Strona główna › Geometria › Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny

Q: Jaki trójkąt nazywamy równoramiennym?

Taki, który ma co najmniej dwa boki równej długości. Te dwa boki nazywamy ramionami, a trzeci podstawą. Ponieważ w definicji jest zwrot co najmniej, trójkąt równoboczny również jest równoramienny.

Q: Jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego?

Wysokość poprowadzona na podstawę dzieli ją na połowy, więc korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla połówki trójkąta. Od kwadratu ramienia odejmujemy kwadrat połowy podstawy i z wyniku wyciągamy pierwiastek.

Q: Ile osi symetrii ma trójkąt równoramienny?

Jedną — prostą zawierającą wysokość poprowadzoną na podstawę — o ile nie jest to trójkąt równoboczny. Równoboczny jest szczególnym przypadkiem równoramiennego i ma osie trzy, więc odpowiedź „dokładnie jedna” jest prawdziwa dla każdego trójkąta równoramiennego o dwóch, a nie trzech bokach równych.

Q: Czy kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe?

Tak, i twierdzenie to działa również w drugą stronę. Jeżeli w jakimś trójkącie dwa kąty są równe, to boki leżące naprzeciw nich też są równe, więc trójkąt jest równoramienny.

Q: Dlaczego zadanie o trójkącie równoramiennym miewa dwa rozwiązania?

Ponieważ podany bok albo kąt może pełnić dwie różne role — być podstawą albo ramieniem, kątem przy podstawie albo przy wierzchołku. Trzeba wtedy rozpatrzyć oba przypadki i dla każdego sprawdzić, czy taki trójkąt w ogóle istnieje.

Q: Jak obliczyć pole trójkąta równoramiennego, znając tylko boki?

Można najpierw wyliczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa, a potem użyć zwykłego wzoru na pole trójkąta. Można też złożyć oba kroki w jeden wzór: pole równa się jednej czwartej podstawy pomnożonej przez pierwiastek z poczwórnego kwadratu ramienia pomniejszonego o kwadrat podstawy.

Q: Czy trójkąt o kątach 45°, 45° i 90° jest równoramienny?

Tak. Ma dwa równe kąty (po 45°), więc boki leżące naprzeciw nich też są równe — to trójkąt prostokątny równoramienny. Jego podstawa jest przeciwprostokątną i ma długość r√2.

Q: Ile stopni mają kąty w trójkącie równoramiennym?

Dwa kąty przy podstawie są równe, a wszystkie trzy dają razem 180°. Gdy kąt przy wierzchołku ma β, każdy kąt przy podstawie ma (180° − β) : 2. Na przykład przy β = 40° kąty przy podstawie mają po 70°.

Q: Czy trójkąt równoramienny może być rozwartokątny?

Tak — gdy kąt przy wierzchołku jest większy niż 90°, na przykład 120°. Kąty przy podstawie mają wtedy po 30°. Rozwarty może być tylko kąt przy wierzchołku, nigdy kąt przy podstawie.

Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma co najmniej dwa boki równej długości. Te dwa boki nazywamy ramionami, a trzeci — podstawą. Z tej jednej własności wynika cała reszta: równe kąty przy podstawie, jedna oś symetrii i to, że wysokość poprowadzona na podstawę dzieli figurę na dwa przystające trójkąty prostokątne. Właśnie ta wysokość jest kluczem do wszystkich wzorów na tej stronie.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–8

Krótko: trójkąt równoramienny ma dwa równe boki — ramiona r — i podstawę a. Kąty przy podstawie są równe: $\boldsymbol{\alpha{} + \alpha{} + \beta{} = 180^\circ}$ . Wysokość na podstawę dzieli ją na pół, więc $\boldsymbol{h = \sqrt{r^2 - a^2/4}}$ , a pole $\boldsymbol{P = a \cdot h : 2}$ . Przykład: $r = 13$ , $a = 10 \to h = 12$ , $P = 60$ .

