Logarytmy
Zadanie 12, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dane są liczby
\[a=\log_2(3\sqrt5+\sqrt{13})\qquad\text{oraz}\qquad b=\log_2(3\sqrt5-\sqrt{13}).\]
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a+b\) jest równa
**A.** \(\log_2 45\)
**B.** \(\log_2 30\)
**C.** \(4\)
**D.** \(5\)
Odpowiedź
**D.** \(5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu:
\[a+b=\log_2\left[(3\sqrt5+\sqrt{13})(3\sqrt5-\sqrt{13})\right].\]
Iloczyn jest różnicą kwadratów:
\[(3\sqrt5)^2-(\sqrt{13})^2=45-13=32.\]
Zatem
\[a+b=\log_2 32=5.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1) Zdający wykonuje działania i logarytmuje w zbiorze liczb rzeczywistych.
I.9) Stosuje wzory na logarytm iloczynu.
II.1) Stosuje wzór na różnicę kwadratów.
