Trójkąt prostokątny

Odpowiedź: D

1. Do pola potrzebne są obie przyprostokątne. Jedna jest dana, drugą trzeba wydobyć z tangensa — i to właśnie tangens jest tu właściwą funkcją, bo wiąże obie przyprostokątne ze sobą.
2. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{|BC|}{|AC|}$, więc $\textcolor{#16A06A}{\tfrac{2}{5}} = \dfrac{|BC|}{\textcolor{#16A06A}{8}}$, skąd $|BC| = \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{\tfrac{2}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{16}{5}}$.
3. $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{16}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{64}{5}}$
4. Odpowiedź: D.
5. Kontrola rzędem wielkości: $\tfrac{64}{5} = 12{,}8$, a $|BC| = 3{,}2$. Tangens wynosi $\tfrac25$, czyli mniej niż $1$, więc $BC$ musi być krótsze od $AC$ ✓ — i rzeczywiście $3{,}2 < 8$.
6. Kontrola kierunkiem, zanim cokolwiek policzysz: gdyby ktoś pomylił tangens z jego odwrotnością, dostałby $|BC| = 20$ i pole $80$ — liczbę spoza zakresu odpowiedzi. Sama lista odpowiedzi (wszystkie w okolicach $12$) potwierdza, że $BC$ ma być krótsze od $AC$.

💡 Wskazówka: Przy trójkącie prostokątnym z jedną daną przyprostokątną i kątem sięgaj po tangens — sinus i cosinus prowadzą przez przeciwprostokątną, czyli okrężną drogą. I sprawdź kierunek: tangens mniejszy od jedynki znaczy, że bok naprzeciw kąta jest krótszy od tego przy kącie.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $\tfrac{62}{5} = 12{,}4$ — liczba bardzo bliska poprawnej, wstawiona po to, żeby wyłapać drobny błąd rachunkowy. Warto policzyć dokładnie, a nie „na oko”: $\tfrac12 \cdot 8 \cdot 3{,}2$ to $12{,}8$, a nie $12{,}4$. Odpowiedź $A$, czyli $12$, powstaje z przybliżenia $|BC| \approx 3$. Wszystkie trzy dystraktory leżą blisko siebie właśnie dlatego, że w tym zadaniu nie ma pułapki pojęciowej — jest tylko wymóg dokładności.

Odpowiedź: C

1. Ten sam schemat co w poprzednim zadaniu, tylko kąt podano w stopniach zamiast tangensem.
2. $\operatorname{tg} \textcolor{#16A06A}{30^\circ} = \dfrac{|BC|}{\textcolor{#16A06A}{4}}$, a $\operatorname{tg} 30^\circ = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3}{3}}$, więc $|BC| = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4\sqrt3}{3}}$.
3. $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4\sqrt3}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{8\sqrt3}{3}}$
4. Odpowiedź: C.
5. Kontrola rzędem wielkości: $\tfrac{8\sqrt3}{3} \approx 4{,}62$, a $|BC| \approx 2{,}31$. Kąt $30^\circ$ jest mały, więc bok naprzeciw niego musi być wyraźnie krótszy od drugiej przyprostokątnej ✓.
6. Zwróć uwagę na dwie odpowiedzi zapisane z szóstką w mianowniku: $\tfrac{32\sqrt3}{6}$ i $\tfrac{20\sqrt3}{6}$. Pierwsza po skróceniu to $\tfrac{16\sqrt3}{3}$, czyli dwa razy poprawna. Zapis z niesk​róconym mianownikiem utrudnia porównanie — warto każdą odpowiedź najpierw uprościć.

💡 Wskazówka: Uprość wszystkie odpowiedzi do wspólnej postaci, zanim zaczniesz porównywać — $\tfrac{32\sqrt3}{6}$ i $\tfrac{16\sqrt3}{3}$ to ta sama liczba, a wyglądają zupełnie inaczej. Potem sprawdź, czy twój wynik nie jest przypadkiem dwa razy większy albo mniejszy od któregoś z pozostałych: to najczęstszy rozstaw dystraktorów.

⚠ Odpowiedź $A$ (czyli $\tfrac{16\sqrt3}{3}$) — z pominięcia połowy we wzorze na pole, więc wynik jest dwa razy za duży. Odpowiedź $D$, czyli $\tfrac{4\sqrt3}{3}$, to długość drugiej przyprostokątnej, a nie pole: wielkość policzona po drodze i podana zamiast wyniku. Odpowiedź $B$ nie wychodzi z żadnego naturalnego rachunku.

