czyli $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}$ — bo drugie ramię trapezu jest pionowe i obie proste są równoległe.
4. Dzielimy dłuższą przez krótszą: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}} = \dfrac{3}{\sqrt3} = \sqrt3$. Proporcja $1 : \sqrt3$ — znowu połówka trójkąta równobocznego.
5. Kąt $ABC$ jest przy wierzchołku $B$, a naprzeciw niego leży pionowa przyprostokątna $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}$ — ta krótsza. Więc ma $30^\circ$.
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola ramieniem: $|BC|^2 = \textcolor{#E0453A}{3}^2 + (\textcolor{#16A06A}{\sqrt3})^2 = 9 + 3 = 12$, czyli $|BC| = \textcolor{#2F80D8}{2\sqrt3}$. To dokładnie dwa razy $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}$ ✓ — przeciwprostokątna dwa razy dłuższa od boku naprzeciw kąta, czyli kąt naprawdę ma $30^\circ$.

💡 Wskazówka: Pierwszy ruch w każdym trapezie prostokątnym jest ten sam: odetnij prostokąt, a zostanie trójkąt prostokątny o poziomej przyprostokątnej równej różnicy podstaw i pionowej równej wysokości. Cała reszta zadania dzieje się już tylko w tym trójkącie.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $60^\circ$ — powstaje z odwrócenia ilorazu. Licząc $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}}{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{\sqrt3}{3}$ dostaje się tangens tego samego kąta, ale odczytany jako tangens kąta $60^\circ$ myli role boków. Bezpieczniej jest nie liczyć tangensa wcale, tylko sprawdzić, czy któraś przyprostokątna jest połową ramienia — tu jest nią $\sqrt3$ przy ramieniu $2\sqrt3$, a bok równy połowie przeciwprostokątnej leży naprzeciw $30^\circ$. Druga pomyłka to wzięcie za poziomą przyprostokątną całej podstawy $8$ zamiast różnicy $3$.

Odpowiedź: C

1. W zadaniu nie ma ani jednej liczby — są tylko proporcje. To dobra wiadomość: kąt od rozmiaru trapezu nie zależy, więc wystarczy oznaczyć różnicę podstaw literą.
2. Niech różnica długości podstaw wynosi $\textcolor{#16A06A}{x}$. Wtedy ramię ma długość $\textcolor{#2F80D8}{2x}$ — tak mówi treść.
3. Odcinamy prostokąt. Zostaje trójkąt prostokątny, w którym pozioma przyprostokątna to właśnie różnica podstaw, czyli $\textcolor{#16A06A}{x}$, a przeciwprostokątną jest ramię $\textcolor{#2F80D8}{2x}$.
4. Mamy więc przyprostokątną równą dokładnie połowie przeciwprostokątnej. To rozpoznanie zamyka sprawę: taki bok leży naprzeciw kąta $30^\circ$.
5. Ale uwaga — pytanie dotyczy kąta $ABC$, czyli tego przy podstawie, a nie naprzeciw niej. Kąt $30^\circ$ leży naprzeciw boku $\textcolor{#16A06A}{x}$, a bok $\textcolor{#16A06A}{x}$ jest ramieniem kąta $ABC$. Ten ostatni jest więc drugim kątem ostrym: $90^\circ - 30^\circ = \mathbf{60^\circ}$.
6. Odpowiedź: C.
7. Kontrola wysokością: skoro przyprostokątne to $\textcolor{#16A06A}{x}$ i $h$, a przeciwprostokątna $\textcolor{#2F80D8}{2x}$, to $h^2 = (2x)^2 - x^2 = 3x^2$, czyli $h = \textcolor{#E0453A}{x\sqrt3}$. Wysokość trapezu jest $\sqrt3$ razy większa od różnicy podstaw ✓ — dokładnie tak, jak w trójkącie $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu nie ma liczb, wprowadź jedną literę na tę wielkość, o której mówi treść — tutaj na różnicę podstaw. Wszystko inne wyrazi się przez nią i litera skróci się przed końcem. Potem pilnuj jednego: czy pytają o kąt naprzeciw rozpoznanego boku, czy o ten przy nim.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $30^\circ$ — najczęstsza w tym zadaniu i najbardziej pouczająca. Liczba $30^\circ$ jest poprawnie wyliczona, tylko opisuje inny kąt: ten przy wierzchołku $C$, między ramieniem a krótszą podstawą. Reguła, którą warto sobie powtórzyć: przyprostokątna równa połowie przeciwprostokątnej leży naprzeciw kąta $30^\circ$, a kąt między nią a przeciwprostokątną ma $60^\circ$. Odpowiedź $B$ ($45^\circ$) wychodzi z założenia, że ramię jest nachylone „po przekątnej”, czyli że różnica podstaw równa się wysokości — wtedy jednak ramię byłoby $x\sqrt2$, a nie $2x$.

