Strona główna › Geometria › Środkowe w trójkącie

Środkowe w trójkącie

Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Definicja mieści się w jednym zdaniu, a najciekawsza własność też: środkowa dzieli trójkąt na dwie części o dokładnie równych polach — niezależnie od tego, jak trójkąt wygląda. I to da się uzasadnić samym wzorem na pole, bez żadnej wiedzy ponad program.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 5–8Zadań z E8: 15

Przejdź od razu do zadań (15) ↓

Kalkulator środkowych trójkąta

1Środkowa, wysokość, dwusieczna — trzy różne odcinki

Z każdego wierzchołka trójkąta można poprowadzić trzy odcinki o podobnym wyglądzie i zupełnie różnych definicjach.

odcinekdefinicjaco jest dane
środkowałączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego bokupunkt na boku
wysokośćpada prostopadle na przeciwległy bok lub na jego przedłużeniekąt 90°90°
dwusiecznadzieli kąt przy wierzchołku na półkąt przy wierzchołku

Każdy z nich jest wyznaczony przez coś innego: środkowa przez środek boku, wysokość przez prostopadłość, dwusieczna przez połowę kąta. Nie ma powodu, żeby trafiały w to samo miejsce — i w zwykłym trójkącie nie trafiają.

Przykład, na którym to widać

Weź trójkąt o wierzchołkach A=(0,0)A = (0,0), B=(8,0)B = (8,0) i C=(2,6)C = (2,6). Bok ABAB leży na poziomej linii.

Środkowa z wierzchołka CC trafia w środek boku ABAB, czyli w punkt (4,0)(4,0).

Wysokość z CC pada prostopadle na ABAB, czyli w punkt (2,0)(2,0).

To dwa różne punkty — odcinki rozchodzą się w różne strony, choć wychodzą z tego samego wierzchołka.

Każdy trójkąt ma trzy środkowe — po jednej z każdego wierzchołka. Tak samo jak trzy wysokości, które opisuję przy samym trójkącie.

Jest jednak przypadek, w którym wszystkie trzy odcinki się pokrywają — wracam do niego w ostatniej sekcji.

Środkowa, wysokość i dwusieczna w trójkącie z jednego wierzchołka C: środkowa trafia w środek boku M, wysokość pada prostopadle w punkt H, dwusieczna dzieli kąt na pół w punkcie D — trzy różne odcinki
Środkowa, wysokość i dwusieczna — trzy różne odcinki

2Środkowa dzieli pole na pół

To najważniejsza własność środkowej i jedyna, którą da się uzasadnić bez wychodzenia poza program szkoły podstawowej.

Własność

Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Nie o równych kształtach — te dwie części bywają zupełnie inne. Chodzi wyłącznie o pole.

Dlaczego tak jest? Popatrz na obie połówki. Ich podstawy to dwa kawałki boku podzielonego środkiem — a więc równej długości. Wysokość obu jest ta sama, bo obie mają wierzchołek w tym samym punkcie i tę samą podstawę leżącą na tej samej prostej.

P1=a2⋅h2P2=a2⋅h2⇒P1=P2P_1 = \frac{\textcolor{#16A06A}{\tfrac{a}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}}{2} \qquad P_2 = \frac{\textcolor{#16A06A}{\tfrac{a}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}}{2} \qquad\Rightarrow\qquad P_1 = P_2

Skoro obie połówki mają tę samą podstawę i tę samą wysokość, mają też to samo pole. Nic więcej nie trzeba — wystarczy wzór na pole trójkąta.

Konkretnie: w trójkącie o podstawie 1010 cm i wysokości 44 cm pole wynosi 10⋅42=20\frac{10 \cdot 4}{2} = 20 cm². Środkowa dzieli podstawę na dwa odcinki po 55 cm, więc każda połówka ma 5⋅42=10\frac{5 \cdot 4}{2} = 10 cm² — dokładnie połowę ✓

Warto zauważyć, że własność ta nie wymaga żadnych założeń o trójkącie. Działa w ostrokątnym, prostokątnym i rozwartokątnym tak samo.

Środkowa to tylko jeden z odcinków szczególnych w trójkącie — wysokość, dwusieczna i symetralna mają osobne strony w przeglądzie geometrii płaskiej.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Geometria płaska: kąty i trójkąty” (liceum, klasa 1), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Geometria płaska: kąty i trójkąty — cały dział, liceum 1 (5 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Geometria płaska: kąty i trójkąty”5 arkuszy w jednym pliku9,90 zł19,50 zł−9,60 złLiceum, klasa 1, na cały rok30 arkuszy, 1,66 zł za arkusz49,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 9,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Trzy środkowe schodzą się w jednym punkcie

Gdy poprowadzimy wszystkie trzy środkowe, dzieje się coś, co wcale nie musiałoby zajść.

Wszystkie trzy przecinają się w jednym punkcie. Trzy odcinki na płaszczyźnie zwykle tworzą trójkącik w środku — tutaj nie tworzą. Punkt ten nazywamy środkiem ciężkości.

To materiał nadprogramowy

Podstawa programowa szkoły podstawowej nie wymaga środka ciężkości ani podziału w stosunku 2:12:1. W liceum jest inaczej: samo istnienie tego punktu stoi na liście twierdzeń, których dowód uczeń zakresu rozszerzonego ma poznać — punkt 7b: „środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie”.

Sama definicja środkowej i jej własność dzielenia pola na pół są natomiast w zasięgu ucznia klas starszych — do ich uzasadnienia wystarczy wzór na pole trójkąta.

Nazwa nie jest przenośnią. Trójkąt wycięty z tektury da się na tym punkcie wyważyć na czubku ołówka — dlatego mówi się o środku ciężkości albo punkcie równowagi.

Bywa to uzasadniane tak: skoro każda środkowa dzieli figurę na dwie części o równych polach, to punkt leżący na wszystkich trzech naraz musi być punktem równowagi. To dobra podpowiedź, ale jeszcze nie dowód — sam podział na równe pola do równowagi nie wystarcza. W trójkącie o wierzchołkach (0,0)(0,0), (1,0)(1,0) i (0,1)(0,1) pionowa prosta x=1−22≈0,29x = 1 - \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}29 też odcina dokładnie połowę pola, a na niej trójkąt się nie wyważy — środek ciężkości leży o 22−23≈0,04\frac{\sqrt2}{2} - \frac{2}{3} \approx 0{,}04 obok. O równowadze decyduje nie samo pole po obu stronach, ale i to, jak daleko od prostej ono leży.

