Strona główna › Geometria › Rodzaje kątów — od ostrego do pełnego

Rodzaje kątów — od ostrego do pełnego

Kąt ostry, prosty i rozwarty zna każdy uczeń. Kąt wklęsły, półpełny i pełny — już nie, choć to właśnie one dopełniają obraz. Ta strona pokazuje wszystkie siedem rodzajów jako jeden podział bez luk, obejmujący cały zakres od 0∘0^\circ do 360∘360^\circ, oraz drugi podział — na kąty wypukłe i wklęsłe — który biegnie w poprzek pierwszego.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–6Zadań egzaminacyjnych: 10

Przejdź od razu do zadań (10) ↓

1Czym jest kąt i jak go mierzymy

Karta pracy do wydruku

Rodzaje kątów — 20 zadań, PDF na 2 strony

Dwadzieścia miar kąta do nazwania, z naciskiem na granice: 90∘90^\circ, 180∘180^\circ i 360∘360^\circ mają własne nazwy i to tam najczęściej pojawia się błąd. Druga strona to klucz.

Kąt tworzą dwie półproste o wspólnym początku i jedna z dwóch części płaszczyzny, na które te półproste ją dzielą. Ten wspólny początek nazywamy wierzchołkiem, a same półproste — ramionami.

To, że ramiona są półprostymi, a nie odcinkami, ma konkretną konsekwencję: ramion nie da się „wydłużyć” ani „skrócić”, bo i tak biegną bez końca. Mierzymy więc nie ich długość, lecz rozwarcie między nimi.

Jednostką miary kąta jest stopień, oznaczany małym kółkiem: 45∘45^\circ. Mierzymy kątomierzem, w szkole z dokładnością do 1∘1^\circ.

Skąd akurat 360 stopni

Pełny obrót podzielono na 360360 części już w starożytnej Mezopotamii, gdzie liczono w systemie sześćdziesiątkowym.

Liczba 360360 jest wyjątkowo wygodna, bo dzieli się przez bardzo wiele liczb: 22, 33, 44, 55, 66, 88, 99, 1010, 1212, 1515, 1818, 2020, 2424, 3030, 3636, 4040, 4545, 6060, 7272, 9090, 120120 i 180180. Dzięki temu połowa, jedna trzecia czy jedna dziesiąta obrotu wypadają na okrągłych liczbach.

Ten sam system sześćdziesiątkowy odziedziczyliśmy w jednostkach czasu — godzina ma 6060 minut z dokładnie tego samego powodu.

Rysując kąt, zaznaczamy go łukiem między ramionami. Kąt prosty zaznacza się inaczej — łukiem z kropką, tak jak w arkuszach egzaminacyjnych.

2Siedem rodzajów — cały zakres bez luk

Nazwy kątów nie są przypadkową listą. Razem pokrywają cały zakres miar od 0∘\boldsymbol{0^\circ} do 360∘\boldsymbol{360^\circ} i nie zostawiają ani jednej luki.

rodzajmiarajak wygląda
zerowy0∘0^\circramiona się pokrywają
ostrywiększa od 0∘0^\circ, mniejsza od 90∘90^\circwąski, „szpiczasty”
prostydokładnie 90∘90^\circnarożnik kartki
rozwartywiększa od 90∘90^\circ, mniejsza od 180∘180^\circszeroki, ale jeszcze nie płaski
półpełnydokładnie 180∘180^\circramiona tworzą prostą
wklęsływiększa od 180∘180^\circ, mniejsza od 360∘360^\circ„wgnieciony”, obejmuje więcej niż pół obrotu
pełnydokładnie 360∘360^\circpełny obrót, ramiona znów się pokrywają

Warto przeczytać tę tabelę jak oś liczbową: cztery rodzaje to konkretne wartości (0∘0^\circ, 90∘90^\circ, 180∘180^\circ i 360∘360^\circ), a pozostałe trzy to przedziały między nimi. Nic nie zostaje pominięte i nic się nie nakłada.

Co obowiązuje w szkole podstawowej

W roku szkolnym 2026/2027 obowiązują dwie podstawy programowe naraz, bo nowa wchodzi rocznikami.

Klasa 4 (od 2026/2027, potem kolejne roczniki) — nowa podstawa (rozporządzenie z 11 marca 2026 r.), dział „Figury” dla klas IV–VI, pkt 2: „rozpoznaje, nazywa i rysuje kąty, rozróżnia kąt ostry, prosty, rozwarty, półpełny, pełny, wklęsły i wypukły, wskazuje wierzchołek i ramiona kąta”. Z siedmiu nazw z tej strony wymaga więc sześciu — wszystkich poza kątem zerowym — i do tego podziału na wypukłe i wklęsłe. Kątomierzem mierzy się kąty mniejsze niż 180∘180^\circ z dokładnością do 1∘1^\circ (dział „Miary”, pkt 3).

Klasy 5–8 w roku 2026/2027 — jeszcze podstawa z 2017 r., dział VIII „Kąty” (sześć punktów): z nazwy wymienia tylko trzy rodzaje — punkt 4 brzmi „rozpoznaje kąt prosty, ostry i rozwarty”. Pozostałe punkty to wskazywanie ramion i wierzchołka, mierzenie i rysowanie kątów mniejszych niż 180∘180^\circ, porównywanie kątów oraz kąty wierzchołkowe i przyległe. Półpełny, pełny i wklęsły są tam materiałem dodatkowym, choć wracają w podręcznikach i zadaniach o obrotach i zegarze.

Kąta zerowego nie wymaga żadna z tych podstaw — opisuję go, bo bez niego podział nie pokrywałby całego zakresu. Sprawdzian z rodzajów kątów, mierzenia i innych figur dla klasy 4 i 5: figury geometryczne — sprawdzian z rysunkami.