Kalkulator trójkąta równoramiennego

1Definicja, oznaczenia i jedna oś symetrii

Przyjmijmy oznaczenia, które będą obowiązywać w całym tekście: $r$ — długość ramienia, $a$ — długość podstawy, $h$ — wysokość poprowadzona na podstawę, $\alpha$ — kąt przy podstawie, $\beta$ — kąt przy wierzchołku (między ramionami).

Rysunek 1. Oznaczenia używane na tej stronie. Kreski na ramionach znaczą „te boki są równe”. Wysokość h opada na środek podstawy i dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne — z nich biorą się wszystkie wzory.

Trójkąt równoramienny — własności na rysunku: dwa równe ramiona r, podstawa a, równe kąty przy podstawie α, kąt β przy wierzchołku, wysokość h dzieli podstawę na połowy i leży na jedynej osi symetrii — Trójkąt równoramienny: ramiona, podstawa, kąty i oś symetrii

Sformułowanie „co najmniej dwa boki równe” jest celowe: oznacza, że trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem równoramiennego. Ma trzy równe boki, więc warunek spełnia z nawiązką — i wszystkie wzory z tej strony działają dla niego, gdy podstawimy $a = r$ .

Jedna oś symetrii — i tylko jedna

Osią symetrii jest prosta zawierająca wysokość poprowadzoną na podstawę. Ta jedna wysokość jest jednocześnie środkową i dwusieczną kąta przy wierzchołku — trzy odcinki w jednym.

Pozostałe dwie wysokości (te opuszczone na ramiona) nie są osiami symetrii i nie pokrywają się ze środkowymi. To częsty fałszywy trop przeniesiony z trójkąta równobocznego, gdzie osie są trzy i wszystkie trzy odcinki pokrywają się z każdego wierzchołka.

Wyjątek jest jeden i to ten sam co zawsze: w trójkącie równobocznym, który jest szczególnym równoramiennym, osie symetrii są trzy.

Z symetrii wynika twierdzenie o kątach przy podstawie: $\alpha_1 = \alpha_2$ . Działa ono także w drugą stronę — jeśli w trójkącie dwa kąty są równe, to leżące naprzeciw nich boki też są równe, czyli trójkąt jest równoramienny. Tego twierdzenia odwrotnego używa się w zadaniach dowodowych częściej niż samego twierdzenia.

2Komplet wzorów

Wszystkie wielkości wyliczamy z pary $(r, a)$ — długości ramienia i podstawy. Punktem wyjścia jest wysokość, bo wchodzi do większości pozostałych wzorów.

wielkość	wzór	skąd się bierze
obwód	$Ob = 2r + a$	dwa ramiona i podstawa
ramię z obwodu	$r = \dfrac{Ob - a}{2}$	przekształcenie wzoru wyżej
podstawa z obwodu	$a = Ob - 2r$	to samo w drugą stronę
wysokość na podstawę	$h = \sqrt{r^2 - \dfrac{a^2}{4}}$	Pitagoras w połówce trójkąta
pole (z wysokości)	$P = \dfrac{a \cdot h}{2}$	wzór ogólny na pole trójkąta
pole (z boków)	$P = \dfrac{a}{4}\sqrt{4r^2 - a^2}$	po wstawieniu $h$ do wzoru wyżej
kąt przy wierzchołku	$\beta = 180^\circ - 2\alpha$	suma kątów trójkąta
kąt przy podstawie	$\alpha = \dfrac{180^\circ - \beta}{2}$	to samo przekształcone
promień okręgu opisanego	$R = \dfrac{r^2}{2h}$	ze wzoru $R = \dfrac{abc}{4P}$ dla boków $r, r, a$
promień okręgu wpisanego	$\varrho = \dfrac{a \cdot h}{2r + a}$	ze wzoru $P = \varrho \cdot p$ , gdzie $p$ to połowa obwodu

