Płatny materiał · sklep
Pole trójkąta — kartkówka, klasa 6
Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Strona główna › Geometria › Konstrukcja trójkąta cyrklem i linijką
Konstrukcja trójkąta cyrklem i linijką
Konstrukcja to rysunek wykonany bez mierzenia. Linijka służy tylko do prowadzenia prostej, a wszystkie długości przenosi cyrkiel. Brzmi jak utrudnianie sobie życia, ale ma to konkretny sens: konstrukcja jest dokładna, a pomiar zawsze jest przybliżony. Przy okazji ta jedna procedura odpowiada na pytanie, którego samo mierzenie nigdy nie rozstrzygnie — czy trójkąt o zadanych bokach w ogóle istnieje.
Krótko: Trójkąt można zbudować z trzech odcinków tylko wtedy, gdy każdy z nich jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Konstruujemy go cyrklem i linijką, przenosząc długości boków.
1Co wolno, a czego nie wolno w konstrukcji
W konstrukcji geometrycznej dopuszczone są dwa narzędzia i każde ma ściśle wyznaczoną rolę.
- Linijka — wyłącznie do rysowania prostej przez dwa punkty. Podziałka na niej jest w tym zadaniu bezużyteczna; równie dobrze mógłbyś użyć krawędzi zeszytu.
- Cyrkiel — do zakreślania łuków i, co ważniejsze, do przenoszenia długości. Rozstawiasz ramiona na dany odcinek i ta długość zostaje w cyrklu, aż sam jej nie zmienisz.
Ten drugi punkt jest sednem sprawy. Kiedy dostajesz polecenie „skonstruuj trójkąt o bokach danych odcinkami”, długości są dane jako odcinki na rysunku, a nie jako liczby centymetrów. Cyrkiel przenosi je jeden do jednego, bez odczytywania i bez zaokrąglania. Jeśli w zadaniu podano liczby, odkładasz je linijką raz, na początku, a dalej i tak pracujesz cyrklem.
Jak czytać kolory na tej stronie
Na zielono są długości dane w zadaniu, na czerwono to, co z konstrukcji wychodzi. Przy tym temacie kolor pilnuje jednej rzeczy: żeby było widać, że każdy bok gotowego trójkąta bierze się wprost z jednego z danych odcinków — konstrukcja niczego nie dolicza.
Warto od razu oswoić słowo „konstrukcja”. Nie oznacza ono ładnego rysunku, tylko ciąg czynności, który da się powtórzyć i który zawsze prowadzi do tego samego wyniku. Dlatego w rozwiązaniu opisuje się kroki, a nie sam obrazek.
2Trójkąt o trzech danych bokach — krok po kroku
To jedyna konstrukcja trójkąta, której wprost wymaga podstawa programowa szkoły podstawowej. Weźmy boki cm, cm i cm.
- Narysuj prostą i odłóż na niej odcinek o długości cm. Wygodnie zacząć od najdłuższego boku — wtedy od razu widać, czy dwa pozostałe mają szansę się spotkać.
- Rozstaw cyrkiel na cm i zakreśl łuk ze środkiem w punkcie .
- Rozstaw cyrkiel na cm i zakreśl łuk ze środkiem w punkcie .
- Punkt przecięcia łuków oznacz jako i połącz go odcinkami z oraz z .
Dlaczego to działa, widać, gdy zapytać, czym jest każdy z tych łuków. Łuk ze środkiem w i promieniem cm to zbiór wszystkich punktów odległych od o cm. Drugi łuk to wszystkie punkty odległe od o cm. Wierzchołek musi spełniać oba warunki naraz, więc leży tam, gdzie łuki się przecinają. Konstrukcja nie zgaduje położenia — ona je wymusza.
Gotowy trójkąt ma boki , i cm, czyli dokładnie te dane. Możesz to sprawdzić linijką, ale sprawdzenie niczego nie dowodzi — dowodem jest sama procedura.
Uważny uczeń zauważy, że łuki przecinają się w dwóch punktach: jednym nad prostą i jednym pod nią. Oba są dobre. Powstałe trójkąty są swoimi lustrzanymi odbiciami względem prostej , więc mają identyczne boki i identyczne kąty. Zwykle wybiera się ten nad prostą, czysto dla wygody rysunku.
W klasie ósmej ta obserwacja dostanie nazwę: to cecha przystawania bok–bok–bok. Mówi ona, że trzy boki wyznaczają trójkąt jednoznacznie — z dokładnością do położenia na kartce. Na razie wystarczy zapamiętać wniosek praktyczny: przy tych samych trzech odcinkach nikt nie skonstruuje trójkąta istotnie innego niż twój.
