Strona główna › Geometria › Pole równoległoboku

Pole równoległoboku

Pole równoległoboku liczy się jednym mnożeniem: podstawa razy wysokość. Bez dzielenia przez dwa, bez pierwiastków. Cała trudność siedzi gdzie indziej — w tym, którą liczbę wziąć za wysokość, bo równoległobok ma ich dwie, a bok wysokością nie jest. Samą figurę i jej własności opisuję osobno.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 4

Krótko: Pole równoległoboku to iloczyn długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: P = a · h. Wysokość jest prostopadła do boku (lub jego przedłużenia) i nie jest drugim bokiem równoległoboku.

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

Kalkulator: pole równoległoboku

Wysokość musi być opuszczona na ten bok, który wpisujesz. Na start: przykład 1 z tej strony.

1Wzór — i dlaczego bez dzielenia przez dwa

P=a⋅hP = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}

gdzie a\textcolor{#16A06A}{a} to długość boku wziętego za podstawę, a h\textcolor{#E0453A}{h} — wysokość opuszczona na ten właśnie bok, czyli odległość między nim a bokiem do niego równoległym.

Równoległobok ABCD: podstawa a na dole, wysokość h to przerywany odcinek z wierzchołka D prostopadły do podstawyahABCD
Rysunek 1. Równoległobok ABCDABCD: przeciwległe boki są równoległe i równe. Wysokość hh to odległość między podstawą aa a bokiem do niej równoległym — odcinek prostopadły, nie ukośny bok. Pole: P=a⋅hP = a \cdot h.

Wzór jest krótszy niż przy trójkącie i trapezie, bo nie ma tu żadnej połowy. Równoległobok jest figurą „pełną”, a nie połówką czegoś — to trójkąt jest jego połową, nie odwrotnie.

Jedna rzecz, którą trzeba sprawdzić przed podstawieniem

Wysokość musi pasować do podstawy. Jeśli za podstawę bierzesz bok aa, to hh musi być odległością od aa do boku równoległego.

W treści zadania są zwykle trzy liczby — dwa boki i jedna wysokość. Tylko jedna z par do siebie pasuje.

Jednostka wyniku jest zawsze kwadratowa: centymetry razy centymetry dają centymetry kwadratowe. To najszybsza kontrola, czy nie pomylono pola z obwodem.

2Skąd się bierze ten wzór

To jedno z najstarszych rozumowań w geometrii i da się je wykonać nożyczkami. Wystarczy rozciąć równoległobok i przesunąć kawałek.

  1. narysuj równoległobok i opuść wysokość z jednego z górnych wierzchołków,
  2. odetnij powstały trójkąt prostokątny — ten po lewej stronie,
  3. przesuń go na prawą stronę i dostaw do przeciwległego boku,
  4. kawałki pasują idealnie, bo przeciwległe boki równoległoboku są równe,
  5. powstał prostokąt o tej samej podstawie aa i tej samej wysokości hh.
Z lewej równoległobok z zacienionym trójkątem przy lewym boku; strzałka; z prawej ten sam trójkąt dostawiony z prawej strony tworzy prostokąt o bokach a i h✂ahah
Rysunek 2. Odcinamy trójkąt wzdłuż wysokości i dostawiamy go z drugiej strony. Powstaje prostokąt o boku aa i wysokości hh — pole się nie zmieniło, więc Proˊwnoległoboku=a⋅hP_{\text{równoległoboku}} = a \cdot h.

A pole prostokąta to po prostu iloczyn jego boków:

Pprostokąta=a⋅h⇒Proˊwnoległoboku=a⋅hP_{\text{prostokąta}} = a \cdot h \quad \Rightarrow \quad P_{\text{równoległoboku}} = a \cdot h

Nic nie ubyło ani nie przybyło — przełożyliśmy tylko kawałek z jednej strony na drugą. Dlatego oba pola muszą być równe.

Dlaczego to warto zobaczyć, a nie zapamiętać

To rozumowanie tłumaczy od razu, czemu w tym wzorze występuje wysokość, a nie drugi bok: w prostokącie, który powstał po przesunięciu, drugim bokiem jest właśnie wysokość.

Na tym wyprowadzeniu stoi też cała reszta. Pole trójkąta wyprowadza się z równoległoboku, a pole trapezu — z podwojenia. Prostokąt tłumaczy równoległobok, równoległobok tłumaczy trójkąt.