Trójkąt równoramienny — wzory: obwód Ob = 2r + a, wysokość h = pierwiastek z r² − a²/4, pole P = a · h / 2, kąt przy wierzchołku β = 180° − 2α, kąt przy podstawie α = (180° − β) / 2; przykład dla r = 13 i a = 10: obwód 36, wysokość 12, pole 60 — Wzory na obwód, wysokość, pole i kąty trójkąta równoramiennego

Dlaczego pod pierwiastkiem jest ćwiartka kwadratu podstawy

Wysokość dzieli podstawę na połowy — to konsekwencja symetrii. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $h$ i $\tfrac{a}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $r$ .

h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = r^2 \qquad\Rightarrow\qquad h = \sqrt{r^2 - \frac{a^2}{4}}

Stąd bierze się $\tfrac{a^2}{4}$ , a nie $a^2$ . Podstawienie całej podstawy zamiast jej połowy to najczęstszy błąd rachunkowy w tym temacie. Przy $r = 13$ i $a = 10$ daje $\sqrt{169 - 100} = \sqrt{69} \approx 8{,}3$ zamiast $12$ — liczba wygląda niewinnie, więc łatwo ją przepuścić. Dopiero gdy podstawa jest dłuższa od ramienia, ten sam błąd prowadzi do pierwiastka z liczby ujemnej i wtedy przynajmniej rzuca się w oczy.

Wysokość trójkąta równoramiennego z twierdzenia Pitagorasa: wysokość dzieli podstawę 10 na połowy po 5, w trójkącie prostokątnym h² + 5² = 13², więc h = pierwiastek z 169 − 25 = 12; częsty błąd to odejmowanie a² zamiast ćwiartki a² — Wysokość trójkąta równoramiennego: Pitagoras w połówce trójkąta

Oba promienie na jednym przykładzie liczbowym

Wzory na $R$ i $\varrho$ są w tabeli jedynymi, których nie widać w zadaniach niżej — więc policzmy je tu, na trójkącie o ramionach $r = 13$ cm i podstawie $a = 10$ cm. Wysokość i pole są już znane z przykładu 2.: $h = 12$ cm, $P = 60$ cm $^2$ .

R = \frac{r^2}{2h} = \frac{13^2}{2 \cdot 12} = \frac{169}{24}\ \text{cm}

\varrho = \frac{a \cdot h}{2r + a} = \frac{10 \cdot 12}{26 + 10} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}\ \text{cm}

Oba wyniki zostawiamy w postaci dokładnej, jako ułamki — $\tfrac{169}{24}$ i $\tfrac{10}{3}$ mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone, więc każdy zapis przecinkowy byłby przybliżeniem.

Kontrola drugą drogą: ogólny wzór $R = \tfrac{abc}{4P}$ dla boków $13, 13, 10$ daje $\tfrac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot 60} = \tfrac{1690}{240} = \tfrac{169}{24}$ ✓, a $\varrho = \tfrac{P}{p}$ , gdzie $p = \tfrac{36}{2} = 18$ , daje $\tfrac{60}{18} = \tfrac{10}{3}$ ✓.

Kontrola sensu: $\varrho \approx 3{,}3$ cm jest mniejsze od wysokości $12\ \text{cm}$ (okrąg wpisany mieści się w trójkącie), a $R \approx 7{,}0$ cm jest większe od połowy podstawy $5\ \text{cm}$ (okrąg opisany obejmuje wszystkie wierzchołki) ✓

Warunek istnienia. Trójkąt równoramienny powstanie tylko wtedy, gdy $a < 2r$ — podstawa musi być krótsza od sumy ramion. Widać to też we wzorze na wysokość: gdyby $a \geq 2r$ , wyrażenie pod pierwiastkiem byłoby ujemne albo zerowe.