Odpowiedź: B

1. Punkt przecięcia dwusiecznych to środek okręgu wpisanego — bo dwusieczna kąta składa się dokładnie z punktów jednakowo odległych od obu jego ramion. Szukana odległość jest więc promieniem okręgu wpisanego, i to samo wyszłoby dla każdego z trzech boków.
2. W trójkącie prostokątnym promień ten ma szczególnie prosty wzór:
3. $r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{24} + \textcolor{#16A06A}{10} - \textcolor{#16A06A}{26}}{2} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{2} = \textcolor{#E0453A}{4}$
4. Odpowiedź: B.
5. Kontrola drugą drogą, wzorem działającym w każdym trójkącie: $r = \tfrac{P}{s}$, gdzie $P$ to pole, a $s$ połowa obwodu. Pole: $\tfrac12 \cdot 24 \cdot 10 = 120$. Połowa obwodu: $\tfrac{24+10+26}{2} = 30$. Stąd $r = \tfrac{120}{30} = 4$ ✓ — ten sam wynik zupełnie innym rachunkiem.
6. Kontrola założenia: trójkąt naprawdę jest prostokątny, bo $24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676 = 26^2$ ✓. Bez tego wzór $r = \tfrac{a+b-c}{2}$ nie miałby zastosowania.
7. Kontrola sensem: okrąg wpisany musi się zmieścić w trójkącie, więc jego promień jest mniejszy od połowy najkrótszego boku, czyli od $5$. Wynik $4$ ten warunek spełnia ✓.

💡 Wskazówka: Rozpoznaj, czym jest punkt przecięcia dwusiecznych — to środek okręgu wpisanego, a jego odległość od każdego boku jest ta sama. Pytanie o odległość od przeciwprostokątnej jest więc pytaniem o promień, i nie ma znaczenia, o który bok pytano. Potem albo wzór $\tfrac{a+b-c}{2}$, albo ogólne $\tfrac{P}{s}$.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $2$ — z podzielenia $a+b-c$ przez cztery zamiast przez dwa, albo z pomylenia promienia ze średnicą w drugą stronę. Odpowiedź $D$, czyli $\tfrac{13}{3}$, jest bliska poprawnej ($\approx 4{,}33$) i wyłapuje rachunek prowadzony przez przybliżenia. Częstszy jest jednak inny błąd: liczenie odległości od przeciwprostokątnej jako wysokości trójkąta, czyli $\tfrac{24 \cdot 10}{26} \approx 9{,}23$ — to jednak odległość wierzchołka $C$, a nie punktu $P$.

Odpowiedź: D

1. Obie małe figury są podobne do trójkąta $ABC$. Trójkąt $AFD$ ma kąt prosty przy $F$ i wspólny kąt przy $A$ z trójkątem $ACB$, który ma kąt prosty przy $C$ — a dwa równe kąty wystarczą.
2. Skala tego podobieństwa to stosunek boków odpowiadających sobie: przeciwprostokątną w $AFD$ jest $AD$, a w $ACB$ — $AB$. Ponieważ $D$ jest środkiem $AC$, mamy $|AD| = \tfrac{|AC|}{2}$, więc skala wynosi $\dfrac{|AC|}{2|AB|}$.
3. Pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali:
4. $\dfrac{P_{AFD}}{P_{ABC}} = \left(\dfrac{|AC|}{2|AB|}\right)^2 = \dfrac{|AC|^2}{4|AB|^2}$
5. Tak samo dla drugiego trójkąta: $\dfrac{P_{BGE}}{P_{ABC}} = \dfrac{|BC|^2}{4|AB|^2}$.
6. I teraz rzecz, dla której to zadanie w ogóle powstało — dodajemy obie równości:
7. $\dfrac{P_{AFD} + P_{BGE}}{P_{ABC}} = \dfrac{|AC|^2 + |BC|^2}{4|AB|^2} = \dfrac{|AB|^2}{4|AB|^2} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14}$
8. W liczniku pojawiło się $|AC|^2 + |BC|^2$, a to z twierdzenia Pitagorasa równa się $|AB|^2$ — i wszystko się skraca. Zostaje:
9. $P_{ABC} = 4 \cdot \left(\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{1}\right) = \textcolor{#E0453A}{20}$
10. Odpowiedź: D.
11. Kontrola liczbowa: przy polu $20$ suma pól obu małych trójkątów wynosi $5$, czyli dokładnie czwartą część ✓. Zauważ, że nie trzeba było wyznaczać żadnej długości — ani boków, ani wysokości. Wszystkie się skróciły.
12. Kontrola sensem: oba małe trójkąty leżą wewnątrz dużego i nie nakładają się, więc pole $ABC$ musi przekraczać $4 + 1 = 5$ ✓. Zostaje jeszcze obszar pięciokąta $CDFGE$ pośrodku — i to on stanowi pozostałe trzy czwarte.

💡 Wskazówka: Nie szukaj długości. Zapisz stosunki pól przez kwadraty skal, a potem je dodaj — w liczniku pojawi się suma kwadratów przyprostokątnych, którą Pitagoras zamienia na kwadrat przeciwprostokątnej. To jest ten typ zadania, w którym liczenie boków tylko wydłuża drogę: dają się wyznaczyć, ale w rachunku na polach i tak się skracają.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $16$ — z potraktowania samego trójkąta $AFD$: skoro jego pole to czwarta część, to całość ma $4 \cdot 4 = 16$. Ale $\tfrac14$ to udział sumy obu małych trójkątów, a nie każdego z osobna; udziały poszczególnych zależą od kształtu trójkąta i nie są równe. Drugi typowy błąd to pomnożenie przez skalę zamiast przez jej kwadrat, albo liczenie boków — te dają się wyznaczyć, ale w rachunku na polach się skracają, więc to droga dłuższa niż potrzeba.