Trzy środkowe dzielą przy tym trójkąt na sześć małych trójkątów o równych polach. Dla trójkąta o polu 1818 cm² każdy z nich ma 18:6=318 : 6 = 3 cm² — sprawdzone rachunkiem współrzędnych.

Materiał nadprogramowy: cztery punkty szczególne trójkąta

Środek ciężkości nie jest wyjątkiem — każda z czterech rodzin odcinków w trójkącie schodzi się w jednym punkcie, i każdy z tych punktów ma własną nazwę.

Środkowe → środek ciężkości, dzielący każdą z nich w stosunku 2:12:1 (opisuję niżej).

Dwusieczne kątów → środek okręgu wpisanego, bo jest równo oddalony od wszystkich trzech boków.

Symetralne boków → środek okręgu opisanego, bo jest równo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków.

Wysokości → punkt zwany ortocentrum. Wypada on poza trójkątem w każdym trójkącie rozwartokątnym, bo dwie z trzech wysokości padają wtedy na przedłużenia boków. Nie jest w tym odosobniony: środek okręgu opisanego wychodzi poza trójkąt dokładnie w tych samych przypadkach, a w trójkącie prostokątnym oba lądują na brzegu — ortocentrum w wierzchołku kąta prostego, środek okręgu opisanego w połowie przeciwprostokątnej. Zawsze wewnątrz zostają tylko środek okręgu wpisanego i środek ciężkości.

Podstawa dla liceum wymienia wszystkie cztery razem, w dziale VIII. Planimetria, punkt 10: „wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności”. W szkole podstawowej wystarczy sam środek ciężkości.

4Podział w stosunku 2 : 1

Środek ciężkości nie leży w połowie środkowej — i to zaskakuje najbardziej.

Reguła

Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:12 : 1, licząc od wierzchołka.

Odcinek od wierzchołka jest dwa razy dłuższy niż odcinek od środka boku.

od wierzchołka: 23 długosˊciod sˊrodka boku: 13 długosˊci\text{od wierzchołka: } \textcolor{#16A06A}{\tfrac{2}{3}} \text{ długości} \qquad \text{od środka boku: } \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{3}} \text{ długości}

Dla środkowej o długości 1212 cm daje to 88 cm i 44 cm, bo 8:4=28 : 4 = 2. Dla środkowej 99 cm — 66 cm i 33 cm.

Warto zapamiętać kierunek: dłuższa część zawsze przy wierzchołku. Odwrócenie proporcji to najczęstszy błąd w zadaniach o środku ciężkości.

Stąd bierze się też wynik z trójkąta równobocznego: promień okręgu opisanego to 23\frac{2}{3} wysokości, a wpisanego 13\frac{1}{3} — bo tam wysokość jest środkową, więc dzieli ją ten sam punkt w tym samym stosunku.

Własności środkowych trójkąta: środkowa dzieli trójkąt na dwie części o równych polach; trzy środkowe przecinają się w środku ciężkości S, który dzieli każdą w stosunku 2 : 1 licząc od wierzchołka
Środkowa dzieli pole na pół; środek ciężkości dzieli środkowe w stosunku 2 : 1

5Kiedy środkowa pokrywa się z wysokością

Skoro środkowa i wysokość są wyznaczone przez różne warunki, to ich pokrycie się musi mieć powód — i ma nim zawsze symetria.

trójkątgdzie się pokrywają
różnobocznynigdzie — trzy różne odcinki z każdego wierzchołka
równoramiennytylko przy wierzchołku między ramionami
równobocznyprzy każdym wierzchołku

Mechanizm jest ten sam we wszystkich przypadkach: jeśli trójkąt jest symetryczny względem odcinka wychodzącego z wierzchołka, to odbicie lustrzane przeprowadza jedną połówkę na drugą. Odcinek musi wtedy trafić dokładnie w środek boku i dokładnie prostopadle. Ten sam argument obejmuje dwusieczną: odbicie przeprowadza jedno ramię kąta przy wierzchołku na drugie, więc odcinek dzieli ten kąt na połowy. Dlatego wszędzie tam, gdzie jest oś symetrii, pokrywają się wszystkie trzy odcinki — środkowa, wysokość i dwusieczna — a nie tylko dwa.

Dlatego w trójkącie równoramiennym, który nie jest równoboczny, pokrycie zachodzi tylko przy jednym wierzchołku — tylko tam figura ma oś symetrii. Przy pozostałych dwóch środkowa i wysokość znów się rozchodzą. (Równoboczny też jest równoramienny, ale ma trzy osie symetrii, więc trafia do ostatniego wiersza tabeli.)

Praktyczny wniosek do zadań

Jeśli w zadaniu odcinek jednocześnie trafia w środek boku i jest do niego prostopadły, to trójkąt jest równoramienny — i to jest gotowa informacja, często kluczowa.

Odwrotnie też: w trójkącie różnobocznym nie wolno zakładać, że środkowa jest wysokością, choćby rysunek na to wyglądał.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: równe pola, podział 2:1 oraz rozpoznanie, czy odcinek jest środkową.

Przykład 1 Równe pola po obu stronach

Trójkąt ma podstawę 1010 cm i wysokość 44 cm opuszczoną na tę podstawę. Poprowadzono środkową do podstawy. Jakie pola mają obie części?

  1. Pole całego trójkąta: P=10⋅42=20P = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 cm².
  2. Środkowa trafia w środek podstawy, więc dzieli ją na dwa odcinki po 10:2=510 : 2 = 5 cm.
  3. Obie połówki mają wspólny wierzchołek i podstawy leżące na tej samej prostej, więc wysokość obu jest ta sama i wynosi 44 cm.
  4. Pole pierwszej połówki: 5⋅42=10\frac{5 \cdot 4}{2} = 10 cm².
  5. Pole drugiej: 5⋅42=10\frac{5 \cdot 4}{2} = 10 cm² — tyle samo.
  6. Kontrola sumą: 10+10=2010 + 10 = 20 cm², czyli pole całego trójkąta ✓
  7. Kontrola sensu: obie części mają równe pola, choć mogą mieć zupełnie różne kształty ✓

Odpowiedź: Po 1010 cm² każda.