Skąd wzór na pole równoległoboku: trójkąt odcięty z jednej strony i dostawiony z drugiej daje prostokąt o boku a i wysokości h, więc P = a · h
Wzór na pole równoległoboku P = a · h — przekształcenie w prostokąt
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Dwie pary, jeden wynik

Równoległobok ma dwie różne wysokości — po jednej do każdej pary boków. Opisuję je przy samej figurze; tutaj ważne jest, co z nich wynika dla pola.

Obie pary dają ten sam wynik.

P=a⋅ha=b⋅hbP = a \cdot h_a = b \cdot h_b

To nie ciekawostka, tylko narzędzie. Jeśli pole da się policzyć z jednej pary, a zadanie pyta o wysokość z drugiej — wystarczy przyrównać.

Weźmy równoległobok o bokach 88 cm i 1010 cm, w którym wysokość opuszczona na bok 88 cm wynosi 55 cm. Pole to 8⋅5=408 \cdot 5 = 40 cm². Druga wysokość wychodzi z przyrównania: 10⋅hb=4010 \cdot h_b = 40, czyli hb=4h_b = 4 cm.

Równoległobok o bokach 8 i 10 z dwiema wysokościami: 4 opuszczoną na bok 10 i 5 opuszczoną na bok 8 (na przedłużenie boku, poza figurą)b = 10a = 8hb = 4ha = 5ABCD
Rysunek 3. Przykład z tej sekcji narysowany w skali: a=8a = 8, b=10b = 10, ha=5h_a = 5, hb=4h_b = 4. Z każdej pary wychodzi to samo pole: 8⋅5=10⋅4=408 \cdot 5 = 10 \cdot 4 = 40. Wysokość na krótszy bok wypadła poza figurą — opuszcza się ją na przedłużenie boku (przerywana linia).

Wynika stąd zależność wygodna jako kontrola: im dłuższy bok, tym krótsza opuszczona na niego wysokość. Iloczyn musi wyjść ten sam, więc gdy jeden czynnik rośnie, drugi maleje.

Ta sama zasada obowiązuje w trójkącie, tylko tam par jest trzy zamiast dwóch.

Dwie wysokości równoległoboku, jedno pole: podstawa 8 i wysokość 3 daje 24, podstawa 4 i wysokość 6 też daje 24; bok ukośny nie jest wysokością, 8 · 4 = 32 to błąd
Pole równoległoboku liczone z dwóch par podstawa–wysokość

4Gdy wysokość nie jest podana

W trudniejszych zadaniach wysokości nie ma w danych i trzeba ją wydobyć. Są trzy typowe drogi.

co podanojak dojść do wysokości
pole i podstawęprzekształć wzór: h=Pah = \frac{P}{a}
drugi bok i drugą wysokośćpolicz pole z tamtej pary, potem podziel
bok i kąt ostrywysokość z trójkąta prostokątnego — liceum

Pierwsze dwie drogi to szkoła podstawowa. Trzecia wymaga trygonometrii, więc w podstawie szkoły podstawowej jej nie ma — jest za to w liceum: dział VIII, punkt 12 każe „stosować funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur”. Maturzysta dostaje przy tym gotowe wzory na karcie.

Dla starszych klas — wzory z karty wzorów CKE

Karta, którą maturzysta dostaje na egzaminie, podaje na pole równoległoboku trzy wzory (strona 21):

P=a⋅hP=a⋅b⋅sin⁡αP=12⋅∣AC∣⋅∣BD∣⋅sin⁡γP = a \cdot h \qquad P = a \cdot b \cdot \sin\alpha \qquad P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin\gamma

Pierwszy znasz z tej strony. Drugi liczy pole z dwóch boków i kąta między nimi — przydaje się dokładnie wtedy, gdy wysokości nie ma w danych, bo zastępuje cały rachunek z trójkąta prostokątnego. Trzeci korzysta z przekątnych i kąta między nimi. W szkole podstawowej wystarcza pierwszy.

Wysokość bywa poza figurą

W mocno przechylonym równoległoboku wysokość opuszczona na krótszy bok wypada poza figurą — trzeba wtedy przedłużyć bok i dopiero na to przedłużenie opuścić prostopadłą.