Odpowiedź: C

1. Zacieniowany trójkąt ma dwa boki po $\textcolor{#2F80D8}{80}$ cm i kąt $30^\circ$ między nimi. Do pola potrzebna jest podstawa i wysokość — jeden z boków weźmiemy za podstawę, a wysokość dorobimy.
2. Prowadzimy wysokość z końca jednego boku na drugi bok. Powstaje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest bok latawca $\textcolor{#2F80D8}{80}$ cm, a kąt przy wierzchołku ma $30^\circ$.
3. Wysokość leży naprzeciw kąta $30^\circ$, więc jest połową przeciwprostokątnej: $h = \tfrac12 \cdot \textcolor{#2F80D8}{80} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm. To jedyne miejsce, w którym potrzebna jest znajomość tego trójkąta — i wystarcza dzielenie przez dwa.
4. Liczymy pole: $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#2F80D8}{80} \cdot \textcolor{#16A06A}{40} = 1600$ cm².
5. Odpowiedź: C.
6. Kontrola rozmiarem: kwadrat o boku $\textcolor{#2F80D8}{80}$ cm ma pole $6400$ cm². Nasz trójkąt jest wyraźnie „chudy” — kąt $30^\circ$ to jedna trzecia kąta prostego — więc wynik rzędu jednej czwartej tego kwadratu jest w sam raz ✓. Gdyby kąt między bokami był prosty, pole wyniosłoby $3200$ cm², czyli dokładnie dwa razy więcej — i tyle właśnie mówi odpowiedź $A$.

💡 Wskazówka: Nie musisz znać wzoru $P = \tfrac12 ab\sin\gamma$. Przy kącie $30^\circ$ wysokość to po prostu połowa boku, bo leży naprzeciw tego kąta w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej równej temu bokowi. Cały rachunek sprowadza się do dwóch dzieleń przez dwa.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $6400$ cm² — pomnożenie $80 \cdot 80$ bez czegokolwiek dalej. To pole kwadratu o takim boku, a nie trójkąta; brakuje zarówno wysokości zamiast drugiego boku, jak i dzielenia przez dwa. Odpowiedź $A$ ($3200$ cm²) powstaje, gdy podzieli się przez dwa raz — czyli policzy $\tfrac12 \cdot 80 \cdot 80$, traktując drugi bok jak wysokość. Tak byłoby tylko wtedy, gdyby kąt między bokami był prosty. Odpowiedź $D$ ($800$ cm²) to podzielenie przez dwa o jeden raz za dużo.

Odpowiedź: D

1. Zadanie łączy dwie rzeczy: czym jest okrąg wpisany w romb i skąd wziąć wysokość rombu. Zaczynamy od pierwszej.
2. Przeciwległe boki rombu są równoległe, a okrąg wpisany dotyka obu. Odległość między dwiema równoległymi stycznymi to średnica, a odległość między przeciwległymi bokami rombu to jego wysokość. Zatem $2r = h$.
3. Teraz wysokość. Opuszczamy ją z wierzchołka na sąsiedni bok — powstaje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest bok rombu $\textcolor{#2F80D8}{2\sqrt3}$, a kąt ostry ma $60^\circ$.
4. Wysokość leży naprzeciw kąta $60^\circ$, więc jest tym bokiem „z pierwiastkiem”: $h = \textcolor{#2F80D8}{2\sqrt3} \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$. (Ta sama droga bez ułamków: bok naprzeciw $30^\circ$ to $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}$, czyli połowa przeciwprostokątnej, a naprzeciw $60^\circ$ jest $\sqrt3$ razy więcej, czyli $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} \cdot \sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{3}$.)
5. Promień to połowa wysokości: $r = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{2} = \dfrac{3}{2}$.
6. Odpowiedź: D.
7. Kontrola sensem: wysokość $\textcolor{#E0453A}{3}$ musi być krótsza od boku $\textcolor{#2F80D8}{2\sqrt3} \approx 3{,}46$ — i jest ✓. Średnica okręgu wpisanego nie może też przekroczyć wysokości, a tu jest jej równa, bo to romb ✓.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj jedno zdanie: w rombie średnica okręgu wpisanego to wysokość. Bez tego zdania zadanie wygląda na trudne, z nim zostaje sam rachunek na trójkącie $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. Ta sama reguła nie działa w dowolnym równoległoboku — tam okręgu wpisanego zwykle w ogóle nie da się wpisać.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $3$ — zatrzymanie się o jeden krok za wcześnie. Liczba $3$ to wysokość rombu, czyli średnica, a pytanie dotyczy promienia. Warto zauważyć, że dystraktor został ustawiony dokładnie na ten błąd: liczba $3$ pojawia się w rachunku i wygląda znajomo. Drugi błąd to policzenie wysokości jako $2\sqrt3 \cdot \tfrac12 = \sqrt3$, czyli użycie proporcji dla kąta $30^\circ$ zamiast $60^\circ$ — wysokość opuszczona na sąsiedni bok leży naprzeciw kąta ostrego rombu, a ten ma tu $60^\circ$.

