Romb — własności, przekątne i kąty

Odpowiedź: A

1. Wysokość opuszczona z wierzchołka na przeciwległy bok odcina od rombu trójkąt prostokątny. Bok rombu jest w nim przeciwprostokątną, a wysokość — przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta ostrego.
2. Naprzeciw kąta stoi sinus:
3. $h = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$
4. Odpowiedź: A.
5. Kontrola sensem: wysokość musi być krótsza od boku, bo jest przyprostokątną w trójkącie, którego bok rombu jest przeciwprostokątną. Tutaj $3\sqrt3 \approx 5{,}20 < 6$ ✓. To od razu odrzuca odpowiedzi $C$ i $D$ — jedna większa od boku, druga mu równa.
6. Kontrola drugą drogą: rzut boku na podstawę wynosi $6\cos 60^\circ = 3$, a wtedy Pitagoras odtwarza bok: $\sqrt{3^2 + \left(3\sqrt3\right)^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ ✓.

💡 Wskazówka: Narysuj sobie ten jeden trójkąt prostokątny i zapytaj: czy szukany odcinek leży naprzeciw kąta, czy przy nim? Naprzeciw — sinus, przy — cosinus. To jedyna decyzja w tym zadaniu; reszta to mnożenie.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $3$ — z użycia cosinusa zamiast sinusa. Liczba $3$ naprawdę występuje w tym rombie, ale jest rzutem boku na podstawę, a nie wysokością. Odpowiedź $D$, czyli $6$, jest równa bokowi — a wysokość równa się bokowi tylko w kwadracie, czyli przy kącie prostym. Odpowiedź $C$ jest od boku dłuższa, co jest niemożliwe.

Odpowiedź: C

1. Policzmy to przez wysokość, czyli tak jak każdy równoległobok — to najkrótsza droga, gdy dane są bok i kąt.
2. $h = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$
3. $P = a \cdot h = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{8\sqrt3}$
4. Odpowiedź: C.
5. Kontrola drugą drogą, jednym wzorem: $P = a^2\sin\alpha = 16 \cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = 8\sqrt3$ ✓ — ten sam wynik. Oba wzory to ta sama rzecz: raz rozpisana na dwa kroki, raz na jeden.
6. Kontrola rzędem wielkości: $8\sqrt3 \approx 13{,}86$, czyli mniej niż $a^2 = 16$ ✓. Pole rombu równa się $a^2$ tylko wtedy, gdy romb jest kwadratem.

💡 Wskazówka: Masz do wyboru dwie drogi i obie są dobre: przez wysokość ($h = a\sin\alpha$, potem $P = ah$) albo od razu $P = a^2\sin\alpha$. Pierwsza jest wolniejsza, ale za to daje po drodze wysokość — a o nią też potrafią zapytać. Druga jest szybsza. Warto znać obie i sprawdzać jedną drugą.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $16$ — pominięcie sinusa, czyli potraktowanie rombu jak kwadratu. Odpowiedź $A$, czyli $16\sqrt3$, to $a^2\sqrt3$: zgubiona dwójka w mianowniku $\tfrac{\sqrt3}{2}$. Wynik jest wtedy większy od $a^2$, a to jest geometrycznie niemożliwe — romb o danym boku nigdy nie ma pola większego niż kwadrat o tym samym boku.

Odpowiedź: B

1. Podany jest kąt rozwarty, ale to nic nie zmienia: sinus kąta rozwartego równa się sinusowi jego dopełnienia do $180^\circ$, więc do wzoru można podstawić którykolwiek z dwóch kątów rombu.
2. $\sin \textcolor{#16A06A}{150^\circ} = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$
3. $h = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{3}$, a stąd $P = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{18}$.
4. Odpowiedź: B.
5. Kontrola rzędem wielkości: $a^2 = 36$, a kąt $150^\circ$ jest bardzo „płaski”, więc romb jest wąski i jego pole musi być znacznie mniejsze. Wyszła dokładnie połowa ✓. Odpowiedzi $C$ i $D$ są równe $a^2$ albo od niego większe, więc odpadają bez rachunku.
6. Zwróć uwagę, że wynik jest tu liczbą wymierną — bo $\sin 150^\circ = \tfrac12$. Dwie z pozostałych odpowiedzi zawierają $\sqrt2$, czyli są śladem kąta $45^\circ$ albo $135^\circ$; sama ich postać zdradza, że pochodzą z innego kąta.

💡 Wskazówka: Przy kącie rozwartym odejmij go od $180^\circ$ — nie od $90^\circ$ ani od $360^\circ$. I sprawdź na końcu, czy wynik nie przekracza $a^2$: pole rombu o boku $a$ nigdy nie jest większe od pola kwadratu o tym samym boku.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $36$ — pominięcie sinusa. Odpowiedzi $A$ i $C$ zawierają $\sqrt2$, którego w tym zadaniu nie ma skąd wziąć: pojawiłby się przy kącie $45^\circ$ lub $135^\circ$. Powstają z pomylenia $150^\circ$ ze $135^\circ$ (w odpowiedzi $C$ dodatkowo zgubiono dzielenie przez 2) albo z odruchowego sięgnięcia po najpopularniejszą wartość sinusa.

Odpowiedź: A

1. Podany jest cosinus, a do wzoru na pole wchodzi sinus. To jest cała trudność tego zadania — reszta jest jak w poprzednich.
2. Z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac{\sqrt3}{2}}\right)^2 = 1 - \tfrac34 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14}$.
3. Kąt jest ostry, więc jego sinus jest dodatni: $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$.
4. $P = a^2\sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{3}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac92}$
5. Odpowiedź: A.
6. Kontrola rozpoznaniem kąta: $\cos\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2}$ to cosinus kąta $30^\circ$, a $\sin 30^\circ = \tfrac12$ ✓ — zgadza się z rachunkiem z jedynki. Warto zrobić oba sprawdzenia, bo rozpoznanie kąta bywa szybsze, a jedynka działa także dla kątów nietypowych.
7. Kontrola rzędem wielkości: $\tfrac92 = 4{,}5$, czyli połowa z $a^2 = 9$ ✓. Kąt $30^\circ$ jest mały, więc romb jest wąski i pole powinno być wyraźnie mniejsze od $a^2$.
8. Zwróć uwagę na odpowiedź $C$: to dokładnie $a^2 \cdot \tfrac{\sqrt3}{2}$, czyli wynik dla kogoś, kto podstawił cosinus w miejsce sinusa. Liczba $\tfrac{\sqrt3}{2}$ jest w treści, więc kusi, żeby użyć jej wprost.

💡 Wskazówka: Gdy dany jest cosinus, a potrzebny sinus, użyj jedynki trygonometrycznej — i pamiętaj o wyborze znaku: dla kąta ostrego sinus jest dodatni. Możesz też rozpoznać kąt po wartości cosinusa, jeśli jest typowa; obie drogi warto zrobić i porównać.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $\tfrac{9\sqrt3}{2}$ — podstawienie cosinusa zamiast sinusa. To najczęstszy błąd w tym zadaniu, bo podana liczba jest gotowa do użycia. Wynik jest wtedy około $7{,}79$, czyli bliski $a^2 = 9$ — a to znaczyłoby romb prawie kwadratowy, mimo że kąt wynosi tylko $30^\circ$. Odpowiedź $B$ to połowa odpowiedzi $C$, czyli ten sam błąd plus niepotrzebne dzielenie przez $2$.