Wzór działa wtedy tak samo. Podstawą pozostaje sam bok, a nie bok razem z przedłużeniem — to najczęstsze miejsce, w którym rachunek się rozjeżdża.

Odległość mierzy się zawsze odcinkiem prostopadłym — dlaczego akurat nim, wyjaśniam przy prostych i odcinkach.

5Przechylenie zmienia pole, ale nie obwód

To obserwacja, która porządkuje cały temat i jest zarazem najlepszym argumentem, dlaczego nie wolno mnożyć dwóch boków.

Wyobraź sobie prostokąt o bokach 66 cm i 44 cm zrobiony z listewek połączonych zawiasami. Ma pole 2424 cm² i obwód 2020 cm. Teraz przechyl go.

wysokośćobwódpole
44 cm (jeszcze prostokąt)2020 cm2424 cm²
33 cm2020 cm1818 cm²
22 cm2020 cm1212 cm²
11 cm2020 cm66 cm²
Cztery równoległoboki o bokach 6 i 4 cm: wysokość 4, 3, 2 i 1 cm, pole 24, 18, 12 i 6 cm², obwód zawsze 20 cmh = 4pole 24 cm² · obwód 20 cmh = 3pole 18 cm² · obwód 20 cmh = 2pole 12 cm² · obwód 20 cmh = 1pole 6 cm² · obwód 20 cm
Rysunek 4. Ta sama ramka o bokach 66 cm i 44 cm coraz bardziej przechylona. Obwód stoi w miejscu (2020 cm), a pole spada razem z wysokością: 24, 18, 12, 624,\ 18,\ 12,\ 6 cm². Największe pole ma prostokąt (zielony).

Boki się nie zmieniły, więc obwód przez cały czas wynosi 2020 cm. Ale figura robi się coraz bardziej płaska i pole maleje — aż do zera, gdyby ją całkiem złożyć.

Stąd wniosek: iloczyn dwóch boków nie jest polem równoległoboku. Dla boków 66 i 44 dałby 2424 cm², czyli pole prostokąta — a to jest największa możliwa wartość, osiągana tylko wtedy, gdy kąty są proste.

Wniosek do zapamiętania

Spośród wszystkich równoległoboków o danych bokach największe pole ma prostokąt.

Każde przechylenie pole zmniejsza, a obwodu nie rusza. Dlatego dwie figury o tym samym obwodzie mogą mieć zupełnie różne pola — i dlatego obwód i pole to dwa niezależne pytania.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór wprost, druga wysokość z przyrównania i rozpoznanie właściwej pary.

Przykład 1 Wzór wprost

Równoległobok ma podstawę 88 cm i wysokość opuszczoną na tę podstawę równą 55 cm. Oblicz pole.

  1. Sprawdzam, czy podstawa i wysokość do siebie pasują — treść mówi „opuszczoną na tę podstawę”, więc tak.
  2. Podstawiam do wzoru: P=8⋅5P = 8 \cdot 5.
  3. 8⋅5=408 \cdot 5 = 40.
  4. Jednostka jest kwadratowa, więc wynik to 4040 cm².
  5. Kontrola: nie dzielę przez dwa — to równoległobok, nie trójkąt ✓
  6. Kontrola sensu: skoro wysokość opuszczona na podstawę wynosi 55 cm, to drugi bok ma co najmniej 55 cm — wysokość nigdy nie jest dłuższa od boku, na który jej nie opuszczono. Zadanie go nie podaje, ale i tak wiemy o nim tę jedną rzecz ✓

Odpowiedź: P=40P = 40 cm²

Najczęstszy błąd na tym poziomie to odruchowe dzielenie przez dwa, przeniesione ze wzoru na pole trójkąta. Warto powiedzieć sobie na głos: równoległobok jest cały, nie połówkowy.

Przykład 2 Druga wysokość z przyrównania

Równoległobok ma boki 88 cm i 1010 cm. Wysokość opuszczona na bok 88 cm wynosi 55 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na bok 1010 cm.