Dobra kontrola pamięci: kąt półpełny to połowa pełnego (180∘180^\circ to połowa 360∘360^\circ), a kąt prosty to połowa półpełnego (90∘90^\circ to połowa 180∘180^\circ). Trzy najważniejsze miary układają się w ciąg dzielony na pół.

Rodzaje kątów są pierwszym krokiem — dalej idą trójkąty, czworokąty i okrąg, ułożone po kolei w dziale o figurach płaskich.

3Wypukły i wklęsły — drugi, niezależny podział

Tu jest miejsce, w którym uczniowie się gubią, bo „wypukły” nie jest kolejnym rodzajem po rozwartym. To podział z zupełnie innej listy.

podział pierwszypodział drugi
zerowy, ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły, pełnywypukły albo wklęsły
dzieli zakres na siedem częścidzieli kąty mniejsze od 360∘360^\circ na dwie części, granicą jest 180∘180^\circ
odpowiada na pytanie „jak duży”odpowiada na pytanie „mniejszy czy większy od półpełnego”

Kąt wypukły ma miarę nie większą niż 180∘\boldsymbol{180^\circ}. Wypukłe są więc kąty zerowe, ostre, proste, rozwarte i półpełne — wszystkie naraz.

Kąt wklęsły ma miarę większą niż 180∘\boldsymbol{180^\circ} i mniejszą niż 360∘\boldsymbol{360^\circ} — tak samo jak w pierwszej tabeli. Kąt pełny stoi więc poza tym podziałem: ma dokładnie 360∘360^\circ, więc nie jest ani wypukły, ani wklęsły; jego ramiona znów się pokrywają, tak jak przy kącie zerowym. I uwaga na pułapkę językową: „wklęsły” występuje w obu podziałach i znaczy w nich to samo. To jedyne słowo, które się powtarza.

Dlaczego to nie jest jedna lista

Kąt 120∘120^\circ jest rozwarty i jednocześnie wypukły — to nie sprzeczność, tylko dwie różne odpowiedzi na dwa różne pytania.

Nie istnieje natomiast kąt „ostry wklęsły”, bo ostry znaczy mniejszy od 90∘90^\circ, a wklęsły — większy od 180∘180^\circ.

Zapamiętaj: pierwszy podział mówi jak duży, drugi — po której stronie 180∘\boldsymbol{180^\circ}.

Nazwa bierze się z wyglądu figury: w wielokącie wypukłym wszystkie kąty wewnętrzne są wypukłe i figura nigdzie nie jest „wgnieciona”. Wystarczy jeden kąt wklęsły, żeby wielokąt też nazwać wklęsłym.

4Jak zmierzyć kąt większy od 180°

Zwykły kątomierz ma skalę tylko do 180∘180^\circ — kąta wklęsłego nie da się nim zmierzyć wprost. Jest jednak prosty sposób.

  1. zmierz kąt wypukły po drugiej stronie tych samych ramion,
  2. odejmij wynik od 360∘360^\circ.
kąt wklęsły=360°−kąt wypukły\text{kąt wklęsły} = 360° - \textcolor{#16A06A}{\text{kąt wypukły}}

Dla kąta wypukłego 130∘130^\circ wklęsły wynosi 360∘−130∘=230∘360^\circ - 130^\circ = 230^\circ. Sprawdzenie jest natychmiastowe: 130∘+230∘=360∘130^\circ + 230^\circ = 360^\circ, czyli razem dają pełny obrót ✓

Te same dwa ramiona wyznaczają zawsze dwa kąty, których miary sumują się do 360∘\boldsymbol{360^\circ}. Zwykle jeden z nich jest wypukły, a drugi wklęsły — i wtedy trzeba sprawdzić, o który z nich pytano. Dwa przypadki graniczne wyglądają inaczej: gdy ramiona układają się w prostą, oba kąty są półpełne (po 180∘180^\circ), a gdy się pokrywają — jeden jest zerowy, drugi pełny. Suma 360∘360^\circ zachodzi za każdym razem.

Najlepszy przykład: wskazówki zegara

O godzinie 7:007{:}00 wskazówki tworzą kąt wypukły 150∘\boldsymbol{150^\circ} i jednocześnie kąt wklęsły 210∘\boldsymbol{210^\circ}. Suma: 360∘360^\circ ✓

Zwykle mówimy o tym mniejszym — i tak też trzeba odpowiadać, gdy zadanie nie precyzuje. Ale gdy pyta o „kąt, przez który przeszła wskazówka”, chodzi już o konkretny, nie zawsze mniejszy.

Przydatne liczby do zadań o zegarze: wskazówka minutowa pokonuje 6∘6^\circ na minutę (360∘:60)(360^\circ : 60), a godzinowa 30∘30^\circ na godzinę (360∘:12)(360^\circ : 12), czyli 0,5∘0{,}5^\circ na minutę.

5Gdzie te kąty spotkasz

Poszczególne rodzaje kątów nie są ciekawostką — każdy ma swoje typowe miejsce.

Zwróć uwagę na dwa środkowe punkty: suma kątów trójkąta to kąt półpełny, a suma kątów czworokąta to kąt pełny. To nie przypadek — czworokąt da się przeciąć przekątną na dwa trójkąty, więc 180∘+180∘=360∘180^\circ + 180^\circ = 360^\circ.

Kąty powstające przy przecięciu prostych — wierzchołkowe, przyległe, odpowiadające i naprzemianległe — to osobny temat, który opisuję przy kątach między prostymi.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: klasyfikacja, kąt wklęsły z dopełnienia i zadanie o zegarze.