Wzór na pole trójkąta jest tu tylko punktem wyjścia — jak wygląda on na tle pozostałych figur, pokazuje zestawienie wzorów na pola.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł~~35,10 zł~~−19,20 zł Cała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Dwa przypadki szczególne

Trójkąt równoramienny prostokątny ma kąt prosty między ramionami, więc jego kąty to $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ . To połowa kwadratu przeciętego wzdłuż przekątnej — i stąd wszystkie jego wzory:

podstawa jest przeciwprostokątną: $a = r\sqrt{2}$ ,
wysokość na podstawę to jej połowa: $h = \dfrac{a}{2}$ ,
pole liczy się wprost z ramion: $P = \dfrac{r^2}{2}$ .

Trójkąt równoboczny to przypadek $a = r$ . Wzór na wysokość daje wtedy znaną postać: $h = \sqrt{a^2 - \tfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\tfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ , a wzór na pole — $P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ . Szczegóły ma osobna strona o trójkącie równobocznym.

trójkąt	kąty	wysokość na podstawę	pole
dowolny równoramienny	$\alpha, \alpha, 180^\circ - 2\alpha$	$\sqrt{r^2 - \tfrac{a^2}{4}}$	$\tfrac{a h}{2}$
prostokątny równoramienny	$45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$	$\tfrac{a}{2}$	$\tfrac{r^2}{2}$
równoboczny	$60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$	$\tfrac{a\sqrt3}{2}$	$\tfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny

O rodzaju trójkąta równoramiennego decyduje kąt przy wierzchołku $\beta{}$ . Kąty przy podstawie są zawsze ostre — każdy jest mniejszy niż $90^\circ$ , bo dwa takie same kąty muszą zmieścić się w $180^\circ$ .

Rysunek 2. Ten sam trójkąt z różnym kątem przy wierzchołku. Gdy

\beta{} = 90^\circ

, kąty przy podstawie mają po

45^\circ

— to połowa kwadratu przeciętego po przekątnej.

4Pułapka: dany bok może być podstawą albo ramieniem

Zadanie brzmi: „obwód trójkąta równoramiennego wynosi $20\ \text{cm}$ , a jeden z jego boków ma $8\ \text{cm}$ — oblicz pozostałe boki”. Odpowiedzi są dwie, bo treść nie mówi, czy ósemka jest podstawą, czy ramieniem.

$\boldsymbol{8}$ to ramię: $8 + 8 + a = 20$ , więc $a = 4$ . Boki $8, 8, 4$ — warunek $4 < 16$ spełniony ✓
$\boldsymbol{8}$ to podstawa: $8 + 2r = 20$ , więc $r = 6$ . Boki $6, 6, 8$ — warunek $8 < 12$ spełniony ✓

Oba trójkąty istnieją, więc oba trzeba podać. Pominięcie jednego przypadku to najczęstsza utrata punktu w zadaniach o trójkącie równoramiennym.

Czasem jednak drugi przypadek odpada — i wtedy trzeba to pokazać rachunkiem, a nie przemilczeć. Gdyby obwód wynosił $20\ \text{cm}$ , a jeden bok $5\ \text{cm}$ , to przy piątce jako podstawie mielibyśmy $5 + 2r = 20$ , czyli $r = 7{,}5$ i boki $7{,}5;\ 7{,}5;\ 5$ — warunek $5 < 15$ spełniony, więc ten przypadek zostaje. Natomiast przy piątce jako ramieniu wyszłoby $a = 10$ i boki $5, 5, 10$ , gdzie $10 = 5 + 5$ — trójkąt nie powstanie, bo ramiona ułożyłyby się w odcinek.

Ta sama ostrożność dotyczy kątów: informacja „jeden z kątów ma $70^\circ$ ” też prowadzi do dwóch przypadków, bo $70^\circ$ może być kątem przy podstawie albo przy wierzchołku. Przy kącie rozwartym przypadek jest już jeden — kąt rozwarty w trójkącie równoramiennym może stać tylko przy wierzchołku, bo dwa rozwarte kąty przy podstawie dałyby sumę większą od $180^\circ$ .