  1. Najpierw liczę pole z pary, która jest kompletna: P=8⋅5=40P = 8 \cdot 5 = 40 cm².
  2. Pole nie zależy od tego, którą parę wybiorę, więc druga para musi dać tyle samo.
  3. Zapisuję: 10⋅hb=4010 \cdot h_b = 40.
  4. Stąd hb=4010=4h_b = \frac{40}{10} = 4 cm.
  5. Kontrola: 10⋅4=4010 \cdot 4 = 40 ✓ — zgadza się z polem z pierwszej pary.
  6. Kontrola sensu: bok 1010 cm jest dłuższy od 88 cm, więc opuszczona na niego wysokość musi być krótsza — i rzeczywiście 4<54 < 5 ✓
  7. Druga kontrola: żadna wysokość nie może być dłuższa od boku, na który jej nie opuszczono: 5≤105 \le 10 ✓ oraz 4≤84 \le 8 ✓. Równość oznaczałaby, że figura jest prostokątem; tutaj jest przechylona, więc obie nierówności są ostre.

Odpowiedź: hb=4h_b = 4 cm

Schemat „policz pole łatwą parą, potem przyrównaj” jest tu identyczny jak w trójkącie. Różnica jest tylko taka, że par jest dwie, a nie trzy.

Przykład 3 Która para pasuje

W zadaniu podano: bok 66 cm, bok 44 cm, wysokość 33 cm. Wiadomo, że wysokość opuszczono na dłuższy bok. Oblicz pole. Ile wynosiłoby pole, gdyby ktoś pomnożył oba boki?

  1. Wysokość opuszczono na dłuższy bok, czyli na ten o długości 66 cm — to jest właściwa para.
  2. P=6⋅3=18P = 6 \cdot 3 = 18 cm².
  3. Gdyby pomnożyć oba boki: 6⋅4=246 \cdot 4 = 24 cm² — ale to pole prostokąta o takich bokach, nie tego równoległoboku.
  4. Różnica: 24−18=624 - 18 = 6 cm², czyli wynik zawyżony o jedną trzecią.
  5. Skąd wiadomo, że 1818 jest poprawne? Bo wysokość 33 cm jest mniejsza od boku 44 cm — figura jest przechylona, więc pole musi być mniejsze niż 2424 ✓
  6. Kontrola sensu: gdyby wysokość równała się 44 cm, byłby to prostokąt i pole wyniosłoby 2424 cm². Każde przechylenie je zmniejsza ✓

Odpowiedź: P=18P = 18 cm²; mnożenie boków dałoby błędne 2424 cm².

Zwróć uwagę, że błędny wynik 2424 cm² wygląda całkiem wiarygodnie — jest tego samego rzędu. Dlatego kontrolą nie może być „czy liczba wygląda sensownie”, tylko sprawdzenie, czy pomnożono podstawę przez wysokość.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa odpowiadają za większość złych wyników.

Mnożenie dwóch boków zamiast podstawy przez wysokość

Skąd się bierze: Wzór P=a⋅hP = a \cdot h wygląda jak wzór na pole prostokąta, więc uczeń podstawia dwa boki. Dostaje wtedy pole prostokąta o tych bokach — największe możliwe, a więc zawsze zawyżone. Dla boków 66 i 44 przy wysokości 33 różnica to 2424 zamiast 1818.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy druga liczba we wzorze jest wysokością, a nie bokiem. Bok jest wysokością wyłącznie w prostokącie — w każdym przechylonym równoległoboku wysokość jest krótsza.

Dzielenie przez dwa

Skąd się bierze: Odruch przeniesiony ze wzoru na pole trójkąta i trapezu. Równoległobok nie jest jednak połową niczego — to trójkąt jest jego połową. Dzielenie daje wynik dwa razy za mały.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj kierunek zależności: dwa jednakowe trójkąty składają się w równoległobok. Skoro trójkąt jest połówką, to równoległobok jest całością — i nic się nie dzieli.

Wzięcie wysokości z niewłaściwej pary

Skąd się bierze: W treści są dwa boki i jedna wysokość, a uczeń mnoży ją przez pierwszy lepszy bok. Tylko jedna para do siebie pasuje — pozostałe iloczyny nie znaczą nic.

Jak zrobić dobrze: Zanim podstawisz, powiedz na głos: „ta wysokość jest opuszczona na ten bok”. Jeśli nie da się tego powiedzieć, para jest zła i trzeba znaleźć właściwą albo skorzystać z przyrównania a⋅ha=b⋅hba \cdot h_a = b \cdot h_b.