Przykład 11 Klasyfikacja kątów

Określ rodzaj każdego z kątów: 45∘45^\circ, 90∘90^\circ, 120∘120^\circ, 180∘180^\circ, 250∘250^\circ, 360∘360^\circ. Podaj też, które z nich są wypukłe.

  1. 45∘\boldsymbol{45^\circ} — mniejszy od 90∘90^\circ, więc ostry. Wypukły, bo nie przekracza 180∘180^\circ.
  2. 90∘\boldsymbol{90^\circ} — dokładnie tyle, więc prosty. Też wypukły.
  3. 120∘\boldsymbol{120^\circ} — między 90∘90^\circ a 180∘180^\circ, więc rozwarty. Nadal wypukły.
  4. 180∘\boldsymbol{180^\circ} — dokładnie tyle, więc półpełny. To graniczny przypadek kąta wypukłego.
  5. 250∘\boldsymbol{250^\circ} — między 180∘180^\circ a 360∘360^\circ, więc wklęsły. Wypukły już nie jest.
  6. 360∘\boldsymbol{360^\circ} — pełny obrót, czyli kąt pełny.
  7. Kontrola: pierwsze cztery są wypukłe, dwa ostatnie nie — granica przebiega dokładnie przy 180∘180^\circ ✓

Odpowiedź: Kolejno: ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły, pełny. Wypukłe są cztery pierwsze.

Zwróć uwagę, że każdy kąt dostaje dwie odpowiedzi: jedną z pierwszego podziału i jedną z drugiego. To nie jest podwójna klasyfikacja przez pomyłkę — pytania są różne.

Przykład 22 Kąt wklęsły z dopełnienia

Dwa ramiona wyznaczają kąt wypukły o mierze 130∘130^\circ. Ile ma kąt wklęsły o tych samych ramionach?

  1. Te same dwa ramiona wyznaczają zawsze dwa kąty: wypukły i wklęsły.
  2. Razem obejmują pełny obrót, więc ich suma wynosi 360∘360^\circ.
  3. Stąd kąt wklęsły to 360∘−130∘360^\circ - 130^\circ.
  4. 360∘−130∘=230∘360^\circ - 130^\circ = 230^\circ.
  5. Kontrola: 130∘+230∘=360∘130^\circ + 230^\circ = 360^\circ ✓
  6. Kontrola rodzaju: 230∘230^\circ mieści się między 180∘180^\circ a 360∘360^\circ, więc rzeczywiście jest to kąt wklęsły ✓

Odpowiedź: 230∘\boldsymbol{230^\circ}

Ten rachunek jest najprostszym sposobem zmierzenia kąta wklęsłego zwykłym kątomierzem, który ma skalę tylko do 180∘180^\circ: mierzymy to, co się da, i odejmujemy od pełnego obrotu. Da się też inaczej — rozciąć kąt wklęsły półprostą wychodzącą z wierzchołka na dwa kąty mniejsze od 180∘180^\circ, zmierzyć każdy osobno i dodać. Wynik wychodzi ten sam, tylko pomiarów są dwa zamiast jednego.

Przykład 33 Kąt między wskazówkami zegara

Jaki kąt tworzą wskazówki zegara o godzinie 7:007{:}00? Podaj obie możliwe odpowiedzi.

  1. Tarcza to pełny obrót, czyli 360∘360^\circ, podzielony na 1212 godzin.
  2. Jedna godzina odpowiada więc 360∘:12=30∘360^\circ : 12 = 30^\circ.
  3. O 7:007{:}00 wskazówka minutowa wskazuje godzinę dwunastą, a godzinowa siódmą — dzieli je pięć godzin, licząc krótszą drogą.
  4. Kąt wypukły: 5⋅30∘=150∘5 \cdot 30^\circ = 150^\circ.
  5. Kąt wklęsły po drugiej stronie: 360∘−150∘=210∘360^\circ - 150^\circ = 210^\circ.
  6. Kontrola: 150∘+210∘=360∘150^\circ + 210^\circ = 360^\circ ✓ oraz 150∘<180∘<210∘150^\circ < 180^\circ < 210^\circ, więc pierwszy jest wypukły, drugi wklęsły ✓
  7. Kontrola drogą dłuższą: od siódemki do dwunastki „przez dół” jest siedem godzin, czyli 7⋅30∘=210∘7 \cdot 30^\circ = 210^\circ ✓ — zgadza się z kątem wklęsłym.

Odpowiedź: Kąt wypukły 150∘\boldsymbol{150^\circ}, kąt wklęsły 210∘\boldsymbol{210^\circ}.

Gdy zadanie nie precyzuje, podajemy mniejszy kąt. Ostatnia kontrola jest warta uwagi: liczenie godzin w drugą stronę daje od razu kąt wklęsły, bez odejmowania.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy mylenia dwóch podziałów.

Traktowanie „wypukłego” jako kolejnego rodzaju po rozwartym

Skąd się bierze: Uczeń układa jedną listę: ostry, prosty, rozwarty, wypukły, wklęsły — i szuka kąta, który byłby wypukły, ale nie rozwarty. Tymczasem wypukłe są wszystkie kąty do 180∘\boldsymbol{180^\circ}, więc ostry i rozwarty też.

Jak zrobić dobrze: Trzymaj dwie listy osobno. Pierwsza mówi jak duży jest kąt, druga — po której stronie 180∘\boldsymbol{180^\circ} leży. Każdy kąt dostaje jedną odpowiedź z każdej listy.

Podanie kąta wypukłego, gdy pytano o wklęsły

Skąd się bierze: Te same ramiona wyznaczają dwa kąty sumujące się do 360∘360^\circ, a kątomierz pokazuje tylko ten mniejszy. Uczeń odczytuje 130∘130^\circ i zapisuje jako odpowiedź, choć zadanie prosiło o kąt wklęsły, czyli 230∘230^\circ.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, o który kąt chodzi, zanim zmierzysz. Jeśli o wklęsły — zmierz wypukły i odejmij od 360∘360^\circ. Kontrola: kąt wklęsły zawsze wychodzi większy od 180∘180^\circ.

