Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 7, maj 2026, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x>0\) oraz \(y>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z założenia \(x>0\) i \(y>0\), więc \(x^{2}y^{2}>0\) i mnożenie obu stron nierówności przez tę liczbę nie zmienia jej kierunku. Otrzymujemy nierówność równoważną
\[xy^{2}+yx^{2}\le x^{3}+y^{3}.\]
Przenosimy wszystko na prawą stronę i grupujemy wyrazy:
\[x^{3}+y^{3}-x^{2}y-xy^{2}=x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y)=(x-y)\left(x^{2}-y^{2}\right)=(x-y)^{2}(x+y).\]
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \((x-y)^{2}\ge0\), a z założenia \(x+y>0\), więc iloczyn jest nieujemny. To dowodzi wyjściowej nierówności.
Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(x=y\).
**Odpowiedź.** Nierówność \(\dfrac1x+\dfrac1y\le\dfrac{x}{y^{2}}+\dfrac{y}{x^{2}}\) jest prawdziwa dla wszystkich \(x>0\), \(y>0\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(W(x,y)\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{W(x,y)}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)), gdzie \(W\) jest wielomianem zmiennych \(x\) oraz \(y\), np.: \(x^{3}+y^{3}-xy^{2}-x^{2}y\geq 0\), \(x^{3}+y^{3}-xy(x+y)\geq 0\), \(\frac{x^{3}+y^{3}-xy^{2}-x^{2}y}{x^{2}y^{2}}\geq 0\) ALBO przekształcenie nierówności do postaci \(\frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{x^{2}y^{2}}\geq\frac{x+y}{xy}\), ALBO rozważenie funkcji \(f(x)=\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) zmiennej dodatniej \(x\) z parametrem \(y>0\) oraz wyznaczenie pochodnej tej funkcji, np. \(f'(x)=\frac{1}{y^{2}}-\frac{2y}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\).
**2 pkt** – przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \(x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)), ALBO obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\): \(x=y\).
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.: • przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) i zapisanie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny ALBO • przekształcenie nierówności \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}\) do postaci \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub do postaci \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) oraz uzasadnienie, że dla liczb dodatnich \(x\), \(y\) nierówność \((x+y)(x-y)^{2}\geq 0\) (lub nierówność \(\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0\)) jest prawdziwa, ALBO • obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\) oraz uzasadnienie, że funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą dla \(x=y\) i obliczenie \(f(y)\).
Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości \(x\) i \(y\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przekształci nierówność do postaci \((x^{2}-y^{2})(x-y)\geq 0\), a następnie uzasadni prawdziwość tej nierówności w przypadku, gdy \(x>y\) oraz w przypadku, gdy \(x<y\), a pominie przypadek \(x=y\), to otrzymuje 2 punkty.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
II.R5) Zdający korzysta ze wzorów na: \(a^3+b^3\) […].