Zwróć uwagę, że rachunek nie wymagał żadnej informacji o kształcie trójkąta. Wystarczyło, że podstawy są równe, a wysokość wspólna — dlatego własność działa dla każdego trójkąta.

Przykład 2 Podział środkowej

Środkowa trójkąta ma 1212 cm. W jakiej odległości od wierzchołka leży środek ciężkości? Materiał nadprogramowy.

  1. Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku 2:12 : 1, licząc od wierzchołka.
  2. Całość dzieli się więc na 2+1=32 + 1 = 3 równe części.
  3. Jedna część to 12:3=412 : 3 = 4 cm.
  4. Od wierzchołka są dwie takie części: 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 cm.
  5. Od środka boku pozostaje jedna: 44 cm.
  6. Kontrola: 8+4=128 + 4 = 12 cm ✓ oraz 8:4=28 : 4 = 2 ✓
  7. Kontrola kierunku: dłuższy odcinek wypadł przy wierzchołku, jak być powinno ✓

Odpowiedź: 88 cm od wierzchołka, 44 cm od środka boku.

Podział na trzy części zamiast na dwie jest tu sednem. Stosunek 2:12 : 1 oznacza trzy jednakowe kawałki, z których dwa są po jednej stronie punktu — a nie połowę i połowę.

Przykład 3 Czy to na pewno środkowa

W trójkącie poprowadzono z wierzchołka odcinek prostopadły do przeciwległego boku. Czy jest on środkową?

  1. Odcinek prostopadły do przeciwległego boku to z definicji wysokość.
  2. Środkowa musi trafiać w środek boku — a prostopadłość tego nie gwarantuje.
  3. W trójkącie różnobocznym wysokość trafia obok środka, więc środkową nie jest.
  4. Byłaby nią tylko wtedy, gdyby trójkąt był symetryczny względem tego odcinka — czyli równoramienny z wierzchołkiem między ramionami.
  5. Odpowiedź: nie da się tego stwierdzić bez informacji o długościach boków.
  6. Kontrola przykładem: w trójkącie A(0,0)A(0,0), B(8,0)B(8,0), C(2,6)C(2,6) wysokość z CC pada w punkt (2,0)(2,0), a środkowa trafia w (4,0)(4,0) — różne punkty ✓

Odpowiedź: Nie — chyba że trójkąt jest równoramienny, a tego w treści nie podano.

Odpowiedź „danych za mało” jest tu pełnoprawna. Zadania tego typu sprawdzają, czy uczeń nie dokłada założeń sugerowanych rysunkiem — a rysunek bywa mylący.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy: pierwszy to mylenie środkowej z wysokością, dwa kolejne dotyczą stosunku 2:12:1, a ostatni — mylenia równych pól z przystawaniem.

Uznanie środkowej za wysokość

Skąd się bierze: Oba odcinki wychodzą z wierzchołka i na rysunku wyglądają podobnie. Ale środkowa trafia w środek boku, a wysokość pada prostopadle — w trójkącie różnobocznym są to dwa różne punkty i dwa różne odcinki.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, co jest zaznaczone na rysunku: kąt prosty oznacza wysokość, a jednakowe kreseczki na obu połówkach boku — środkową. Pokrycie zachodzi tylko przy osi symetrii.

Odwrócenie stosunku 2 : 1

Skąd się bierze: Uczeń przyjmuje, że dłuższa część leży przy środku boku. Jest odwrotnie: dwie trzecie długości wypadają przy wierzchołku. Odwrócenie daje wynik 44 cm zamiast 88 cm — dwukrotnie za mały.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez obraz: środek ciężkości leży bliżej boku niż wierzchołka, bo przy boku jest więcej materiału. Kontrola: dłuższy odcinek zawsze od strony wierzchołka.

Dzielenie środkowej na pół zamiast na trzy części

Skąd się bierze: Stosunek 2:12 : 1 bywa czytany jako „połowa i połowa”. Tymczasem oznacza on trzy równe części, z których dwie są po jednej stronie punktu. Dla środkowej 1212 cm wychodzi 88 i 44, a nie 66 i 66.

Jak zrobić dobrze: Dodaj liczby ze stosunku: 2+1=32 + 1 = 3, więc dziel przez trzy. Potem weź dwie części na jedną stronę i jedną na drugą. Kontrola: obie części muszą się zsumować do całej długości.

Sądzenie, że równe pola oznaczają przystające części

Skąd się bierze: Skoro środkowa dzieli trójkąt na pół „co do pola”, uczeń zakłada, że obie części są identyczne. Zwykle mają jednak różne kształty — jedna bywa wysoka i wąska, druga niska i szeroka.