Mylenie kąta półpełnego z pełnym

Skąd się bierze: Nazwy brzmią podobnie, a różnią się dwukrotnie: półpełny to 180∘180^\circ, pełny to 360∘360^\circ. Podstawienie jednego zamiast drugiego psuje każdy rachunek o kątach wokół punktu albo o sumie kątów czworokąta.

Jak zrobić dobrze: Czytaj nazwę dosłownie: półpełny to połowa pełnego. Skojarz z figurami: półpełny to suma kątów trójkąta, pełny — czworokąta.

Mierzenie ramion zamiast rozwarcia

Skąd się bierze: Uczeń przykłada linijkę do ramion i porównuje ich długość. Ale ramiona to półproste — biegną bez końca, a na rysunku są ucięte przypadkowo. Kąt narysowany krótszymi ramionami nie jest mniejszy.

Jak zrobić dobrze: Mierz kątomierzem rozwarcie między ramionami, a nie ich długość. Dwa kąty o tej samej mierze mogą mieć ramiona narysowane zupełnie różnej długości.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — kąty w figurach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co się z czym sumuje: zielone to kąty, które już znamy albo które są sobie równe (np. przy podstawie trójkąta równoramiennego), a czerwona to suma docelowa — 180∘180^\circ w trójkącie, 360∘360^\circ w czworokącie, 180∘180^\circ dla kątów przyległych. Prawie każde zadanie o kątach to jedno z tych trzech równań.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc test obejmuje je wszystkie, w losowej kolejności.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Trójkąty ABCABC i ABDABD są równoramienne i mają wspólny bok ABAB.
• W trójkącie ABCABC kąt między ramionami (przy wierzchołku CC) ma miarę 80∘\boldsymbol{80^\circ}.
• W trójkącie ABDABD kąt między ramionami (przy wierzchołku BB) ma miarę 40∘\boldsymbol{40^\circ}, przy czym BA=BDBA = BD.
Punkt SS jest punktem przecięcia odcinków ACAC i BDBD. Uzupełnij zdania.
Trójkąty równoramienne ABC (podstawa AB) i ABD (ramiona BA i BD)80°ABCD
Kąt ASBASB jest AB.
  • A. ostry
  • B. prosty
Miara kąta DACDAC jest równa CD.
  • C. 20∘20^\circ
  • D. 40∘40^\circ
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Trójkąt ABCABC. Ramiona CA=CBCA = CB, kąt przy CC to 80°\textcolor{#16A06A}{80°}. Kąty przy podstawie są równe: (180°−80°):2=50°(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{80°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{50°}.
  2. Zatem ∠CAB=∠CBA=50°\angle CAB = \angle CBA = \textcolor{#16A06A}{50°}.
  3. Trójkąt ABDABD. Ramiona BA=BDBA = BD, kąt przy BB to 40°\textcolor{#16A06A}{40°}. Kąty przy podstawie ADAD: (180°−40°):2=70°(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}.
  4. Zatem ∠DAB=70°\angle DAB = \textcolor{#16A06A}{70°}.
  5. Pierwsze zdanie. W trójkącie ABSABS: kąt przy AA to ∠SAB=∠CAB=50°\angle SAB = \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{50°}, kąt przy BB to ∠ABS=∠ABD=40°\angle ABS = \angle ABD = \textcolor{#16A06A}{40°}.
  6. ∠ASB=180°−50°−40°=90°\angle ASB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°} - \textcolor{#16A06A}{40°} = 90° — to kąt prosty, odpowiedź B.
  7. Drugie zdanie. Kąt DACDAC to różnica dwóch kątów przy wierzchołku AA: ∠DAC=∠DAB−∠CAB=70°−50°=20°\angle DAC = \angle DAB - \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{70°} - \textcolor{#16A06A}{50°} = 20° — odpowiedź C.
  8. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie liczysz zawsze tak samo: (180°−kąt przy wierzchołku):2(180° - \text{kąt przy wierzchołku}) : 2. Warto od razu wypisać wszystkie kąty obu trójkątów — dalej to już samo odejmowanie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że kąt między ramionami zawsze leży „na górze” figury. W trójkącie ABDABD jest on przy wierzchołku BB, a nie przy DD — trzeba czytać, które boki są ramionami.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Dane są proste aa, bb, cc, dd, ee. Proste aa, bb, cc są wzajemnie równoległe (poziome). Proste dd i ee są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie AA leżącym na prostej bb. Prosta dd przecina prostą aa, tworząc z nią kąt 142∘\boldsymbol{142^\circ} (kąt po prawej stronie prostej dd, nad prostą aa). Kąt α\alpha to kąt między prostą bb (na lewo od AA) a prostą ee (poniżej AA). Dokończ zdanie.
Miara kąta α\alpha jest równa
Proste równoległe a, b, c przecięte prostymi d i e 142° α A a b c d e
  • A. 38∘38^\circ
  • B. 45∘45^\circ
  • C. 52∘52^\circ
  • D. 60∘60^\circ
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1\boldsymbol{1} — jaki kąt tworzy prosta dd z poziomem? Kąt 142°\textcolor{#16A06A}{142°} i szukany kąt nachylenia są przyległe, więc razem dają 180°\textcolor{#E0453A}{180°}.
  2. Nachylenie prostej dd: 180°−142°=38°\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{142°} = \textcolor{#16A06A}{38°}.
  3. Krok 2\boldsymbol{2} — przenosimy ten kąt na prostą bb. Proste aa i bb są równoległe, a dd je przecina, więc kąty odpowiadające są równe: prosta dd tworzy z bb również kąt 38°\textcolor{#16A06A}{38°}.
  4. Krok 3\boldsymbol{3} — korzystamy z prostopadłości. W punkcie AA proste dd i ee tworzą kąt 90°\textcolor{#E0453A}{90°}.
  5. Kąt między bb a ee to więc 90°−38°=52°\textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{38°} = 52°.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wszystkie powstałe kąty mają tylko dwie różne miary — tutaj 38∘38^\circ i 142∘142^\circ. Wystarczy rozpoznać, która jest która.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie 38∘38^\circ (odpowiedź A) — czyli kąta nachylenia prostej dd zamiast ee. Te dwie proste są prostopadłe, więc ich kąty z poziomem dopełniają się do 90∘\boldsymbol{90^\circ}, a nie są równe.