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
3Kiedy łuki się nie przetną
Tu konstrukcja pokazuje swoją prawdziwą siłę. Spróbuj zbudować trójkąt o bokach cm, cm i cm.
Odkładasz podstawę cm, zakreślasz łuk o promieniu cm z jednego końca i łuk o promieniu cm z drugiego. Łuki nie mają szans się spotkać: razem sięgają na cm, a do pokonania jest cm. Między nimi zostaje pusty centymetr.
To nie jest niezręczność rysunku ani kwestia ostrego ołówka. Taki trójkąt po prostu nie istnieje, a konstrukcja właśnie to udowodniła. Warunek, który tu zadziałał, nazywa się nierównością trójkąta: każdy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych. Opisuję go osobno na stronie o trójkącie.
W praktyce nie trzeba sprawdzać trzech nierówności. Wystarczy porównać najdłuższy bok z sumą dwóch krótszych — jeśli ta nierówność zachodzi, dwie pozostałe zachodzą same z siebie, bo krótszy bok tym bardziej nie przekroczy sumy, w której siedzi bok od niego dłuższy.
| boki | najdłuższy a suma dwóch krótszych | czy istnieje? |
|---|---|---|
| tak, łuki przecinają się w dwóch punktach | ||
| nie, łuki nie sięgają do siebie | ||
| nie, łuki stykają się na prostej |
Trzeci wiersz to przypadek graniczny i wart osobnej chwili. Gdy najdłuższy bok jest równy sumie dwóch krótszych, łuki spotykają się dokładnie w jednym punkcie — leżącym na odcinku . Wszystkie trzy wierzchołki znajdują się wtedy na jednej prostej, a figura nie ma pola. Taki „trójkąt” nazywa się zdegenerowanym i w szkolnym rozumieniu nie jest trójkątem. Dlatego warunek zapisuje się z ostrą nierównością, bez znaku równości.
4Dwa boki i kąt między nimi
Podstawa wymienia tylko konstrukcję z trzech boków, ale w szkole pojawiają się jeszcze dwa warianty i warto je znać, bo zadania po nie sięgają.
Pierwszy: dane są dwa boki i kąt między nimi. Odkładasz jeden bok, przy jego końcu odtwarzasz dany kąt, na drugim ramieniu odkładasz drugi bok i łączysz końce. Kąt odtwarza się cyrklem — przenosząc rozstaw z rysunku danego kąta — albo, jeśli podano miarę w stopniach, kątomierzem.
Drugi: dane są bok i dwa kąty do niego przyległe. Odkładasz bok i przy obu jego końcach odtwarzasz zadane kąty. Ramiona tych kątów przecinają się w trzecim wierzchołku.
W obu wypadkach konstrukcja udaje się zawsze albo nie udaje się nigdy, i znowu decyduje o tym prosty warunek. Przy dwóch kątach musi być — inaczej ramiona rozejdą się i nigdy nie spotkają. To ta sama historia co z łukami, tylko opowiedziana kątami.
Co dokładnie mówi podstawa programowa
Podstawa programowa szkoły podstawowej (wersja od 2025), dział IX „Wielokąty, koła i okręgi”, punkt 2, wymaga, by uczeń „konstruuje trójkąt o danych trzech bokach i ustala możliwość zbudowania trójkąta o zadanych bokach”.
To jedyne miejsce w matematycznej części podstawy dla szkoły podstawowej, w którym pada słowo „konstruuje” — policzone: dokładnie jedno wystąpienie w całym dziale matematyki. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta w podstawie owszem są, w dziale XV („Symetrie”), ale ze słowami „rozpoznaje” oraz „zna i stosuje w zadaniach podstawowe własności” — nie „konstruuje”. Ich konstrukcje bywają ćwiczone w szkole, lecz nie są punktem podstawy.
Podstawa nie przypisuje wymagań do konkretnych roczników, ale nie zostawia też pełnej dowolności: dzieli II etap na dwa bloki — klasy IV–VI i klasy VII–VIII. Ten dział stoi w pierwszym z nich, więc temat na pewno nie wypadnie później niż w klasie szóstej. Umieszczenie go akurat w szóstej to już propozycja programu Matematyka z kluczem (Braun, Mańkowska, Paszyńska, Nowa Era, obowiązujący od września 2024); inny podręcznik może dać go w czwartej albo piątej.
5Przykłady krok po kroku
Trzy zadania: jedna konstrukcja, która się udaje, jedna, która udać się nie może, i jedna z dodatkowym warunkiem. W każdym opisuję kroki tak, jak trzeba je zapisać w rozwiązaniu.
Przykład 1 Konstrukcja trójkąta o bokach 5 cm, 4 cm i 3 cm
Skonstruuj trójkąt o bokach długości cm, cm i cm.
