Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, maj 2025, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(-2\) oraz różnej od \(0\) wartość wyrażenia
\[\frac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}\]
jest równa wartości wyrażenia
**A.** \(\frac{x+2}{4x+4}\)
**B.** \(\frac{x+1}{4x+5}\)
**C.** \(\frac{x+1}{x+2}\)
**D.** \(\frac{2x}{x+2}\)
Odpowiedź
**C.** Dla \(x\neq-2\) i \(x\neq0\):
\[\frac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mnożymy przez siebie dwa wyrażenia wymierne. Nie wymnażamy nawiasów - przeciwnie, rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki, żeby móc skracać.
**Krok \(2\).** Licznik pierwszego ułamka: wyłączamy \(x\) przed nawias:
\[x^{2}+x=x(x+1).\]
**Krok \(3\).** Mianownik pierwszego ułamka to kwadrat sumy (wzór skróconego mnożenia):
\[x^{2}+4x+4=x^{2}+2\cdot2\cdot x+2^{2}=(x+2)^{2}.\]
**Krok \(4\).** Zapisujemy cały iloczyn w postaci jednego ułamka:
\[\frac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^{2}\cdot x}.\]
**Krok \(5\).** Skracamy \(x\) oraz jeden czynnik \((x+2)\):
\[\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^{2}\cdot x}=\frac{x+1}{x+2}.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy liczbowo dla \(x=1\): wyrażenie wyjściowe daje \(\frac{1+1}{1+4+4}\cdot\frac{3}{1}=\frac{2}{9}\cdot3=\frac23\), a otrzymany wynik \(\frac{1+1}{1+2}=\frac23\). Zgadza się.
**Uwaga.** Skracanie jest dozwolone właśnie dzięki założeniom z treści: \(x\neq0\) i \(x\neq-2\). Bez nich dzielilibyśmy przez zero.
**Odpowiedź.** C, czyli \(\frac{x+1}{x+2}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.4) Zdający mnoży […] wyrażenia wymierne.