Jak zrobić dobrze: Rozróżniaj równość pól od przystawania. Równe pola wynikają z równych podstaw i wspólnej wysokości; przystawanie wymagałoby dodatkowo zgodności wszystkich boków i kątów.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości w figurach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pilnuje najważniejszego rozróżnienia w twierdzeniu Pitagorasa: zielone to przyprostokątne (te przy kącie prostym), a czerwona to przeciwprostokątna (zawsze naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższa). Podstawienie ich w odwrotne miejsca wzoru to najczęstszy błąd w całym dziale — dlatego warto sprawdzać kolory, zanim się policzy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc dostaniesz je wszystkie — zmieni się tylko kolejność.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Kwadrat podzielono na 6 jednakowych prostokątów ustawionych pionowo, jeden obok drugiego. Obwód każdego z tych prostokątów jest równy 28. Dokończ zdanie.
Obwód kwadratu jest równy
Kwadrat podzielony na sześć jednakowych prostokątów
  • A. 4848
  • B. 8484
  • C. 9696
  • D. 144144
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Oznaczmy bok kwadratu przez a\textcolor{#16A06A}{a}.
  2. Każdy z sześciu pionowych prostokątów ma pełną wysokość kwadratu, czyli a\textcolor{#16A06A}{a}, a szerokość sześć razy mniejszą: a6\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{6}.
  3. Obwód jednego prostokąta: 2(a+a6)=2⋅7a6=7a32\left(\textcolor{#16A06A}{a} + \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{6} = \dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{3}.
  4. Przyrównujemy do danej: 7a3=28\dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{3} = \textcolor{#E0453A}{28}, skąd 7a=847\textcolor{#16A06A}{a} = 84, czyli a=12\textcolor{#16A06A}{a} = 12.
  5. Obwód kwadratu: 4⋅12=484 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = 48 — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kontrola: prostokąt ma wymiary 2×122 \times 12, więc jego obwód to 2⋅14=282 \cdot 14 = 28 ✓. Zawsze warto podstawić wynik z powrotem.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie obwodu prostokąta przez 6 i uznanie tego za obwód kwadratu (168168). Obwody części nie sumują się do obwodu całości — linie podziału leżą wewnątrz.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Prostokąt o bokach długości aa i bb podzielono na sześć kwadratów: dwa jednakowe kwadraty tworzą lewą kolumnę (jeden nad drugim), w prawym górnym rogu stoi jeden duży kwadrat, a pod nim trzy jednakowe małe kwadraty w rzędzie. Dokończ zdanie.
Stosunek długości boków a:ba : b tego prostokąta jest równy
Prostokąt podzielony na sześć kwadratówab
  • A. 6:56 : 5
  • B. 5:45 : 4
  • C. 4:34 : 3
  • D. 3:23 : 2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najwygodniej zacząć od najmniejszego kwadratu — przyjmijmy, że jego bok to 1\textcolor{#16A06A}{1}.
  2. Trzy małe kwadraty stoją w rzędzie pod dużym, więc bok dużego kwadratu wynosi 3⋅1=33 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#16A06A}{3}.
  3. Wysokość prostokąta to prawa kolumna: duży kwadrat plus mały, czyli b=3+1=4b = \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}.
  4. Lewa kolumna ma tę samą wysokość 4\textcolor{#E0453A}{4} i składa się z dwóch jednakowych kwadratów, więc każdy ma bok 4:2=2\textcolor{#E0453A}{4} : 2 = \textcolor{#16A06A}{2} — i tyle wynosi szerokość tej kolumny.
  5. Szerokość prostokąta: a=2+3=5a = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{5}.
  6. Stosunek: a:b=5:4a : b = \textcolor{#E0453A}{5} : \textcolor{#E0453A}{4} — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: W układankach z kwadratów zaczynaj od najmniejszego elementu i nadaj mu bok 1. Wszystkie pozostałe wymiary wyrażą się wtedy liczbami całkowitymi.

⚠ Najczęstszy błąd: zgadywanie stosunku „na oko” z rysunku. Proporcje na rysunkach egzaminacyjnych bywają celowo zaburzone — trzeba je wyliczyć.

Zadanie 3 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym ABCABC (kąt prosty przy AA) przyprostokątną ACAC wydłużono o 7 cm — do punktu EE — a przyprostokątną ABAB wydłużono o 12 cm — do punktu DD. Otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny ADEADE o polu równym 200 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trójkąt ADE z wpisanym trójkątem ABCADEBC7 cm12 cm
Przyprostokątna trójkąta ADEADE jest równa 20 cm.PF
Pole trójkąta ABCABC jest równe 52 cm².PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 1. Trójkąt ADEADE jest prostokątny i równoramienny, więc obie jego przyprostokątne są równe: AE=AD\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD}.
  2. Z pola: 12⋅AE⋅AD=200\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AE} \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} = 200, czyli 12AE2=200\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 200.
  3. Stąd AE2=400\textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 400, więc AE=AD=20\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD} = 20 cm ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2. Cofamy wydłużenia, żeby wrócić do małego trójkąta:
  5. AC=AE−7=20−7=13AC = \textcolor{#16A06A}{AE} - \textcolor{#E0453A}{7} = 20 - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{13} cm,   AB=AD−12=20−12=8AB = \textcolor{#16A06A}{AD} - \textcolor{#E0453A}{12} = 20 - \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{8} cm.
  6. Pole ABCABC: 12⋅13⋅8=52\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{13} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 52 cm² ✓ — prawda.
  7. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: „Prostokątny równoramienny” znaczy, że równe są przyprostokątne — nie przeciwprostokątna z przyprostokątną (to nigdy nie zachodzi).

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie 12\tfrac12 we wzorze na pole i przyjęcie AE2=200AE^2 = 200. Wychodzi wtedy AE=200AE = \sqrt{200}, czyli liczba niewymierna — sygnał, że coś jest nie tak.

Zadanie 4 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trapez prostokątny z krótszą przekątnąABCD
Wysokość trapezu i krótsza podstawa trapezu mają taką samą długość.PF
Wysokość trapezu jest równa połowie dłuższej podstawy trapezu.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Oznaczmy trapez ABCDABCD: ABAB to dłuższa podstawa, DCDC krótsza, a ADAD — ramię prostopadłe do obu podstaw, czyli wysokość. Krótszą przekątną jest ACAC.
  2. Pierwszy trójkąt (ACDACD). Ma kąt prosty przy DD, a skoro jest równoramienny, jego przyprostokątne są równe: AD=DC\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{DC}.
  3. To dokładnie treść pierwszego zdania: wysokość == krótsza podstawa ✓ — prawda. Oznaczmy tę wspólną długość przez h\textcolor{#16A06A}{h}.
  4. Przekątna: AC=h2\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2 (przeciwprostokątna trójkąta 45°45°–45°45°–90°90°).
  5. Drugi trójkąt (ABCABC). Też prostokątny równoramienny, a jego przyprostokątnymi są AC\textcolor{#E0453A}{AC} i CBCB — kąt prosty leży więc przy CC.
  6. Wtedy ABAB jest przeciwprostokątną: AB=AC⋅2=h2⋅2=2hAB = \textcolor{#E0453A}{AC} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\textcolor{#16A06A}{h}.
  7. Drugie zdanie: wysokość h\textcolor{#16A06A}{h} to połowa z 2h2\textcolor{#16A06A}{h} ✓ — prawda.
  8. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu nie ma żadnych liczb, wprowadź własną — tutaj hh. Wszystkie pozostałe długości wyrażą się przez nią i zdania da się sprawdzić algebraicznie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że w drugim trójkącie kąt prosty jest przy BB. Wtedy ACAC byłaby przeciwprostokątną i wyszłyby sprzeczne długości — warto sprawdzić, czy przyjęte założenie się „domyka”.