Odpowiedź: A

1. Klucz do zadania leży w słowie średnica. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc kąt $ACB$ ma $90^\circ$ i trójkąt $ABC$ jest prostokątny.
2. Przeciwprostokątną jest średnica: $|AB| = 2r = \textcolor{#2F80D8}{16}$. Jedna przyprostokątna jest dana: $|AC| = \textcolor{#E0453A}{8\sqrt3}$.
3. Drugą liczymy z Pitagorasa: $|BC|^2 = \textcolor{#2F80D8}{16}^2 - (\textcolor{#E0453A}{8\sqrt3})^2 = 256 - 192 = 64$, więc $|BC| = \textcolor{#16A06A}{8}$.
4. Boki wyszły $\textcolor{#16A06A}{8}$, $\textcolor{#E0453A}{8\sqrt3}$, $\textcolor{#2F80D8}{16}$ — po podzieleniu przez $8$ jest to $1 : \sqrt3 : 2$, czyli połówka trójkąta równobocznego.
5. Kąt $BAC$ leży przy wierzchołku $A$, czyli naprzeciw boku $BC$ — tego najkrótszego. Ma więc $30^\circ$.
6. Odpowiedź: A.
7. Kontrola: $\textcolor{#16A06A}{8}$ to dokładnie połowa $\textcolor{#2F80D8}{16}$ ✓, a $\textcolor{#16A06A}{8}^2 + (\textcolor{#E0453A}{8\sqrt3})^2 = 64 + 192 = 256 = \textcolor{#2F80D8}{16}^2$ ✓ — twierdzenie Pitagorasa się zamyka, więc kąt prosty przy $C$ nie był założeniem, tylko faktem.

💡 Wskazówka: Ilekroć w zadaniu pojawia się średnica i punkt na okręgu, dorysuj sobie w głowie kąt prosty — trójkąt oparty na średnicy jest prostokątny zawsze. Potem sprawdź, czy jedna z długości nie jest połową średnicy albo czy nie stoi przy niej $\sqrt3$; jedno i drugie oznacza trójkąt $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $60^\circ$ — to miara kąta $ABC$, przy drugim wierzchołku. Pomyłka bierze się stąd, że dana z treści ($8\sqrt3$) jest bokiem „od $60^\circ$”, więc liczba $60$ nasuwa się sama; ale bok $\textcolor{#E0453A}{8\sqrt3}$ leży naprzeciw kąta $60^\circ$, a kąt $BAC$ jest przy nim, nie naprzeciw. Drugi błąd to zapomnienie, że przeciwprostokątną jest średnica, a nie promień — użycie $8$ zamiast $16$ prowadzi do sprzeczności, bo cięciwa $8\sqrt3 \approx 13{,}9$ byłaby dłuższa od przeciwprostokątnej.

Odpowiedź: D

1. Wszystkie cztery wartości pochodzą z jednego trójkąta — tego, o którym jest cała ta strona. Wypisujemy je z proporcji $\textcolor{#16A06A}{1} : \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} : \textcolor{#2F80D8}{2}$.
2. $\sin 30^\circ = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#2F80D8}{2}} = \dfrac12$ oraz $\cos 60^\circ = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#2F80D8}{2}} = \dfrac12$ — to ta sama liczba, bo w obu przypadkach chodzi o krótszy bok podzielony przez przeciwprostokątną.
3. $\sin 60^\circ = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}}{\textcolor{#2F80D8}{2}} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ oraz $\cos 30^\circ = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}}{\textcolor{#2F80D8}{2}} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ — również ta sama liczba.
4. Podstawiamy: $\dfrac12 \cdot \dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac14 + \dfrac{3}{4} = 1$.
5. Odpowiedź: D.
6. Kontrola: przy mnożeniu $\dfrac{\sqrt3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}$ pierwiastek znika, bo $\sqrt3 \cdot \sqrt3 = 3$. Skoro oba składniki są wymierne, wynik też musi być wymierny — a to od razu wyklucza odpowiedzi $B$ i $C$ ✓.