5Przykłady krok po kroku

Pięć zadań: kąty, wysokość i pole, ramię z obwodu, dwa możliwe rozwiązania i trójkąt prostokątny równoramienny.

Przykład $1$ Kąty z jednego danego kąta

W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma $\textcolor{#16A06A}{40^\circ}$ . Oblicz kąty przy podstawie.

Suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$ , a kąty przy podstawie są równe.
Na oba kąty przy podstawie zostaje $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ .
Każdy z nich ma połowę tej wartości: $\alpha = \dfrac{140^\circ}{2} = \textcolor{#E0453A}{70^\circ}$ .
Kontrola sumą: $70^\circ + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ$ ✓
Kontrola sensu: kąt przy wierzchołku jest mniejszy od kątów przy podstawie, więc podstawa jest krótsza od ramion ✓ — zgadza się z tym, że naprzeciw mniejszego kąta leży krótszy bok.

Odpowiedź: Oba kąty przy podstawie mają po $70^\circ$ .

Kolejność działań jest tu istotna: najpierw odejmujemy kąt przy wierzchołku, potem dzielimy przez $2$ . Podzielenie od razu $180^\circ$ przez $2$ daje $\textcolor{#9b1c14}{90^\circ}$ i wynik bez sensu.

Przykład $2$ Wysokość i pole z ramienia i podstawy

Trójkąt równoramienny ma ramiona długości $\textcolor{#16A06A}{13}$ cm i podstawę $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm. Oblicz jego wysokość i pole.

Wysokość dzieli podstawę na połowy, więc powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej $\dfrac{10}{2} = 5$ cm i przeciwprostokątnej $13\ \text{cm}$ .
Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ .
$h = \textcolor{#E0453A}{12}$ cm.
Pole: $P = \dfrac{a \cdot h}{2} = \dfrac{10 \cdot 12}{2} = \textcolor{#E0453A}{60}$ cm $^2$ .
Kontrola wzorem z samych boków: $P = \dfrac{a}{4}\sqrt{4r^2 - a^2} = \dfrac{10}{4}\sqrt{676 - 100} = \dfrac{10}{4} \cdot 24 = 60$ cm $^2$ ✓ — druga droga daje to samo.
Kontrola sensu: wysokość musi być krótsza od ramienia, bo jest przyprostokątną, a ramię przeciwprostokątną. $12 < 13$ ✓

Odpowiedź: $h = 12$ cm, $P = 60$ cm $^2$ .

Do wzoru wchodzi połowa podstawy. Wstawienie całej dziesiątki dałoby $h^2 = 169 - 100 = 69$ i wynik $\textcolor{#9b1c14}{\sqrt{69}}$ , który nie ma nic wspólnego z tą figurą.

Przykład $3$ Ramię wyliczone z obwodu

Obwód trójkąta równoramiennego wynosi $\textcolor{#16A06A}{36}$ cm, a jego podstawa ma $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm. Oblicz długość ramienia oraz pole trójkąta.

Ze wzoru $Ob = 2r + a$ wyznaczam ramię: $r = \dfrac{Ob - a}{2}$ .
$r = \dfrac{36 - 10}{2} = \dfrac{26}{2} = \textcolor{#E0453A}{13}$ cm.
Wysokość jak w poprzednim zadaniu: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ cm.
Pole: $P = \dfrac{10 \cdot 12}{2} = \textcolor{#E0453A}{60}$ cm $^2$ .
Kontrola obwodu: $13 + 13 + 10 = 36$ ✓
Kontrola warunku istnienia: $a < 2r$ , czyli $10 < 26$ ✓

Odpowiedź: $r = 13$ cm, $P = 60$ cm $^2$ .