Zadanie 5 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 30°30° suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa 12 cm. Dokończ zdanie.
Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość
Trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30°30°ACB
  • A. 424\sqrt{2} cm
  • B. 434\sqrt{3} cm
  • C. 66 cm
  • D. 88 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Kluczowa własność trójkąta 30°30°–60°60°–90°90°: bok leżący naprzeciw kąta 30°30° jest równy połowie przeciwprostokątnej.
  2. Oznaczmy przeciwprostokątną przez c\textcolor{#E0453A}{c}. Wtedy krótsza przyprostokątna to c2\textcolor{#16A06A}{\dfrac{c}{2}}.
  3. Z warunku zadania: c2+c=12\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}}{2}} + \textcolor{#E0453A}{c} = 12, czyli 3c2=12\dfrac{3\textcolor{#E0453A}{c}}{2} = 12, więc c=8\textcolor{#E0453A}{c} = 8 cm.
  4. Krótsza przyprostokątna: 4\textcolor{#16A06A}{4} cm.
  5. Dłuższą przyprostokątną liczymy z Pitagorasa: 82−42=64−16=48=43\sqrt{\textcolor{#E0453A}{8}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt3 cm.
  6. Odpowiedź B. (Można też wprost ze wzoru: c32=832=43\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2} = \dfrac{8\sqrt3}{2} = 4\sqrt3.)

💡 Wskazówka: Wyłączanie czynnika: 48=16⋅3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3. Szukaj pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że krótsza przyprostokątna leży naprzeciw kąta 60°60°. Naprzeciw mniejszego kąta leży zawsze krótszy bok — to reguła warta zapamiętania.

Zadanie 6 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Czworokąt ABCDABCD zbudowano z dwóch trójkątów prostokątnych: trójkąta ABDABD z kątem prostym przy AA oraz trójkąta BCDBCD z kątem prostym przy BB. Dane są długości boków ∣AB∣=∣BC∣=1|AB| = |BC| = 1 oraz ∣AD∣=2|AD| = \sqrt{2}. Dokończ zdanie.
Długość boku CDCD jest równa
Czworokąt ABCD zbudowany z dwóch trójkątów prostokątnych11√2ABCD
  • A. 3\sqrt{3}
  • B. 22
  • C. 33
  • D. 222\sqrt{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Do celu prowadzi wspólny bok BDBD — najpierw go wyznaczamy, potem używamy w drugim trójkącie.
  2. Trójkąt ABDABD (kąt prosty przy AA): przyprostokątne to AB=1\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{1} i AD=2\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}.
  3. BD=12+22=1+2=3\textcolor{#E0453A}{BD} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{1}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2} = \sqrt{1 + 2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}.
  4. Trójkąt BCDBCD (kąt prosty przy BB): teraz BD\textcolor{#E0453A}{BD} staje się przyprostokątną, razem z BC=1\textcolor{#16A06A}{BC} = \textcolor{#16A06A}{1}.
  5. CD=32+12=3+1=4=2CD = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}^2 + \textcolor{#16A06A}{1}^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt4 = 2.
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na zmianę roli odcinka BDBD: w pierwszym trójkącie jest przeciwprostokątną, w drugim przyprostokątną. Decyduje o tym, gdzie leży kąt prosty.

⚠ Najczęstszy błąd: (2)2=22\left(\sqrt2\right)^2 = 2\sqrt2 albo 44. Podnosząc pierwiastek do kwadratu, po prostu zdejmujemy go: (2)2=2\left(\sqrt2\right)^2 = 2.

Zadanie 7 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Na bokach trójkąta prostokątnego ABCABC (kąt prosty przy BB, kąt przy AA równy 30°30°) zaznaczono punkty DD (na boku ABAB) i EE (na boku ACAC). Odcinek DEDE jest prostopadły do ABAB i dzieli trójkąt na trójkąt prostokątny ADEADE oraz czworokąt DBCEDBCE. Odcinek ABAB ma długość 434\sqrt{3} cm, a odcinek DEDE — 3 cm. Dokończ zdanie.
Długość odcinka ECEC jest równa
Trójkąt ABC podzielony odcinkiem DE30°4√3 cmABCDE3 cm
  • A. 11 cm
  • B. 3\sqrt{3} cm
  • C. 22 cm
  • D. 44 cm
  • E. 333\sqrt{3} cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Odcinek ECEC policzymy jako różnicę: EC=AC−AEEC = AC - AE. Wyznaczamy więc obie przeciwprostokątne.
  2. Mały trójkąt ADEADE — prostokątny (kąt prosty przy DD) z kątem 30°30° przy AA. Bok DE=3\textcolor{#16A06A}{DE} = \textcolor{#16A06A}{3} cm leży naprzeciw kąta 30°30°, więc jest połową przeciwprostokątnej:
  3. AE=2⋅3=6\textcolor{#E0453A}{AE} = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{6} cm.
  4. Duży trójkąt ABCABC — prostokątny przy BB, kąt 30°30° przy AA. Znamy przyprostokątną AB=43\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} cm, leżącą naprzeciw kąta 60°60°.
  5. W trójkącie 30°30°–60°60°–90°90° ten bok równa się c32\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2}, więc AC32=43\dfrac{\textcolor{#E0453A}{AC}\sqrt3}{2} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}, skąd AC=8\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#E0453A}{8} cm.
  6. Różnica: EC=8−6=2EC = \textcolor{#E0453A}{8} - \textcolor{#E0453A}{6} = 2 cm — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Oba trójkąty mają te same kąty (30°30°, 60°60°, 90°90°), więc są podobne. Można było też skorzystać ze skali: AB:DE=43:3AB : DE = 4\sqrt3 : 3… ale prościej policzyć każdy osobno z własności kąta 30°30°.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie DEDE jako boku naprzeciw kąta 60°60°. Odcinek DEDE jest prostopadły do ABAB, więc w trójkącie ADEADE leży naprzeciw kąta przy AA, czyli 30°30°.