Zadanie 3 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt ABCABC, w którym kąt BCABCA ma miarę 35∘\boldsymbol{35^\circ}. Punkt DD leży na boku BCBC. Odcinek ADAD ma taką samą długość jak odcinek BDBD. Kąt ADCADC ma miarę 130∘\boldsymbol{130^\circ}. Dokończ zdanie.
Kąt CABCAB ma miarę
Trójkąt ABC z punktem D na boku BC35°130°BCAD
  • A. 95∘95^\circ
  • B. 75∘75^\circ
  • C. 90∘90^\circ
  • D. 80∘80^\circ
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Kąt CABCAB rozbijamy na dwie części: ∠CAB=∠CAD+∠DAB\angle CAB = \angle CAD + \angle DAB. Liczymy każdą osobno.
  2. Część pierwsza — trójkąt ACDACD. Znamy dwa kąty: ∠ACD=35°\angle ACD = \textcolor{#16A06A}{35°} i ∠ADC=130°\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{130°}.
  3. ∠CAD=180°−35°−130°=15°\angle CAD = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{35°} - \textcolor{#16A06A}{130°} = \textcolor{#16A06A}{15°}.
  4. Część druga — trójkąt ABDABD. Kąt ADBADB jest przyległy do ∠ADC\angle ADC (punkt DD leży na odcinku BCBC):
  5. ∠ADB=180°−130°=50°\angle ADB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{130°} = \textcolor{#16A06A}{50°}.
  6. Skoro AD=BDAD = BD, trójkąt ABDABD jest równoramienny, więc kąty przy podstawie ABAB są równe:
  7. ∠DAB=∠DBA=(180°−50°):2=65°\angle DAB = \angle DBA = (\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{65°}.
  8. Składamy: ∠CAB=15°+65°=80°\angle CAB = \textcolor{#16A06A}{15°} + \textcolor{#16A06A}{65°} = 80° — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Gdy punkt leży na boku trójkąta, kąty po obu jego stronach są przyległe — sumują się do 180∘180^\circ. To zwykle pierwszy krok w takich zadaniach.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 130∘130^\circ jako kąta ADBADB zamiast ADCADC. Wtedy trójkąt ABDABD miałby kąty przy podstawie po 25∘25^\circ i cała odpowiedź byłaby błędna.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

W trójkącie ABCABC narysowano dwie wysokości: CDCD (opuszczoną z CC na bok ABAB, punkt DD na ABAB) oraz AEAE (opuszczoną z AA na bok BCBC, punkt EE na BCBC). Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy 138∘\boldsymbol{138^\circ}. Kąt α\alpha to kąt DAEDAE — czyli kąt przy wierzchołku AA między bokiem ABAB a wysokością AEAE. Jaką miarę ma kąt α\alpha?
Trójkąt ABC z wysokościami CD i AE138°ABCDE
  • A. 38∘38^\circ
  • B. 42∘42^\circ
  • C. 45∘45^\circ
  • D. 48∘48^\circ
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Oznaczmy przez HH punkt przecięcia obu wysokości. Kąt rozwarty przy HH ma 138°\textcolor{#16A06A}{138°}, więc kąt ostry obok niego (przyległy) wynosi 180°−138°=42°\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{138°} = \textcolor{#16A06A}{42°}.
  2. Przyglądamy się trójkątowi ADHADH — tworzą go: wierzchołek AA, spodek wysokości DD i punkt przecięcia HH.
  3. Kąt przy DD to 90°\textcolor{#E0453A}{90°}, bo CDCD jest wysokością opuszczoną na ABAB.
  4. Kąt przy HH musi być ostry (w trójkącie może być tylko jeden kąt prosty lub rozwarty), więc ∠AHD=42°\angle AHD = \textcolor{#16A06A}{42°}.
  5. Zostaje kąt przy AA: α=180°−90°−42°=48°\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{42°} = 48°.
  6. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wysokość zawsze daje darmowy kąt 90∘90^\circ — szukaj trójkąta, w którym ten kąt prosty występuje razem ze znanym kątem. Wtedy trzeci kąt liczy się jednym odejmowaniem.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie 138∘138^\circ do trójkąta ADHADH. Razem z kątem prostym dałoby to już 228∘228^\circ — czyli więcej niż 180∘180^\circ, co powinno od razu zwrócić uwagę. Do trójkąta wchodzi kąt ostry, 42∘42^\circ.

