Liczby rzeczywiste
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dane są liczby
\[a=\sqrt5-2\qquad\text{oraz}\qquad b=\sqrt5+2.\]
Oblicz dla podanych \(a\) i \(b\) wartość wyrażenia
\[\frac{ab}{\sqrt a+\sqrt b}:\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}.\]
Odpowiedź
\[1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy wyrażenie:
\[\frac{ab}{\sqrt a+\sqrt b}:\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}=\frac{ab}{\sqrt a+\sqrt b}\cdot\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}.\]
Ponieważ \(a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)\), otrzymujemy
\[\frac{ab}{\sqrt a+\sqrt b}\cdot(\sqrt a+\sqrt b)=ab.\]
Dalej
\[ab=(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(1\)
**1 pkt** – przekształcenie całego wyrażenia do postaci \(ab\) albo wykazanie odpowiednich par liczb wzajemnie odwrotnych
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
II.1) Stosuje wzór na różnicę kwadratów.