Zadanie 8 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku OO. Następnie od wierzchołka OO odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek OAOA o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu — odcinek OBOB o długości równej przekątnej prostokąta. Dokończ zdanie.
Długość odcinka ABAB jest równa
Kwadrat, prostokąt i kąt prosty z odcinkami OA i OB121OAB
  • A. 7\sqrt{7}
  • B. 2+5\sqrt{2} + \sqrt{5}
  • C. 5\sqrt{5}
  • D. 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — przekątna kwadratu o boku 1. OA=12+12=2\textcolor{#16A06A}{OA} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}.
  2. Krok 2 — przekątna prostokąta 2×12 \times 1. OB=22+12=5\textcolor{#16A06A}{OB} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}.
  3. Krok 3 — odcinek ABAB. Ramiona kąta prostego są prostopadłe, więc trójkąt OABOAB jest prostokątny, a OA\textcolor{#16A06A}{OA} i OB\textcolor{#16A06A}{OB} to jego przyprostokątne.
  4. AB=22+52=2+5=7\textcolor{#E0453A}{AB} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}^2} = \sqrt{2 + 5} = \sqrt7.
  5. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Pierwiastki znikają przy podnoszeniu do kwadratu, więc rachunek jest bardzo prosty: 2+5=72 + 5 = 7. To typowa konstrukcja zadań z pierwiastkami.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie pierwiastków (2+5\sqrt2 + \sqrt5 — kusząca odpowiedź B). Przeciwprostokątna nie jest sumą przyprostokątnych; sumują się dopiero ich kwadraty.

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W jakim stosunku można podzielić odcinek o długości 36 cm, aby z otrzymanych trzech odcinków zbudować trójkąt?
  • A. 1:2:61 : 2 : 6
  • B. 1:3:51 : 3 : 5
  • C. 2:3:42 : 3 : 4
  • D. 2:3:72 : 3 : 7
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Kluczowa reguła — nierówność trójkąta: z trzech odcinków zbudujesz trójkąt tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego.
  2. Co ważne, wystarczy sprawdzić same liczby ze stosunku — nie trzeba liczyć długości w centymetrach.
  3. A. 1+2=3\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{2} = 3, a najdłuższy to 6\textcolor{#E0453A}{6}. Skoro 3<63 < \textcolor{#E0453A}{6} ✗
  4. B. 1+3=4\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{3} = 4, a najdłuższy 5\textcolor{#E0453A}{5}. Skoro 4<54 < \textcolor{#E0453A}{5} ✗
  5. C. 2+3=5\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = 5, a najdłuższy 4\textcolor{#E0453A}{4}. Skoro 5>45 > \textcolor{#E0453A}{4} ✓ — da się zbudować
  6. D. 2+3=5\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = 5, a najdłuższy 7\textcolor{#E0453A}{7}. Skoro 5<75 < \textcolor{#E0453A}{7} ✗
  7. Odpowiedź C. (Dla porządku: odcinki miałyby 88, 1212 i 1616 cm.)

💡 Wskazówka: Ponieważ wszystkie części skalują się tym samym czynnikiem, nierówność trójkąta można sprawdzać wprost na liczbach ze stosunku. To ogromna oszczędność czasu.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzanie tylko, czy części sumują się do 36. Każdy z podanych stosunków to spełnia — o wyniku decyduje wyłącznie nierówność trójkąta.

Zadanie 10 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dany jest trapez prostokątny ABCDABCD o podstawach długości 22 cm (ABAB) i 10 cm (DCDC) oraz wysokości 5 cm (ramię ADAD, prostopadłe do podstaw). Odcinek ACAC jest przekątną tego trapezu. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trapez prostokątny ABCD z przekątną AC22 cm10 cm5 cmABCD
Trójkąt ABCABC jest równoramienny.PF
Bok BCBC ma długość 12 cm.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Wyznaczamy oba brakujące boki, korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa.
  2. Przekątna ACAC. Tworzy trójkąt prostokątny z bokami AD=5AD = \textcolor{#16A06A}{5} i DC=10DC = \textcolor{#16A06A}{10}:
  3. AC=52+102=125=55≈11,2\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{10}^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt5 \approx \textcolor{#E0453A}{11{,}2} cm.
  4. Ramię BCBC. Jego rzut na dolną podstawę to różnica podstaw: 22−10=1222 - 10 = \textcolor{#16A06A}{12} cm, a wysokość to 5\textcolor{#16A06A}{5} cm:
  5. BC=122+52=144+25=169=13\textcolor{#E0453A}{BC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{5}^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = \textcolor{#E0453A}{13} cm.
  6. Zdanie 1. Boki trójkąta ABCABC: AB=22AB = 22, AC≈11,2\textcolor{#E0453A}{AC} \approx 11{,}2, BC=13\textcolor{#E0453A}{BC} = 13 — wszystkie różne, więc trójkąt nie jest równoramienny — fałsz.
  7. Zdanie 2. BC=13\textcolor{#E0453A}{BC} = 13 cm, a nie 12 cm — fałsz.
  8. Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Liczba 12 w tym zadaniu to rzut ramienia na podstawę (różnica podstaw), a nie samo ramię. Razem z wysokością 5 daje znajomą trójkę 55–1212–1313.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie 12 cm — czyli właśnie różnicy podstaw. To przyprostokątna, a BCBC jest przeciwprostokątną, więc musi być dłuższa.

Zadania otwarte

Zadanie 11 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

W rombie ABCDABCD poprowadzono przekątną BDBD oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka DD na bok ABAB. Długość boku tego rombu jest równa 10 cm, a długość przekątnej BDBD — 12 cm. Oblicz wysokość rombu poprowadzoną z wierzchołka DD na bok ABAB. Zapisz obliczenia.
Romb ABCD z przekątną BD i wysokością z wierzchołka D A B C D 10 cm 12 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

  1. Cały pomysł polega na policzeniu pola rombu dwoma sposobami i przyrównaniu wyników.
  2. Sposób pierwszy — z przekątnych. Najpierw wyznaczamy drugą przekątną. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc połowa BDBD to 6\textcolor{#16A06A}{6} cm.
  3. Połowa przekątnej ACAC: 102−62=100−36=64=8\sqrt{\textcolor{#E0453A}{10}^2 - \textcolor{#16A06A}{6}^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \textcolor{#16A06A}{8} cm, czyli AC=16AC = \textcolor{#16A06A}{16} cm.
  4. Pole: P=12⋅162=96P = \dfrac{12 \cdot \textcolor{#16A06A}{16}}{2} = \textcolor{#16A06A}{96} cm².
  5. Sposób drugi — podstawa razy wysokość. P=AB⋅h=10⋅hP = AB \cdot h = \textcolor{#E0453A}{10} \cdot h.
  6. Przyrównujemy: 10⋅h=96\textcolor{#E0453A}{10} \cdot h = \textcolor{#16A06A}{96}, skąd h=9,6h = 9{,}6 cm.
  7. Odpowiedź: wysokość rombu wynosi 9,6 cm.
  8. Kontrola sensu: wysokość musi być krótsza od boku (9,6<109{,}6 < \textcolor{#E0453A}{10}) ✓

💡 Wskazówka: Romb ma dwa niezależne wzory na pole — z przekątnych i „podstawa razy wysokość”. Przyrównanie ich to standardowy sposób na wyznaczenie wysokości.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość rombu równa się połowie przekątnej (8 cm). Wysokość jest prostopadła do boku, a nie do drugiej przekątnej.

