Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 29, sierpień 2018, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to ( a + b ) \(1 + 1\) \(\geq 4\) .
a b
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge4\).
Dwa ułamki w drugim nawiasie zostały rozbite przez ekstraktor: liczniki („1 + 1”) zostały w wierszu głównym, mianowniki („a b”) trafiły do wiersza pod nim. Odczyt zgadza się z modelem odpowiedzi CKE, w którym różnica lewej strony i liczby 4 sprowadza się do (a − b)²/(ab) ≥ 0.Odpowiedź
Nierówność została wykazana dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać
\[(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge4.\]
Z założenia \(a>0\) i \(b>0\), więc oba ułamki są określone, a \(ab>0\). Przekształcamy lewą stronę:
\[(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)=(a+b)\cdot\frac{a+b}{ab}=\frac{(a+b)^{2}}{ab}.\]
Odejmujemy \(4\) i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\[\frac{(a+b)^{2}}{ab}-4=\frac{(a+b)^{2}-4ab}{ab}=\frac{(a-b)^{2}}{ab}.\]
Licznik jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a mianownik dodatni, więc cała różnica jest nieujemna. Równość zachodzi dokładnie dla \(a=b\).
**Odpowiedź.** \((a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4\) dla wszystkich \(a>0\), \(b>0\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne przekształcenie. 2 pkt: pełne uzasadnienie dla a,b>0.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
