Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, sierpień 2016, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc \(= 1\), to
\(a-1 + b-1 + c-1 =\) ab + ac + bc .
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\).
Wykładniki „minus 1” zostały przez ekstraktor sprowadzone do poziomu wiersza i odczytane jako odejmowanie jedynki („a-1 + b-1 + c-1”). Przy dosłownym odczycie równość jest fałszywa (np. dla a = b = c = 1 daje 0 = 3), a przy odczycie z wykładnikami wynika wprost z warunku abc = 1 — zgodnie z modelem odpowiedzi CKE.Odpowiedź
Równość została wykazana przy założeniu \(abc=1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona równość ma postać
\[a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc.\]
Z warunku \(abc=1\) wynika, że żadna z liczb \(a,b,c\) nie jest zerem, więc wszystkie odwrotności istnieją.
Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:
\[\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{bc+ac+ab}{abc}.\]
Ponieważ \(abc=1\), mianownik jest równy \(1\), a zatem
\[\frac1a+\frac1b+\frac1c=ab+ac+bc.\]
**Odpowiedź.** Przy założeniu \(abc=1\) zachodzi \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: użycie definicji potęgi o wykładniku −1 lub warunku abc=1. 2 pkt: pełne uzasadnienie.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