Zadanie 12 (maj 2024)3 pkttrudniejsze

Prostokąt ABCDABCD podzielono na trzy trójkąty: AEDAED, ACEACE i ABCABC (punkt EE leży na boku DCDC). Podano, że DE=15DE = 15 cm oraz AD=20AD = 20 cm. W trójkącie ACEACE zaznaczono dwa kąty o takiej samej mierze α\alpha: przy wierzchołku AA (kąt EACEAC) oraz przy wierzchołku CC (kąt ACEACE). Oblicz pole trapezu ABCEABCE. Zapisz obliczenia.
Prostokąt ABCD podzielony na trzy trójkątyααABCDE15 cm20 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 650 cm²

  1. Krok 1 — odcinek AEAE. Trójkąt AEDAED jest prostokątny (kąt prosty przy narożniku DD):
  2. AE=152+202=225+400=625=25\textcolor{#E0453A}{AE} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{15}^2 + \textcolor{#16A06A}{20}^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = \textcolor{#E0453A}{25} cm.
  3. Krok 2 — odcinek ECEC. W trójkącie ACEACE dwa kąty są równe (α\alpha przy AA i przy CC), więc jest on równoramienny.
  4. Równe kąty leżą naprzeciw równych boków, zatem EC=AE=25EC = \textcolor{#E0453A}{AE} = \textcolor{#E0453A}{25} cm.
  5. Krok 3 — bok prostokąta. DC=DE+EC=15+25=40DC = \textcolor{#16A06A}{DE} + EC = \textcolor{#16A06A}{15} + \textcolor{#E0453A}{25} = \textcolor{#16A06A}{40} cm, a więc również AB=40AB = \textcolor{#16A06A}{40} cm.
  6. Krok 4 — pole trapezu ABCEABCE. Podstawy: AB=40AB = \textcolor{#16A06A}{40} i EC=25EC = \textcolor{#E0453A}{25}; wysokość to bok AD=20AD = \textcolor{#16A06A}{20} cm.
  7. P=40+252⋅20=32,5⋅20=650P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{40} + \textcolor{#E0453A}{25}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 32{,}5 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 650 cm².
  8. Odpowiedź: pole trapezu ABCEABCE wynosi 650 cm².

💡 Wskazówka: Zaznaczenie dwóch równych kątów to zawsze podpowiedź: trójkąt jest równoramienny. A stąd od razu wiadomo, które boki są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie EC=15EC = 15 cm (czyli że EE jest środkiem boku DCDC). Nic tego nie gwarantuje — o długości ECEC decydują dopiero równe kąty.

Zadanie 13 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

W czworokącie ABCDABCD o polu 48 cm² przekątna ACAC ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: ABCABC i ACDACD. Wysokość trójkąta ACDACD poprowadzona z wierzchołka DD do prostej ACAC jest równa 2 cm. Oblicz wysokość trójkąta ABCABC poprowadzoną z wierzchołka BB do prostej ACAC. Zapisz obliczenia.
Czworokąt ABCD z przekątną AC i wysokościamiABCD8 cm2 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 10 cm

  1. Oba trójkąty mają wspólną podstawę — przekątną AC=8\textcolor{#16A06A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{8} cm. Różnią się tylko wysokościami.
  2. Krok 1 — pole trójkąta ACDACD. PACD=12⋅8⋅2=8P_{ACD} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{8} cm².
  3. Krok 2 — pole trójkąta ABCABC. To reszta czworokąta: 48−8=4048 - \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#16A06A}{40} cm².
  4. Krok 3 — szukana wysokość. 40=12⋅8⋅h\textcolor{#16A06A}{40} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}, czyli 40=4h\textcolor{#16A06A}{40} = 4\textcolor{#E0453A}{h}.
  5. Stąd h=10\textcolor{#E0453A}{h} = 10 cm.
  6. Odpowiedź: wysokość trójkąta ABCABC wynosi 10 cm.
  7. Kontrola sensu: trójkąt ABCABC ma pole pięć razy większe przy tej samej podstawie, więc i wysokość musi być pięć razy większa: 5⋅2=105 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 10 ✓

💡 Wskazówka: Gdy dwa trójkąty mają wspólną podstawę, ich pola są wprost proporcjonalne do wysokości. Można więc pominąć rachunki i od razu użyć stosunku pól.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie pola czworokąta na pół i przyjęcie, że każdy trójkąt ma 24 cm². Przekątna dzieli czworokąt na równe części tylko w szczególnych przypadkach.

Zadanie 14 (maj 2021)3 pkttrudniejsze

Dany jest prostokąt ABCDABCD o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek ACAC jest przekątną tego prostokąta. Odcinek DSDS jest wysokością trójkąta ACDACD poprowadzoną na przekątną ACAC. Oblicz długość odcinka DSDS. Zapisz obliczenia.
Prostokąt ABCD z przekątną AC i wysokością DS S A B C D 12 cm 16 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

  1. Krok 1 — przekątna prostokąta. AC=122+162=144+256=400=20\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{16}^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#E0453A}{20} cm.
  2. Krok 2 — pole trójkąta ACDACD pierwszym sposobem. Trójkąt jest prostokątny (kąt prosty przy DD), a jego przyprostokątne to boki prostokąta:
  3. P=12⋅12⋅16=96P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#16A06A}{96} cm².
  4. Krok 3 — to samo pole drugim sposobem. Bierzemy za podstawę przekątną AC\textcolor{#E0453A}{AC}, a za wysokość szukany odcinek DSDS:
  5. P=12⋅20⋅DSP = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS.
  6. Krok 4 — przyrównujemy. 12⋅20⋅DS=96\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}, czyli 10⋅DS=9610 \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}, więc DS=9,6DS = 9{,}6 cm.
  7. Odpowiedź: odcinek DSDS ma długość 9,6 cm.