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pktśrednie

Figura zacieniowana na rysunku jest równoległobokiem. Kąt α\alpha to kąt wewnętrzny równoległoboku przy jego lewym dolnym wierzchołku, a kąt 135∘\boldsymbol{135^\circ} jest kątem przyległym do α\alpha (leży obok, po lewej stronie, na przedłużeniu dolnego boku). Kąt β\beta to kąt wewnętrzny równoległoboku przy wierzchołku sąsiednim do α\alpha (lewym górnym). Oceń prawdziwość podanych zdań.
Równoległobok z kątem α i kątem przyległym 135°α135°β
Suma miar kątów α\alpha i β\beta wynosi 180∘180^\circ.PF
Kąt α\alpha ma miarę 33 razy mniejszą niż kąt β\beta.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Krok 1\boldsymbol{1} — wyznaczamy α\alpha. Kąt 135°\textcolor{#16A06A}{135°} i kąt α\alpha są przyległe, więc razem dają 180°\textcolor{#E0453A}{180°}:
  2. α=180°−135°=45°\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{135°} = \textcolor{#16A06A}{45°}.
  3. Krok 2\boldsymbol{2} — wyznaczamy β\beta. W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do 180°\textcolor{#E0453A}{180°}:
  4. β=180°−45°=135°\beta = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{45°} = \textcolor{#16A06A}{135°}.
  5. Zdanie 1\boldsymbol{1}. 45°+135°=180°\textcolor{#16A06A}{45°} + \textcolor{#16A06A}{135°} = \textcolor{#E0453A}{180°} ✓ — prawda. (To zresztą własność każdego równoległoboku dla kątów sąsiednich.)
  6. Zdanie 2\boldsymbol{2}. 135°:45°=3\textcolor{#16A06A}{135°} : \textcolor{#16A06A}{45°} = 3, więc α\alpha jest trzy razy mniejszy od β\beta ✓ — prawda.
  7. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zauważ ładną zbieżność: kąt β\beta wyszedł równy 135∘135^\circ, czyli tyle samo co kąt zewnętrzny obok α\alpha. To nie przypadek — oba są kątami naprzemianległymi przy prostych równoległych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie α=135°\alpha = 135° (przepisanie kąta z rysunku). Kąt 135∘135^\circ leży poza równoległobokiem — jest do α\alpha przyległy, a nie z nim tożsamy.

Zadanie 6 (marzec 2020)1 pktśrednie

Dany jest trójkąt równoramienny KLMKLM o ramionach KMKM i LMLM (podstawą jest KLKL). Miara kąta KMLKML jest dwa razy większa niż miara kąta KLMKLM. Uzupełnij zdania.
Trójkąt równoramienny KLMx2xKLM
Miara kąta KLMKLM jest równa AB.
  • A. 40∘40^\circ
  • B. 45∘45^\circ
Trójkąt KLMKLM jest CD.
  • C. rozwartokątny
  • D. prostokątny
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

  1. Ramionami są KMKM i LMLM, więc podstawą jest KLKL, a kąty przy podstawie (przy KK i przy LL) są równe.
  2. Oznaczmy ∠KLM=x\angle KLM = \textcolor{#16A06A}{x}. Wtedy również ∠LKM=x\angle LKM = \textcolor{#16A06A}{x}, a kąt przy wierzchołku ∠KML=2x\angle KML = \textcolor{#16A06A}{2x}.
  3. Suma kątów trójkąta: x+x+2x=180°\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{2x} = \textcolor{#E0453A}{180°}, czyli 4x=180°4\textcolor{#16A06A}{x} = \textcolor{#E0453A}{180°}.
  4. Stąd x=45°\textcolor{#16A06A}{x} = 45° — kąt KLMKLM ma 45∘45^\circ, odpowiedź B.
  5. Kąt przy wierzchołku: 2x=90°\textcolor{#16A06A}{2x} = 90° — trójkąt jest więc prostokątny, odpowiedź D.
  6. Razem: B, D. (Kąty: 45∘45^\circ, 45∘45^\circ, 90∘90^\circ — to połówka kwadratu.)

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, które boki są ramionami — to one wskazują, gdzie leży podstawa, a więc gdzie są równe kąty. Zamiana ramion z podstawą całkowicie zmienia rozwiązanie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że równe kąty są przy KK i przy MM. Wtedy równanie wyglądałoby inaczej i wyszłoby x=36°x = 36° — odpowiedź nieobecna wśród opcji, co samo w sobie jest sygnałem pomyłki.

Zadanie 7 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Dany jest równoległobok ABCDABCD oraz trójkąt równoramienny AEDAED, w którym ∣DE∣=∣AE∣|DE| = |AE| (punkt EE leży na boku DCDC). Kąt BCEBCE ma miarę 106∘\boldsymbol{106^\circ}. Jaką miarę ma kąt AECAEC?
Równoległobok ABCD z trójkątem równoramiennym AED106°ABCDE
  • A. 148∘148^\circ
  • B. 122∘122^\circ
  • C. 74∘74^\circ
  • D. 58∘58^\circ
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Punkt EE leży na boku DCDC, więc kąt BCEBCE to po prostu kąt BCDBCD równoległoboku: 106°\textcolor{#16A06A}{106°}.
  2. W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do 180°\textcolor{#E0453A}{180°}, więc kąt przy DD: ∠ADC=180°−106°=74°\angle ADC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{106°} = \textcolor{#16A06A}{74°}.
  3. Trójkąt AEDAED. Skoro DE=AEDE = AE, kąty przy podstawie ADAD są równe. Kąt ∠ADE\angle ADE to ten sam co ∠ADC=74°\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{74°} (bo EE leży na DCDC).
  4. Zatem ∠DAE=74°\angle DAE = \textcolor{#16A06A}{74°}, a kąt przy wierzchołku EE: ∠AED=180°−74°−74°=32°\angle AED = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{74°} - \textcolor{#16A06A}{74°} = \textcolor{#16A06A}{32°}.
  5. Ostatni krok. Punkty DD, EE, CC leżą na jednej prostej, więc kąty AEDAED i AECAEC są przyległe:
  6. ∠AEC=180°−32°=148°\angle AEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{32°} = 148° — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym równe boki wskazują, gdzie są równe kąty: DE=AEDE = AE oznacza, że kąty przy DD i przy AA (czyli naprzeciw tych boków) są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie kąta AEDAED (32∘)(32^\circ) albo zatrzymanie się na kącie 74∘74^\circ (odpowiedź C). Zadanie pyta o kąt AECAEC — ten po drugiej stronie punktu EE.

