Ciąg arytmetyczny
Zadanie 30, sierpień 2018, poziom podstawowy
( )
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego a , określonego dla \(n \geq 1\), jest równy \(34\), a suma
n
jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego
ciągu.
Odpowiedź
\(a_{1}\)=−\(2\), r=\(\frac{9}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Zapisujemy dane za pomocą \(a_1\) i różnicy \(r\):
\[a_9=a_1+8r=34,\qquad S_8=\frac{\left(2a_1+7r\right)\cdot8}{2}=4(2a_1+7r)=110.\]
Z drugiego równania \(2a_1+7r=\frac{110}4=\frac{55}2\). Z pierwszego \(a_1=34-8r\); po podstawieniu
\[2(34-8r)+7r=\frac{55}2,\qquad 68-9r=\frac{55}2,\qquad 9r=\frac{81}2,\qquad r=\frac92.\]
Stąd \(a_1=34-8\cdot\frac92=34-36=-2\).
**Odpowiedź.** \(a_1=-2\), \(r=\frac92\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawny układ równań. 2 pkt: a₁=−2, r=9/2.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 30.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.
