Geometria płaska
Zadanie 28, sierpień 2018, poziom podstawowy
W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono
prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz
rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.
D C
E
A B F
Odpowiedź
Punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(E\) leży na boku \(BC\), a punkt \(F\) — przecięcie prostych \(AB\) i \(DE\) — leży na przedłużeniu boku \(AB\) poza wierzchołek \(B\).
Porównajmy trójkąty \(DEC\) i \(FEB\):
- \(\lvert EC\rvert=\lvert EB\rvert\), bo \(E\) jest środkiem boku \(BC\);
- \(\lvert\angle DEC\rvert=\lvert\angle FEB\rvert\), bo są to kąty wierzchołkowe;
- \(\lvert\angle DCE\rvert=\lvert\angle FBE\rvert\), bo są to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \(DC\parallel AF\) przeciętych prostą \(BC\).
Trójkąty te są zatem przystające (cecha kąt-bok-kąt), więc
\[\lvert BF\rvert=\lvert CD\rvert.\]
W równoległoboku \(\lvert CD\rvert=\lvert AB\rvert\), więc \(\lvert BF\rvert=\lvert AB\rvert\). Punkt \(B\) leży między \(A\) i \(F\), a więc jest środkiem odcinka \(AF\), co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wykazanie przystawania (albo podobieństwa) trójkątów \(DEC\) i \(FEB\).
**2 pkt** – pełny dowód, że \(\lvert AB\rvert=\lvert BF\rvert\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
