Nierówności
Zadanie 5, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby \(a\) i każdej dodatniej liczby \(b\) takich, że \(a+b=1\), prawdziwa jest nierówność
\[\frac1{2a+b}+\frac1{a+2b}\geq\frac43.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa. Po wykorzystaniu warunku \(a+b=1\) sprowadza się ona do
\[(2a-1)^2\geq0.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(b=1-a\), przy czym \(a\in(0,1)\). Wtedy
\[2a+b=a+1,\qquad a+2b=2-a.\]
Ponieważ mianowniki są dodatnie, mamy równoważnie
\[\frac1{a+1}+\frac1{2-a}\geq\frac43\iff\frac3{(a+1)(2-a)}\geq\frac43.\]
Po pomnożeniu przez dodatnie \(3(a+1)(2-a)\) otrzymujemy
\[9\geq4(a+1)(2-a)\iff4a^2-4a+1\geq0\iff(2a-1)^2\geq0.\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdego rzeczywistego \(a\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**2 pkt** – wykorzystanie założenia \(a+b=1\) i przekształcenie tezy do nierówności \((2a-1)^2\geq0\) albo poprawne zastosowanie nierówności między odpowiednimi średnimi
**1 pkt** – zapisanie równoważnej nierówności wymiernej lub wielomianowej, poprawne rozpoczęcie argumentu ze średnią harmoniczną albo zapisanie tezy w poprawnej postaci z jedną niewiadomą
**0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
3. R7) Zdający rozwiązuje proste nierówności wymierne.
