Liczby rzeczywiste
Zadanie 13, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dane są liczby \(x\) i \(y\), takie że
\[\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]
Oblicz wartość wyrażenia
\[\frac{x+y}{x}.\]
Wynik podaj w postaci \(\frac{a+\sqrt b}{c}\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Odpowiedź
\[\frac{x+y}{x}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku
\[\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt5}{2}\]
wynika
\[\frac{y}{x}=\frac{2}{1+\sqrt5}.\]
Stąd
\[\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt5}=\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}.\]
Usuwamy niewymierność z mianownika:
\[\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}\cdot\frac{1-\sqrt5}{1-\sqrt5}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\frac{1+\sqrt5}{2}\)
**1 pkt** – otrzymanie \(1+\frac{2}{1+\sqrt5}\) albo \(\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
II.1) Stosuje wzory skróconego mnożenia, w tym różnicę kwadratów.