💡 Wskazówka: Uniwersalna metoda: policz pole raz „łatwą” parą podstawa–wysokość, drugi raz tą z niewiadomą, i przyrównaj. Działa przy każdej wysokości opuszczonej na nietypowy bok.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że DSDS to połowa jednego z boków albo połowa przekątnej (10 cm). Wysokość na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych.

Zadanie 15 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Czworokąt ABCDABCD jest trapezem o podstawach AB=7AB = 7 i DC=5DC = 5 oraz wysokości 3. Podstawa ABAB została przedłużona do punktu EE, tworząc trójkąt BECBEC (o tej samej wysokości, bo wierzchołek CC leży na tej samej prostej co DD). Pole trapezu ABCDABCD jest trzy razy większe od pola trójkąta BECBEC. Oblicz długość odcinka BEBE. Zapisz obliczenia.
Trapez ABCD z trójkątem BECABECD573
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4

  1. Krok 1 — pole trapezu. PABCD=7+52⋅3=6⋅3=18P_{ABCD} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 6 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{18}.
  2. Krok 2 — pole trójkąta. Jest trzy razy mniejsze: 18:3=6\textcolor{#16A06A}{18} : 3 = \textcolor{#16A06A}{6}.
  3. Krok 3 — szukany odcinek. Trójkąt BECBEC ma podstawę BEBE i tę samą wysokość 3\textcolor{#E0453A}{3} (wierzchołek CC leży na prostej równoległej do AEAE):
  4. 6=12⋅BE⋅3\textcolor{#16A06A}{6} = \tfrac12 \cdot BE \cdot \textcolor{#E0453A}{3}, czyli 6=1,5⋅BE\textcolor{#16A06A}{6} = 1{,}5 \cdot BE.
  5. Stąd BE=4BE = 4.
  6. Odpowiedź: odcinek BEBE ma długość 4.

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: trójkąt i trapez mają tę samą wysokość, bo wierzchołek CC leży na tej samej prostej co bok DCDC. Bez tego zadania nie da się rozwiązać.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie 12\tfrac12 we wzorze na pole trójkąta — wychodzi wtedy BE=2BE = 2. Warto zapisać wzór w pełnej postaci, zanim się podstawi liczby.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. B3. P, P4. P, P5. B6. B
7. C8. A9. C10. F, F11. 9,6 cm12. 650 cm²
13. 10 cm14. 9,6 cm15. 4

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Pierwsza strona: 10 minut do matury — matematyka podstawowa: 30 dni, PDF z kluczem

Materiał PDF · sklep

10 minut do matury — matematyka podstawowa: 30 dni, PDF z kluczem

30 dni powtórki do matury podstawowej z matematyki: codziennie jedna kartka na 10 minut — 5 zadań zamkniętych w formacie…

14,90 zł

Zobacz w sklepie →
Pierwsza strona: Szkoła podstawowa 4–8: wszystkie sprawdziany i kartkówki (5 klas)

Pakiet PDF · sklep

Szkoła podstawowa 4–8: wszystkie sprawdziany i kartkówki (5 klas)

Komplet dla szkoły i nauczyciela uczącego w kilku klasach: wszystkie kartkówki i sprawdziany z matematyki dla klas 4, 5, 6, 7 i 8…

399,00 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →
Pierwsza strona: 10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczem

Sprawdzian PDF · sklep

10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczem

30 dni powtórki do egzaminu ósmoklasisty z matematyki: codziennie jedna kartka na 10 minut — 4 zadania zamknięte jak na egzaminie…

14,90 zł

Zobacz w sklepie →

Wszystkie materiały z matematyki →

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest środkowa trójkąta?

Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe — po jednej z każdego wierzchołka. Nie należy jej mylić z wysokością, która pada prostopadle, ani z dwusieczną, która dzieli kąt.

Czy środkowa dzieli trójkąt na dwie równe części?

Na dwie części o równych polach — ale zwykle o różnych kształtach. Wynika to stąd, że obie połówki mają równe podstawy (bok podzielony na pół) i wspólną wysokość, więc ze wzoru na pole wychodzi to samo.

Czym różni się środkowa od wysokości?

Środkowa trafia w środek przeciwległego boku, a wysokość pada na niego prostopadle. W trójkącie różnobocznym są to dwa różne odcinki; pokrywają się tylko tam, gdzie figura ma oś symetrii — w równoramiennym przy jednym wierzchołku, w równobocznym przy każdym.

Gdzie przecinają się środkowe trójkąta?

W jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości. Wszystkie trzy przechodzą przez to samo miejsce, na którym trójkąt wycięty z tektury da się wyważyć. Trzy środkowe dzielą przy tym figurę na sześć trójkątów o równych polach.

W jakim stosunku środek ciężkości dzieli środkową?

W stosunku 2:12:1, licząc od wierzchołka — czyli dwie trzecie długości przy wierzchołku i jedna trzecia przy środku boku. Dla środkowej 1212 cm daje to 88 cm i 44 cm. To materiał nadprogramowy.

Czy środkowe są w programie szkoły podstawowej?

Podstawa programowa szkoły podstawowej nie wymaga środka ciężkości ani podziału 2:12:1; w wymaganiach szczegółowych z matematyki dla SP nie występuje też samo słowo „środkowa” (jedyne trafienie na „środkow” to „figury środkowosymetryczne”). W wymaganiach dla liceum środek ciężkości jest wymieniony wprost (dział VIII. Planimetria, zakres podstawowy, punkt 10), a podział 2:12:1 mieści się w kończącym ten punkt zwrocie „oraz korzysta z ich własności”. Osobno, na liście twierdzeń z dowodami dla zakresu rozszerzonego, stoi punkt 7b: „środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie”. Sama definicja środkowej i jej własność dzielenia pola na pół są jednak w zasięgu ucznia klas starszych — do uzasadnienia wystarczy wzór na pole trójkąta.

Czytaj dalej

TrójkątTrzy wysokości i pozostałe własności figuryTrójkąt równobocznyTu środkowa, wysokość i dwusieczna to jeden odcinekPole trójkątaWzór, z którego wynika równość pól obu połówekProsta, półprosta i odcinekŚrodek odcinka i mierzenie długości
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09