Od obwodu odejmujemy podstawę przed dzieleniem przez dwa. Podzielenie samego obwodu przez trzy dałoby $\textcolor{#9b1c14}{12}$ cm — to działa tylko dla trójkąta równobocznego.

Przykład $4$ Dwa możliwe rozwiązania

Obwód trójkąta równoramiennego wynosi $\textcolor{#16A06A}{20}$ cm, a jeden z jego boków ma $\textcolor{#16A06A}{8}$ cm. Wyznacz długości pozostałych boków.

Treść nie mówi, czy $8\ \text{cm}$ to podstawa, czy ramię — sprawdzam oba przypadki.
Przypadek I: $\boldsymbol{8\ \text{cm}}$ to ramię. Wtedy $8 + 8 + a = 20$ , więc $a = \textcolor{#E0453A}{4}$ cm. Boki: $8, 8, 4$ .
Sprawdzam warunek istnienia: podstawa musi być krótsza od sumy ramion, $4 < 16$ ✓
Przypadek II: $\boldsymbol{8\ \text{cm}}$ to podstawa. Wtedy $8 + 2r = 20$ , więc $r = \textcolor{#E0453A}{6}$ cm. Boki: $6, 6, 8$ .
Sprawdzam warunek istnienia: $8 < 12$ ✓
Oba trójkąty istnieją, więc odpowiedź zawiera dwa rozwiązania.
Kontrola obwodów: $8+8+4 = 20$ ✓ oraz $6+6+8 = 20$ ✓

Odpowiedź: Dwa rozwiązania: boki $\boldsymbol{8\ \text{cm}}$ , $\boldsymbol{8\ \text{cm}}$ , $\boldsymbol{4\ \text{cm}}$ albo $\boldsymbol{6\ \text{cm}}$ , $\boldsymbol{6\ \text{cm}}$ , $\boldsymbol{8\ \text{cm}}$ .

Sprawdzenie warunku istnienia nie jest ozdobnikiem. Gdyby dany bok wynosił $5\ \text{cm}$ , przypadek „ramię” dałby boki $5, 5, 10$ — a taki trójkąt nie powstaje, bo $5 + 5 = 10$ . Zostaje tylko przypadek „podstawa”: boki $7{,}5\ \text{cm}$ , $7{,}5\ \text{cm}$ i $5\ \text{cm}$ — odpowiedź jest wtedy jedna, ale trzeba to pokazać rachunkiem.

Przykład $5$ Trójkąt prostokątny równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami jest prosty, a podstawa ma $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm. Oblicz długość ramienia, wysokość na podstawę oraz pole.

Kąt między ramionami jest prosty, więc podstawa jest przeciwprostokątną, a ramiona — przyprostokątnymi. Kąty przy podstawie mają po $45^\circ$ .
Z twierdzenia Pitagorasa: $r^2 + r^2 = 10^2$ , czyli $2r^2 = 100$ i $r^2 = 50$ .
$r = \sqrt{50} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt{2}}$ cm.
Wysokość na przeciwprostokątną w takim trójkącie to jej połowa: $h = \dfrac{10}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}$ cm.
Pole z podstawy i wysokości: $P = \dfrac{10 \cdot 5}{2} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm $^2$ .
Kontrola drugim wzorem: $P = \dfrac{r^2}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$ cm $^2$ ✓ — dwie niezależne drogi dają ten sam wynik.
Kontrola sensu: ramię $5\sqrt{2}$ leży między $7$ a $7{,}1$ , czyli jest krótsze od podstawy $10$ ✓ — tak ma być, bo naprzeciw kąta prostego leży najdłuższy bok.

Odpowiedź: $r = 5\sqrt{2}$ cm, $h = 5$ cm, $P = 25$ cm $^2$ .