Wliczenie przedłużenia boku do podstawy

Skąd się bierze: Gdy wysokość wypada poza figurą, trzeba przedłużyć bok — i uczeń mierzy potem całą narysowaną linię razem z przedłużeniem. Podstawa jest jednak tylko bokiem figury, a przedłużenie służy wyłącznie do postawienia prostopadłej.

Jak zrobić dobrze: Zaznacz bok wyraźniej niż jego przedłużenie i podstawiaj tylko jego długość. Kontrola: podstawa nie może być dłuższa od boku podanego w treści zadania.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — pola figur

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno. Cały ten zestaw jest z egzaminu ósmoklasisty, więc część zadań korzysta z materiału klas 7–8 — między innymi z twierdzenia Pitagorasa.

Kolor rozdziela dwa składniki każdego wzoru na pole: zielona to podstawa (albo bok, albo przekątna), a czerwona to wysokość — czyli to, co do niej prostopadłe. Największa liczba błędów w tym dziale bierze się z pomylenia wysokości z ramieniem albo z bokiem ukośnym, dlatego warto śledzić czerwoną liczbę.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Dane są dwa równoległoboki: ABCDABCD (o podstawie ABAB) oraz ECFDECFD. Punkt EE leży na boku ABAB, przy czym odcinek DEDE jest prostopadły do ABAB — jest więc wysokością równoległoboku ABCDABCD. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Równoległoboki ABCD i ECFDABCDEF
Bok DCDC równoległoboku ABCDABCD jest jedną z wysokości równoległoboku ECFDECFD.PF
Pole równoległoboku ABCDABCD jest równe polu równoległoboku ECFDECFD.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zdanie 1. W równoległoboku ABCDABCD bok DCDC jest równoległy do ABAB. Skoro DE⊥ABDE \perp AB, to również DE⊥DCDE \perp DC.
  2. Odcinek DCDC łączy wierzchołek DD (leżący na boku DEDE równoległoboku ECFDECFD) z wierzchołkiem CC (leżącym na boku przeciwległym CFCF) i jest do nich prostopadły.
  3. Spełnia więc definicję wysokości równoległoboku ECFDECFD ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2. Liczymy oba pola przez „podstawa razy wysokość”:
  5. PABCD=AB⋅DEP_{ABCD} = \textcolor{#16A06A}{AB} \cdot \textcolor{#E0453A}{DE}  (podstawa ABAB, wysokość DEDE).
  6. PECFD=DE⋅DCP_{ECFD} = \textcolor{#16A06A}{DE} \cdot \textcolor{#E0453A}{DC}  (podstawa DEDE, wysokość DCDC — z pierwszego zdania).
  7. W równoległoboku ABCDABCD boki przeciwległe są równe, czyli AB=DC\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#E0453A}{DC}.
  8. Oba iloczyny zawierają więc te same dwie liczby — pola są równe ✓ — prawda.
  9. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Wysokość równoległoboku to dowolny odcinek prostopadły do pary boków równoległych i sięgający od jednego do drugiego — nie musi wychodzić z wierzchołka ani leżeć wewnątrz figury.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro równoległoboki wyglądają na różnie „rozciągnięte”, to mają różne pola. Decyduje wyłącznie iloczyn podstawy i wysokości.

Zadanie 2 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

W zeszycie w linie narysowano dwa równoległoboki (PP i RR) oraz trójkąt (SS). Odległości między sąsiednimi liniami są jednakowe. Podstawy wszystkich tych figur mają taką samą długość. Równoległobok PP ma wysokość równą jednemu odstępowi między liniami, a równoległobok RR i trójkąt SS — po dwa odstępy. Pole równoległoboku PP jest równe 4. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Dwa równoległoboki i trójkąt w zeszycie w liniePRS
Pole równoległoboku RR jest równe 8.PF
Pole trójkąta SS jest równe 4.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Oznaczmy wspólną podstawę przez a\textcolor{#16A06A}{a}, a odstęp między liniami przez h\textcolor{#E0453A}{h}.
  2. Równoległobok PP: wysokość h\textcolor{#E0453A}{h}, więc PP=a⋅h=4P_P = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = 4.
  3. Zdanie 1 — równoległobok RR: wysokość 2h2\textcolor{#E0453A}{h}, więc PR=a⋅2h=2⋅(ah)=2⋅4=8P_R = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot 2\textcolor{#E0453A}{h} = 2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}) = 2 \cdot 4 = 8 ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2 — trójkąt SS: ta sama podstawa i wysokość 2h2\textcolor{#E0453A}{h}, ale we wzorze na pole trójkąta jest jeszcze 12\tfrac12:
  5. PS=12⋅a⋅2h=ah=4P_S = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{a} \cdot 2\textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h} = 4 ✓ — prawda.
  6. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Nie musisz znać ani podstawy, ani odstępu — wystarczy, że wiesz, ile razy dana figura jest „wyższa” i czy jest trójkątem. Wszystko liczy się względem pola PP.