- Najpierw sprawdzam, czy taki trójkąt istnieje. Najdłuższy bok to , suma dwóch krótszych to . Ponieważ , konstrukcja ma prawo się udać.
- Rysuję prostą i odkładam na niej odcinek o długości cm.
- Rozstawiam cyrkiel na cm i zakreślam łuk ze środkiem w .
- Rozstawiam cyrkiel na cm i zakreślam łuk ze środkiem w .
- Łuki przecinają się w dwóch punktach. Wybieram ten nad prostą i oznaczam go , po czym rysuję odcinki i .
- Kontrola: w trójkącie mam cm, cm, cm — zgodnie z danymi ✓
- Ciekawostka do sprawdzenia kątomierzem: kąt przy wierzchołku wychodzi prosty, bo . To ten sam trójkąt, który stoi za twierdzeniem Pitagorasa.
Odpowiedź: Trójkąt o bokach , i cm; łuki przecinają się w dwóch punktach, więc rozwiązania są dwa i są swoimi lustrzanymi odbiciami.
Przykład 2 Trójkąt, którego nie da się zbudować
Ustal, czy istnieje trójkąt o bokach cm, cm i cm. Odpowiedź uzasadnij.
- Wybieram najdłuższy bok: cm.
- Sumuję dwa pozostałe: cm.
- Porównuję: , czyli najdłuższy bok jest dłuższy od sumy dwóch krótszych. Nierówność trójkąta nie jest spełniona.
- Widać to też na konstrukcji. Po odłożeniu podstawy cm łuki o promieniach cm i cm sięgają razem tylko na cm — zostaje między nimi odstęp cm, więc nie mają jak się przeciąć.
- Uwaga na zapis odpowiedzi: nie wystarczy napisać „nie da się narysować”. Trzeba wskazać, który warunek jest złamany, bo to jest uzasadnienie.
Odpowiedź: Taki trójkąt nie istnieje, ponieważ .
Przykład 3 Trójkąt równoramienny o danej podstawie i ramieniu
Skonstruuj trójkąt równoramienny o podstawie cm i ramionach długości cm.
- Boki tego trójkąta to , i cm — mimo nazwy „równoramienny” konstrukcja jest zwyczajna, z trzech danych boków.
- Sprawdzam warunek: najdłuższy bok to , a suma dwóch pozostałych to . Ponieważ , trójkąt istnieje.
- Odkładam podstawę o długości cm.
- Rozstawiam cyrkiel na cm i zakreślam łuk ze środkiem w . Nie zmieniając rozstawu, zakreślam drugi łuk ze środkiem w — to jedyna różnica wobec przypadku ogólnego i zarazem cała wygoda konstrukcji równoramiennej.
- Przecięcie łuków to wierzchołek . Otrzymuję cm ✓
- Kontrola sensu: skoro oba łuki mają ten sam promień i środki w końcach odcinka , punkt jest jednakowo odległy od i od . Musi więc leżeć na symetralnej podstawy — i rzeczywiście, wysokość trójkąta równoramiennego zawsze pada na środek podstawy.
Odpowiedź: Trójkąt równoramienny o podstawie cm i ramionach cm; wierzchołek leży na symetralnej podstawy.
6Najczęstsze błędy
Cztery pomyłki, przez które konstrukcja albo się nie udaje, albo udaje się pozornie. Najgroźniejsza jest ostatnia, bo daje rysunek wyglądający poprawnie.
Zmiana rozstawu cyrkla w trakcie konstrukcji
Skąd się bierze: Cyrkiel zsuwa się przy zakreślaniu łuku albo zostaje przestawiony, żeby „ładniej wyszło”. Wtedy przenoszona długość przestaje odpowiadać danemu odcinkowi i wierzchołek ląduje w złym miejscu, choć rysunek wygląda schludnie.
Jak zrobić dobrze: Rozstawiaj cyrkiel raz na daną długość i zakreślaj łuk jednym pewnym ruchem. Przy trójkącie równoramiennym wykorzystaj to świadomie: oba ramiona zakreślasz tym samym rozstawem, nie ustawiając go po raz drugi.
Zakreślanie łuków ze złych środków
Skąd się bierze: Łuk o promieniu cm zostaje zakreślony z punktu zamiast z . Powstaje trójkąt o poprawnych długościach, ale boki są poprzestawiane — a w zadaniu z dodatkowym warunkiem, na przykład o kącie przy konkretnym wierzchołku, to już inna figura.
Jak zrobić dobrze: Zanim sięgniesz po cyrkiel, podpisz na rysunku, który bok ma dokąd prowadzić. Reguła jest prosta: łuk zakreślany ze środka w danym wierzchołku ma promień równy bokowi wychodzącemu z tego wierzchołka.