Ramię zostaje w postaci dokładnej $5\sqrt{2}$ . Liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna, więc każdy zapis dziesiętny byłby przybliżeniem — zaokrąglamy tylko wtedy, gdy polecenie wprost o to prosi.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą wzoru na wysokość i obwodu, trzeci pominiętego przypadku, dwa ostatnie — symetrii i postaci wyniku.

Wstawienie do wzoru na wysokość całej podstawy zamiast jej połowy.

Skąd się bierze: We wzorze Pitagorasa naturalnie chce się użyć liczb podanych w zadaniu, a podstawa jest podana w całości.

Jak zrobić dobrze: Wysokość dzieli podstawę na połowy, więc przyprostokątną jest $\tfrac{a}{2}$ . Dla $r = 13$ i $a = 10$ liczymy $h = \sqrt{169 - 25} = 12$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{\sqrt{69}}$ .

Dzielenie obwodu przez trzy przy szukaniu ramienia.

Skąd się bierze: Odruch przeniesiony z trójkąta równobocznego, w którym wszystkie boki są równe.

Jak zrobić dobrze: W równoramiennym najpierw odejmujemy podstawę: $r = \tfrac{Ob - a}{2}$ . Dla $Ob = 36$ i $a = 10$ daje to $13\ \text{cm}$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{12}$ cm.

Podanie tylko jednego rozwiązania, gdy dany bok może być podstawą albo ramieniem.

Skąd się bierze: Pierwszy przypadek, który przychodzi do głowy, daje sensowny wynik, więc wygląda na całą odpowiedź.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź oba przypadki i dla każdego warunek istnienia. Przy $Ob = 20$ i boku $8$ istnieją dwa trójkąty: $8, 8, 4$ oraz $6, 6, 8$ — podanie samego $\textcolor{#9b1c14}{8, 8, 4}$ to połowa odpowiedzi.

Uznanie, że trójkąt równoramienny ma trzy osie symetrii.

Skąd się bierze: Własność przeniesiona z trójkąta równobocznego, który jest przecież szczególnym przypadkiem równoramiennego.

Jak zrobić dobrze: Osi jest jedna — prosta zawierająca wysokość poprowadzoną na podstawę. Trzy osie ma dopiero równoboczny, a nie każdy równoramienny, więc odpowiedź $\textcolor{#9b1c14}{3}$ jest błędna dla trójkąta o bokach $8, 8, 4$ .

Zaokrąglanie ramienia albo wysokości bez polecenia.

Skąd się bierze: Wynik z pierwiastkiem wygląda na niedokończony, więc kusi, żeby go „doliczyć” kalkulatorem.

Jak zrobić dobrze: Postać dokładna jest odpowiedzią końcową: $r = 5\sqrt{2}$ cm, a nie $\textcolor{#9b1c14}{7{,}07}$ cm. Przybliżenie podajemy tylko na wyraźne polecenie i oznaczamy je znakiem $\approx$ .

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Trójkąty szczególne — kartkówka, klasa 8

Przekątna kwadratu, trójkąt równoboczny, trójkąt 30–60–90, odcinki w układzie.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Trójkąty i ich kąty — kartkówka, klasa 5

Trójkąty: suma kątów, rodzaje, warunek istnienia.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Trójkąty — kartkówka, klasa 6

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Trójkąty i czworokąty, klasy 4–6 — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki dla klas 4–6: rodzaje trójkątów, nierówność trójkąta, kąty i boki, własności czworokątów, obwody. Na końcu test…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

Karty pracy · sklep

Kąty w wielokątach, klasy 5–6 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klas 5–6: rodzaje kątów, kąty przyległe i wierzchołkowe, kąty w trójkącie i czworokątach, wielokąty foremne.…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Jaki trójkąt nazywamy równoramiennym?

Taki, który ma co najmniej dwa boki równej długości. Te dwa boki nazywamy ramionami, a trzeci podstawą. Ponieważ w definicji jest zwrot co najmniej, trójkąt równoboczny również jest równoramienny.

Jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego?