Zadanie 8 (grudzień 2018)1 pktśrednie

W trójkącie ABCABC największą miarę ma kąt przy wierzchołku CC. Miara kąta przy wierzchołku AA jest równa 48∘48^\circ, a miara kąta przy wierzchołku BB jest równa różnicy miary kąta przy wierzchołku CC oraz miary kąta przy wierzchołku AA. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trójkąt ABC z kątem 48° przy wierzchołku A48°ABC
Kąt przy wierzchołku BB ma miarę 48∘48^\circ.PF
Trójkąt ABCABC jest prostokątny.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Zapisujemy warunek z treści: ∠B=C−48°\angle B = \textcolor{#16A06A}{C} - 48°.
  2. Wstawiamy do sumy kątów trójkąta: 48°+(C−48°)+C=180°48° + (\textcolor{#16A06A}{C} - 48°) + \textcolor{#16A06A}{C} = \textcolor{#E0453A}{180°}.
  3. Zauważ, co się dzieje: + 48∘\text{+ } 48^\circ i −48∘-48^\circ się skracają, zostaje 2C=180°2\textcolor{#16A06A}{C} = \textcolor{#E0453A}{180°}.
  4. Stąd C=90°\textcolor{#16A06A}{C} = 90°, a ∠B=90°−48°=42°\angle B = 90° - 48° = \textcolor{#16A06A}{42°}.
  5. Zdanie 1\boldsymbol{1}. Kąt przy BB ma 42°\textcolor{#16A06A}{42°}, a nie 48∘48^\circ — fałsz.
  6. Zdanie 2\boldsymbol{2}. Kąt przy CC wynosi 90∘90^\circ, więc trójkąt jest prostokątny ✓ — prawda.
  7. Odpowiedzi: F, P. Sprawdzenie: 48°+42°+90°=180°48° + 42° + 90° = \textcolor{#E0453A}{180°} ✓, a największy kąt rzeczywiście jest przy CC ✓

💡 Wskazówka: Ładna własność ukryta w tym zadaniu: gdy jeden kąt jest różnicą dwóch pozostałych, trójkąt zawsze jest prostokątny — niezależnie od konkretnych miar.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie zdania „miara kąta BB jest równa różnicy CC i AA” jako B=A−CB = A - C. Kolejność w słowie „różnica” jest istotna: od pierwszej wymienionej odejmujemy drugą.

Zadanie 9 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Przekątne prostokąta ABCDABCD przecinają się pod kątem 140∘\boldsymbol{140^\circ} — jest to kąt, którego ramiona biegną w stronę wierzchołków DD i CC (czyli kąt „górny”). Oceń prawdziwość podanych zdań.
Prostokąt ABCD z przekątnymi140°ABCD
Kąt DCADCA ma miarę 40∘40^\circ.PF
Kąt DACDAC ma miarę 70∘70^\circ.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Kluczowa własność: przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Punkt przecięcia OO jest więc jednakowo oddalony od wszystkich czterech wierzchołków, przez co powstają cztery trójkąty równoramienne.
  2. Zdanie 1\boldsymbol{1} — trójkąt DOCDOC. Kąt przy OO to 140°\textcolor{#16A06A}{140°}, a boki ODOD i OCOC są równe.
  3. Kąty przy podstawie DCDC: (180°−140°):2=20°(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{140°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{20°}.
  4. Kąt DCADCA to właśnie kąt DCODCO, czyli 20°\textcolor{#16A06A}{20°} — a nie 40∘40^\circ — fałsz.
  5. Zdanie 2\boldsymbol{2} — trójkąt AODAOD. Kąt AODAOD jest przyległy do kąta DOCDOC: 180°−140°=40°\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{140°} = \textcolor{#16A06A}{40°}.
  6. Boki OAOA i ODOD też są równe, więc kąty przy podstawie ADAD: (180°−40°):2=70°(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}.
  7. Kąt DACDAC to kąt DAODAO, czyli 70°\textcolor{#16A06A}{70°} ✓ — prawda.
  8. Odpowiedzi: F, P. Kontrola: 20°+70°=90°\textcolor{#16A06A}{20°} + \textcolor{#16A06A}{70°} = 90° — i rzeczywiście kąt ADCADC prostokąta jest prosty, a to trzeci kąt trójkąta ACD ✓

💡 Wskazówka: Przekątne prostokąta dzielą go na cztery trójkąty równoramienne — to najważniejsza własność w takich zadaniach. W kwadracie byłyby to dodatkowo trójkąty prostokątne.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 11: policzenie 180∘−140∘=40∘180^\circ - 140^\circ = 40^\circ i uznanie tego za szukany kąt. To kąt przy punkcie przecięcia w sąsiednim trójkącie, a nie kąt przy wierzchołku CC.