⚠ Ciekawy zbieg okoliczności w zadaniu: trójkąt SS jest dwa razy wyższy od równoległoboku PP, ale wzór ma 12\tfrac12 — te dwa efekty się znoszą i pola wychodzą równe.

Zadanie 3 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W równoległoboku ABCDABCD bok ABAB jest dwa razy dłuższy od boku ADAD. Punkt KK jest środkiem boku ABAB, a punkt LL jest środkiem boku CDCD. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Równoległobok ABCD z punktami K i L — środkami bokówABCDKL
Trójkąt ABLABL ma takie samo pole, jak trójkąt ABDABD.PF
Pole równoległoboku ABCDABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta AKDAKD.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Oznaczmy AB=aAB = \textcolor{#16A06A}{a} oraz wysokość równoległoboku (odległość między ABAB a DCDC) przez h\textcolor{#E0453A}{h}. Pole równoległoboku: a⋅h\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}.
  2. Zdanie 1. Oba trójkąty mają tę samą podstawę AB=aAB = \textcolor{#16A06A}{a}. Ich trzecie wierzchołki (LL i DD) leżą na tej samej prostej DCDC, równoległej do ABAB.
  3. Wysokość obu trójkątów jest więc taka sama i równa h\textcolor{#E0453A}{h}, a zatem pola są równe: 12ah\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h} ✓ — prawda.
  4. Zdanie 2. Trójkąt AKDAKD ma podstawę AK=12aAK = \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a} (bo KK jest środkiem ABAB) i wysokość h\textcolor{#E0453A}{h}.
  5. PAKD=12⋅12a⋅h=14ahP_{AKD} = \tfrac12 \cdot \tfrac12\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = \tfrac14 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}.
  6. Stosunek: ah14ah=4\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}}{\tfrac14 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}} = 4 ✓ — prawda.
  7. Odpowiedzi: P, P. (Informacja „ABAB dwa razy dłuższy od ADAD” okazała się w obu zdaniach zbędna.)

💡 Wskazówka: Reguła warta zapamiętania: trójkąty o wspólnej podstawie i wierzchołkach na prostej do niej równoległej mają równe pola — niezależnie od tego, jak bardzo są „przechylone”.

⚠ Najczęstszy błąd: próba wykorzystania warunku AB=2⋅ADAB = 2 \cdot AD i gubienie się w rachunkach. Część danych w zadaniach bywa rozpraszaczem — warto sprawdzić, czy są potrzebne.

Zadania otwarte

Zadanie 4 (czerwiec 2021)3 pkttrudniejsze

Równoległobok ABCDABCD zbudowano z czterech przystających trójkątów prostokątnych. Boki równoległoboku mają długości ∣AB∣=24|AB| = 24 cm i ∣AD∣=13|AD| = 13 cm. Oblicz pole równoległoboku ABCDABCD. Zapisz obliczenia.
Równoległobok z czterech przystających trójkątów prostokątnychABCD24 cm13 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 120 cm²

  1. Oznaczmy przyprostokątne każdego z czterech trójkątów: x\textcolor{#16A06A}{x} (pozioma) i h\textcolor{#E0453A}{h} (pionowa — to zarazem wysokość równoległoboku).
  2. Bok AD=13AD = 13 cm jest przeciwprostokątną takiego trójkąta, więc x2+h2=169\textcolor{#16A06A}{x}^2 + \textcolor{#E0453A}{h}^2 = 169.
  3. Kluczowy krok — porównujemy pole na dwa sposoby.
  4. Jako suma czterech trójkątów: P=4⋅12xh=2xhP = 4 \cdot \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{x} \textcolor{#E0453A}{h} = 2\textcolor{#16A06A}{x}\textcolor{#E0453A}{h}.
  5. Jako równoległobok (podstawa razy wysokość): P=24⋅hP = 24 \cdot \textcolor{#E0453A}{h}.
  6. Przyrównujemy: 2xh=24h2\textcolor{#16A06A}{x}\textcolor{#E0453A}{h} = 24\textcolor{#E0453A}{h}, skąd x=12\textcolor{#16A06A}{x} = 12 cm.
  7. Teraz z Pitagorasa: h=169−122=169−144=25=5\textcolor{#E0453A}{h} = \sqrt{169 - \textcolor{#16A06A}{12}^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5} cm.
  8. Pole: P=24⋅5=120P = 24 \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 120 cm².
  9. Odpowiedź: pole równoległoboku wynosi 120 cm².