Sprawdzanie nierówności tylko dla jednej pary boków
Skąd się bierze: Uczeń bierze dwa pierwsze boki z brzegu, widzi, że ich suma przekracza trzeci, i uznaje sprawę za zamkniętą. Dla boków , , para i daje , co jest prawdą — a trójkąta mimo to nie ma.
Jak zrobić dobrze: Porównuj zawsze najdłuższy bok z sumą dwóch pozostałych. Jedno takie sprawdzenie rozstrzyga całą sprawę; sprawdzanie pozostałych par jest zbędne, bo one zachodzą automatycznie.
Uznanie przypadku granicznego za udaną konstrukcję
Skąd się bierze: Dla boków , i łuki dotykają się w jednym punkcie i przy grubej kresce wygląda to jak zwykłe przecięcie. Powstaje „trójkąt” o zerowej wysokości — trzy punkty na jednej prostej. Ten błąd daje rysunek, który uczeń uznaje za poprawny.
Jak zrobić dobrze: Policz warunek przed rysowaniem. Jeśli najdłuższy bok równa się sumie dwóch krótszych, odpowiedź brzmi: taki trójkąt nie istnieje. Znak równości jest po stronie „nie da się”, dlatego w nierówności trójkąta nie ma znaku .
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Trójkąty — kartkówka, klasa 6
Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →
Płatny materiał · sklep
Trójkąt i trapez — kartkówka, klasa 6
Pola wielokątów: pole trójkąta i trapezu, brakująca podstawa i wysokość.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.
Karty pracy · sklep
Trójkąty i czworokąty, klasy 4–6 — 10 kart pracy PDF z kluczem
10 kart pracy z matematyki dla klas 4–6: rodzaje trójkątów, nierówność trójkąta, kąty i boki, własności czworokątów, obwody. Na końcu test…
7,90 zł
Zobacz w sklepie →7Pytania i odpowiedzi
Jak skonstruować trójkąt o trzech danych bokach?
Odłóż na prostej najdłuższy z boków jako podstawę. Z jednego jej końca zakreśl cyrklem łuk o promieniu równym drugiemu bokowi, z drugiego końca łuk o promieniu równym trzeciemu bokowi. Punkt przecięcia łuków jest trzecim wierzchołkiem, wystarczy połączyć go z końcami podstawy.
Dlaczego w konstrukcji nie wolno mierzyć linijką?
Bo pomiar jest zawsze przybliżony, a konstrukcja ma być dokładna. Linijka służy tylko do prowadzenia prostej przez dwa punkty, a długości przenosi cyrkiel — rozstawiony raz na dany odcinek odtwarza go bez odczytywania liczby i bez zaokrąglania. Jeśli w zadaniu podano centymetry, odkładasz je linijką na początku, a dalej pracujesz cyrklem.
Co zrobić, gdy łuki się nie przecinają?
Nic — to jest już odpowiedź. Brak przecięcia oznacza, że trójkąt o takich bokach nie istnieje, bo najdłuższy bok jest dłuższy od sumy dwóch pozostałych. W rozwiązaniu trzeba to napisać wprost i wskazać złamany warunek, a nie poprawiać rysunku.
Ile trójkątów można skonstruować z trzech danych boków?
Jeden, jeśli patrzeć na kształt. Łuki przecinają się w dwóch punktach, ale powstałe trójkąty są swoimi lustrzanymi odbiciami względem podstawy, więc mają te same boki i te same kąty. W klasie ósmej ujmuje to cecha przystawania bok–bok–bok.
Czy istnieje trójkąt o bokach 2, 3 i 5?
Nie. Suma dwóch krótszych boków wynosi dokładnie tyle, ile bok najdłuższy, więc łuki spotykają się w jednym punkcie leżącym na podstawie. Wszystkie trzy wierzchołki znalazłyby się na jednej prostej, a taka figura nie ma pola i nie jest trójkątem.
Który bok najlepiej odłożyć jako pierwszy?
Najdłuższy. Nie jest to konieczne, ale wygodne z dwóch powodów: od razu widać, czy dwa pozostałe boki mają szansę się spotkać, a łuki przecinają się pod wyraźniejszym kątem, więc wierzchołek daje się zaznaczyć dokładniej.
Czytaj dalej
TrójkątRodzaje trójkątów, suma kątów i nierówność trójkątaGeometria płaskaDział nadrzędny — figury, kąty, pola i obwodyTrójkąt równoramiennyWłasności figury, którą konstruujesz jednym rozstawem cyrklaTrójkąt równobocznyPrzypadek szczególny — wszystkie trzy łuki tym samym promieniemDwusieczna kątaDruga konstrukcja cyrklem i linijką spotykana w szkole
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