Zadanie 10 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma miarę α\alpha, drugi ma miarę o 30∘30^\circ większą niż kąt α\alpha, a trzeci ma miarę trzy razy większą niż kąt α\alpha. Dokończ zdanie.
Trójkąt ten jest
Trójkąt o kątach α, α + 30° i 3ααα + 30°3α
  • A. równoboczny.
  • B. równoramienny.
  • C. rozwartokątny.
  • D. prostokątny.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Zapisujemy wszystkie trzy kąty przez α\textcolor{#16A06A}{\alpha}:   α\textcolor{#16A06A}{\alpha},   α+30°\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30°,   3α3\textcolor{#16A06A}{\alpha}.
  2. Suma kątów trójkąta: α+(α+30°)+3α=180°\textcolor{#16A06A}{\alpha} + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30°) + 3\textcolor{#16A06A}{\alpha} = \textcolor{#E0453A}{180°}.
  3. 5α+30°=180°5\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30° = \textcolor{#E0453A}{180°}, czyli 5α=150°5\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 150°, więc α=30°\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 30°.
  4. Kąty trójkąta: 30∘30^\circ,  30∘+30∘=60∘30^\circ + 30^\circ = 60^\circ,  3⋅30∘=90∘3 \cdot 30^\circ = 90^\circ.
  5. Największy kąt ma 90∘90^\circ, więc trójkąt jest prostokątny — odpowiedź D.
  6. Dla porządku: nie jest równoboczny ani równoramienny (wszystkie kąty różne), nie jest też rozwartokątny (żaden kąt nie przekracza 90∘90^\circ).

💡 Wskazówka: Po wyliczeniu kątów zawsze sprawdź wszystkie cztery określenia — czasem pasuje więcej niż jedno (np. trójkąt może być jednocześnie prostokątny i równoramienny).

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na α=30°\alpha = 30° i uznanie, że skoro wychodzi „ładna” liczba, to trójkąt jest równoboczny. Trzeba policzyć wszystkie trzy kąty.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B, C2. C3. D4. D5. P, P6. B, D
7. A8. F, P9. F, P10. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jakie są rodzaje kątów?

Siedem, licząc według miary: zerowy (0∘)(0^\circ), ostry (więcej niż 0∘0^\circ, mniej niż 90∘90^\circ), prosty (90∘)(90^\circ), rozwarty (między 90∘90^\circ a 180∘180^\circ), półpełny (180∘)(180^\circ), wklęsły (między 180∘180^\circ a 360∘360^\circ) i pełny (360∘)(360^\circ). Razem pokrywają cały zakres bez luk — bez kąta zerowego brakowałoby właśnie miary 0∘0^\circ.

Czym różni się kąt wypukły od wklęsłego?

Granicą jest 180∘180^\circ: wypukły ma miarę nie większą niż 180∘180^\circ, wklęsły — większą od 180∘180^\circ, ale mniejszą od 360∘360^\circ. Kąt pełny nie należy do żadnej z tych dwóch grup. To osobny podział niż na ostry, prosty i rozwarty, więc kąt 120∘120^\circ jest jednocześnie rozwarty i wypukły.

Jak zmierzyć kąt wklęsły?

Zwykły kątomierz ma skalę do 180∘180^\circ, więc zmierz kąt wypukły po drugiej stronie tych samych ramion i odejmij wynik od 360∘360^\circ. Dla kąta wypukłego 130∘130^\circ wklęsły wynosi 230∘230^\circ, bo 130∘+230∘=360∘130^\circ + 230^\circ = 360^\circ.

Ile stopni ma kąt półpełny, a ile pełny?

Półpełny ma 180∘180^\circ, a pełny 360∘360^\circ — nazwa mówi wprost, że półpełny to połowa pełnego. Kąt półpełny to suma kątów trójkąta, a pełny to suma kątów czworokąta oraz suma kątów wokół punktu.

Czy kąt wklęsły jest w programie szkoły podstawowej?

Tak, od roku 2026/2027 w klasie 4: nowa podstawa programowa każe rozróżniać kąt ostry, prosty, rozwarty, półpełny, pełny, wklęsły i wypukły. Klasy 5–8 uczą się w tym roku jeszcze według podstawy z 2017 r., która z nazwy wymienia tylko kąt prosty, ostry i rozwarty — tam kąt wklęsły jest materiałem dodatkowym.

Dlaczego pełny obrót ma 360 stopni?

To dziedzictwo starożytnej Mezopotamii i systemu sześćdziesiątkowego. Liczba 360360 ma bardzo wiele dzielników, więc połowa, jedna trzecia czy jedna dziesiąta obrotu wypadają na okrągłych liczbach. Z tego samego powodu godzina ma 6060 minut.

Ile stopni ma kąt wklęsły?

Więcej niż 180∘180^\circ, a mniej niż 360∘360^\circ, na przykład 200∘200^\circ, 270∘270^\circ albo 300∘300^\circ. Kąt wklęsły i wypukły o tych samych ramionach dopełniają się do 360∘360^\circ: jeśli kąt wypukły ma 120∘120^\circ, wklęsły ma 240∘240^\circ.

Ile stopni ma kąt rozwarty?

Więcej niż 90∘90^\circ, a mniej niż 180∘180^\circ, na przykład 100∘100^\circ, 135∘135^\circ albo 170∘170^\circ. Kąt 90∘90^\circ to już kąt prosty, a 180∘180^\circ — półpełny.

Czytaj dalej

Prosta, półprosta i odcinekRamiona kąta to półproste — stąd mierzy się rozwarcie, nie długośćProste równoległe i prostopadłeKąt prosty jako podstawa prostopadłościKąty przy prostychWierzchołkowe, przyległe i te przy prostych równoległychTrójkątSuma kątów równa kątowi półpełnemuPojęcie miary kąta i jego uogólnienieKąt większy od pełnego i kąt ujemny: skąd się biorą, jak sprowadzić je do…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Newsletter

Nowe karty pracy prosto na maila

Mail wychodzi wtedy, gdy pojawia się coś nowego — i nie częściej niż raz w tygodniu. Za zapis dostajesz pakiet startowy: karty pracy z pięciu działów sklejone w jeden plik do druku.

Bez spamu i bez sprzedawania adresów. Wypisujesz się jednym kliknięciem — link jest w każdym mailu.

PDF
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23