💡 Wskazówka: Sztuczka „policz to samo pole dwoma sposobami” jest bardzo skuteczna w figurach złożonych — daje równanie, którego inaczej trudno się doszukać.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość równoległoboku wynosi 13 cm (bo tyle ma bok ADAD). Bok ukośny jest zawsze dłuższy od wysokości — mylenie ich to najczęstsza pomyłka w całym dziale.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P2. P, P3. P, P4. 120 cm²

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Pola i obwody figur, klasy 4–6 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Pola i obwody figur, klasy 4–6 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Ściąga ze wzorami i 12 kart: obwód wielokątów, pole w kratkach, prostokąt i kwadrat, jednostki pola, równoległobok, romb, trójkąt, trapez…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć pole równoległoboku?

Pomnóż podstawę przez wysokość opuszczoną na tę podstawę: P=a⋅hP = a \cdot h. Nie dzielimy przez dwa — to trójkąt jest połową równoległoboku, nie odwrotnie. Wynik podajemy w jednostkach kwadratowych.

Jak obliczyć pole równoległoboku z przekątnych?

Wzorem z karty wzorów CKE: P=12⋅∣AC∣⋅∣BD∣⋅sin⁡γP = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin\gamma, gdzie γ\gamma to kąt między przekątnymi. Same przekątne nie wystarczą — potrzebny jest jeszcze ten kąt. Gdy przekątne są prostopadłe, równoległobok jest rombem, sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1 i wzór skraca się do P=12⋅d1⋅d2P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2.

Skąd bierze się wzór na pole równoległoboku?

Z rozcięcia i przesunięcia. Odetnij trójkąt powstały po opuszczeniu wysokości i przesuń go na drugą stronę — powstanie prostokąt o tej samej podstawie i wysokości. Nic nie ubyło, więc pola są równe, a pole prostokąta to iloczyn boków.

Czy można pomnożyć dwa boki równoległoboku?

Nie. To daje pole prostokąta o takich bokach, czyli wartość największą z możliwych. Dla boków 66 cm i 44 cm przy wysokości 33 cm prawdziwe pole to 1818 cm², a iloczyn boków dałby 2424 cm².

Jak obliczyć wysokość równoległoboku, znając pole?

Przekształć wzór: h=Pah = \frac{P}{a}. Jeśli znasz drugą parę bok–wysokość, policz z niej pole i przyrównaj: a⋅ha=b⋅hba \cdot h_a = b \cdot h_b. Dla pola 4040 cm² i boku 1010 cm wysokość wynosi 44 cm.

Dlaczego równoległobok ma dwie wysokości?

Bo ma dwie pary boków różnej długości, a wysokość jest przypisana do konkretnego boku. Obie pary dają ten sam wynik: a⋅ha=b⋅hba \cdot h_a = b \cdot h_b. Im dłuższy bok, tym krótsza opuszczona na niego wysokość.

Czy przechylenie równoległoboku zmienia jego pole?

Tak — pole maleje, choć obwód zostaje ten sam, bo boki się nie zmieniają. Prostokąt o bokach 66 i 44 ma pole 2424 cm², a po przechyleniu do wysokości 33 cm już tylko 1818 cm². Spośród równoległoboków o danych bokach największe pole ma prostokąt.

Czytaj dalej

RównoległobokSama figura: dwie wysokości, przekątne i symetria środkowaPole trójkątaTrójkąt jako połowa równoległoboku — stąd dzielenie przez dwaPola figurWzory na pola pozostałych figur płaskichProsta, półprosta i odcinekDlaczego wysokość mierzy się odcinkiem prostopadłym
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-24. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-24