💡 Wskazówka: Zamiast uczyć się czterech osobnych wartości, zapamiętaj jeden trójkąt o bokach $1$, $\sqrt3$, $2$ i za każdym razem odczytuj z niego iloraz. Przy okazji zapamiętasz coś więcej: sinus kąta i cosinus kąta dopełniającego są równe, bo w trójkącie prostokątnym to jest ten sam iloraz oglądany z drugiego wierzchołka.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $\dfrac{\sqrt3}{2}$ — najczęstsza, bo powstaje z zatrzymania się w połowie: to sama wartość $\sin 60^\circ$, wybrana odruchowo jako „ta z pierwiastkiem”. Drugi błąd to potraktowanie $\dfrac{\sqrt3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}$ jako $\dfrac{\sqrt3}{4}$ — mnożąc, mnoży się też liczniki, a $\sqrt3 \cdot \sqrt3$ daje $3$, nie $\sqrt3$. Wtedy suma wychodzi $\dfrac{1 + \sqrt3}{4}$, czyli liczba spoza listy odpowiedzi, co samo w sobie jest sygnałem, że gdzieś jest błąd.

Odpowiedź: D

1. Najpierw same wartości. Dwie z nich odczytujemy z trójkąta $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ o bokach $\textcolor{#16A06A}{1}$, $\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$, $\textcolor{#2F80D8}{2}$: $\operatorname{tg} 60^\circ = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}}{\textcolor{#16A06A}{1}} = \sqrt3$ oraz $\sin 60^\circ = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}}{\textcolor{#2F80D8}{2}} = \dfrac{\sqrt3}{2}$.
2. Trzecia pochodzi z drugiego szkolnego trójkąta — połówki kwadratu o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$. Tam obie przyprostokątne są równe, więc $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$.
3. Podstawiamy do nawiasu: $(\sqrt3 + 1)^2$. To wzór skróconego mnożenia, a nie suma kwadratów: $(\sqrt3 + 1)^2 = (\sqrt3)^2 + 2 \cdot \sqrt3 \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$.
4. Odejmujemy sinus: $4 + 2\sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{2}$.
5. Sprowadzamy części z pierwiastkiem do wspólnego mianownika: $2\sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{4\sqrt3 - \sqrt3}{2} = \dfrac{3\sqrt3}{2}$, czyli razem $4 + \dfrac{3\sqrt3}{2}$.
6. Odpowiedź: D.
7. Kontrola liczbowa: $\sqrt3 \approx 1{,}73$, więc $(\sqrt3+1)^2 \approx 2{,}73^2 \approx 7{,}46$, a po odjęciu $\sin 60^\circ \approx 0{,}87$ zostaje około $6{,}59$. Odpowiedź $D$ to $4 + \tfrac{3 \cdot 1{,}73}{2} \approx 6{,}60$ ✓, a $C$ dałoby około $3{,}13$ — różnica jest na tyle duża, że samo oszacowanie rozstrzyga zadanie.

💡 Wskazówka: Policz najpierw same wartości funkcji i zapisz je obok, zanim cokolwiek podniesiesz do kwadratu. Trzy czwarte błędów w tym zadaniu bierze się nie z trygonometrii, tylko z potęgowania sumy — a przy zapisanym $(\sqrt3+1)^2$ trudniej zapomnieć o podwójnym iloczynie.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $4 - \dfrac{\sqrt3}{2}$ — powstaje z policzenia $(\sqrt3+1)^2$ jako $(\sqrt3)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$, czyli z pominięcia podwójnego iloczynu $2\sqrt3$. To najpopularniejszy błąd całego działu i dystraktor jest pod niego skrojony: różni się od poprawnej odpowiedzi dokładnie o brakujące $2\sqrt3$. Odpowiedź $B$ powstaje inaczej: z policzenia nawiasu wzorem na różnicę kwadratów zamiast na kwadrat sumy i do tego z pomylenia znaku przy sinusie. Warto mieć nawyk sprawdzania takich rachunków przybliżeniem — $(\sqrt3+1)^2 \approx 7{,}5$, a nie $4$, więc błąd wychodzi natychmiast.