Strona główna › Geometria płaska › Pole trójkąta równobocznego
Pole trójkąta równobocznego
Pole trójkąta równobocznego o boku a wynosi P = a²√34. Wzór wynika z ogólnego wzoru P = a · h2 i z wysokości trójkąta równobocznego h = a√32.
Krótko: Pole trójkąta równobocznego o boku a to P = a²√34, a jego wysokość to h = a√32. Dla a = 4 pole wynosi 4√3 ≈ 6,93.
1Wzór na pole trójkąta równobocznego
Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki i kąty po 60°. Wysokość dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o kątach 30°, 60°, 90°. Z twierdzenia Pitagorasa: h² = a² − (a2)² = 3a²4, więc h = a√32.
Podstawiamy do wzoru na pole trójkąta: P = a · h2 = a · a√322 = a²√34.
2Pole dla kilku boków
| bok a | pole P = a²√3 : 4 | w przybliżeniu |
|---|---|---|
| 1 | √34 | 0,433 |
| 2 | √3 | 1,732 |
| 3 | 9√34 | 3,897 |
| 4 | 4√3 | 6,928 |
| 6 | 9√3 | 15,588 |
| 10 | 25√3 | 43,301 |
3Bok z pola i inne zależności
Gdy znasz pole, przekształć wzór: a² = 4P√3. Obwód trójkąta równobocznego to 3a, a wysokość h = a√32. Środek okręgu wpisanego i opisanego leży w jednym punkcie, który dzieli wysokość w stosunku 2 : 1.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Pole z boku
Bok trójkąta równobocznego ma 4 cm. Oblicz pole.
- P = a²√34 = 16√34 = 4√3.
- 4√3 ≈ 6,93 cm².
Odpowiedź: P = 4√3 cm² ≈ 6,93 cm²
Przykład 2 Pole przez wysokość
Bok ma 6 cm. Oblicz wysokość i pole.
- h = 6√32 = 3√3 cm.
- P = 6 · 3√32 = 9√3 cm².
Odpowiedź: h = 3√3 cm, P = 9√3 cm² ≈ 15,59 cm²
Przykład 3 Bok z pola
Pole trójkąta równobocznego wynosi 9√3. Oblicz bok.
- a²√34 = 9√3.
- a² = 36, więc a = 6.
Odpowiedź: a = 6
5Najczęstsze błędy
P = a²√32
Skąd się bierze: Zapomnienie, że wysokość ma już dzielenie przez 2, a pole kolejne.
Jak zrobić dobrze: Pole to a²√34 — dwie dwójki z wysokości i ze wzoru na pole.
Wysokość równa boku
Skąd się bierze: Na rysunku wysokość wydaje się podobna do boku.
Jak zrobić dobrze: Wysokość jest krótsza: h = a√32 ≈ 0,87a.
Zaokrąglanie √3 do 1,7 za wcześnie
Skąd się bierze: Prowadzi do niedokładnego pola.
Jak zrobić dobrze: Zostaw √3 do końca i zaokrąglij tylko wynik.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Pole trójkąta równobocznego o boku 2:
4√34 = √3.
2. Pole trójkąta równobocznego o boku 4:
16√34 = 4√3.
3. Pole wynosi √3. Jaki jest bok?
a² = 4√3√3 = 4, więc a = 2.
4. Wysokość trójkąta równobocznego o boku 8:
h = 8√32 = 4√3.
5. Obwód trójkąta równobocznego o boku 6:
3 · 6 = 18.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jaki jest wzór na pole trójkąta równobocznego?
P = a²√34, gdzie a to bok.
Skąd się bierze wzór na pole trójkąta równobocznego?
Z P = a · h2 i wysokości h = a√32, którą liczymy z twierdzenia Pitagorasa.
Jak obliczyć bok trójkąta równobocznego z pola?
Z przekształcenia wzoru: a² = 4P√3, więc a to pierwiastek z tej liczby.
Ile wynosi wysokość trójkąta równobocznego?
h = a√32, około 0,866 · a.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