Wysokość poprowadzona na podstawę dzieli ją na połowy, więc korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla połówki trójkąta. Od kwadratu ramienia odejmujemy kwadrat połowy podstawy i z wyniku wyciągamy pierwiastek.

Ile osi symetrii ma trójkąt równoramienny?

Jedną — prostą zawierającą wysokość poprowadzoną na podstawę — o ile nie jest to trójkąt równoboczny. Równoboczny jest szczególnym przypadkiem równoramiennego i ma osie trzy, więc odpowiedź „dokładnie jedna” jest prawdziwa dla każdego trójkąta równoramiennego o dwóch, a nie trzech bokach równych.

Czy kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe?

Tak, i twierdzenie to działa również w drugą stronę. Jeżeli w jakimś trójkącie dwa kąty są równe, to boki leżące naprzeciw nich też są równe, więc trójkąt jest równoramienny.

Dlaczego zadanie o trójkącie równoramiennym miewa dwa rozwiązania?

Ponieważ podany bok albo kąt może pełnić dwie różne role — być podstawą albo ramieniem, kątem przy podstawie albo przy wierzchołku. Trzeba wtedy rozpatrzyć oba przypadki i dla każdego sprawdzić, czy taki trójkąt w ogóle istnieje.

Jak obliczyć pole trójkąta równoramiennego, znając tylko boki?

Można najpierw wyliczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa, a potem użyć zwykłego wzoru na pole trójkąta. Można też złożyć oba kroki w jeden wzór: pole równa się jednej czwartej podstawy pomnożonej przez pierwiastek z poczwórnego kwadratu ramienia pomniejszonego o kwadrat podstawy.

Czy trójkąt o kątach

45^\circ

45^\circ

90^\circ

jest równoramienny?

Tak. Ma dwa równe kąty (po $45^\circ$ ), więc boki leżące naprzeciw nich też są równe — to trójkąt prostokątny równoramienny. Jego podstawa jest przeciwprostokątną i ma długość $r\sqrt{2}$ .

Ile stopni mają kąty w trójkącie równoramiennym?

Dwa kąty przy podstawie są równe, a wszystkie trzy dają razem $180^\circ$ . Gdy kąt przy wierzchołku ma $\beta{}$ , każdy kąt przy podstawie ma $(180^\circ - \beta{}) : 2$ . Na przykład przy $\beta{} = 40^\circ$ kąty przy podstawie mają po $70^\circ$ .

Czy trójkąt równoramienny może być rozwartokątny?

Tak — gdy kąt przy wierzchołku jest większy niż $90^\circ$ , na przykład $120^\circ$ . Kąty przy podstawie mają wtedy po $30^\circ$ . Rozwarty może być tylko kąt przy wierzchołku, nigdy kąt przy podstawie.

Czytaj dalej

TrójkątRodzaje trójkątów, suma kątów i nierówność trójkąta — podstawa dla tej strony.Trójkąt równobocznySzczególny przypadek równoramiennego — trzy osie symetrii i jeden punkt szczególny.Wzory na pole trójkątaWszystkie sposoby liczenia pola, także dla trójkątów dowolnych.Twierdzenie PitagorasaNarzędzie, z którego wyprowadza się wzór na wysokość w tym trójkącie.Pole trójkąta równoramiennegoWzór i wysokość z Pitagorasa.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Trójkąt równoramienny

1Definicja, oznaczenia i jedna oś symetrii

2Komplet wzorów

3Dwa przypadki szczególne

Ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny

4Pułapka: dany bok może być podstawą albo ramieniem

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Trójkąty szczególne — kartkówka, klasa 8

Trójkąty i ich kąty — kartkówka, klasa 5

Trójkąty — kartkówka, klasa 6

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Trójkąty i czworokąty, klasy 4–6 — 10 kart pracy PDF z kluczem

Kąty w wielokątach, klasy 5–6 — 11 kart pracy PDF z kluczem

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku