Nierówności
Zadanie 27, sierpień 2016, poziom podstawowy
Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\) , a mianownik pozostawimy
niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\) . Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego
\(8\)
ułamka odejmiemy \(6\) , to otrzymamy liczbę . Wyznacz ten ułamek.
\(17\)
Odpowiedź
\(\frac{14}{23}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Szukamy ułamka, a o ułamku wiemy dwie rzeczy, więc wprowadzamy dwie niewiadome: licznik \(x\) i mianownik \(y\), przy czym \(y\neq0\). Każde zdanie z treści zamienimy na jedno równanie i rozwiążemy powstały układ.
**Krok \(2\).** Pierwszy warunek: po dodaniu \(32\) do licznika (mianownik bez zmian) otrzymujemy liczbę \(2\):
\[\frac{x+32}{y}=2\quad\Longrightarrow\quad x+32=2y\quad\Longrightarrow\quad x=2y-32.\]
**Krok \(3\).** Drugi warunek: po odjęciu \(6\) od licznika i od mianownika otrzymujemy \(\frac{8}{17}\):
\[\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}.\]
Mnożymy na krzyż:
\[17(x-6)=8(y-6)\quad\Longrightarrow\quad 17x-102=8y-48\quad\Longrightarrow\quad 17x-8y=54.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy \(x=2y-32\) z kroku \(2\) do równania z kroku \(3\):
\[17(2y-32)-8y=54,\]
\[34y-544-8y=54,\]
\[26y=598,\qquad y=23.\]
**Krok \(5\).** Wracamy do wzoru na licznik:
\[x=2\cdot23-32=46-32=14.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy oba warunki: \(\frac{14+32}{23}=\frac{46}{23}=2\) oraz \(\frac{14-6}{23-6}=\frac{8}{17}\). Sprawdzamy też nieskracalność: \(23\) jest liczbą pierwszą i nie dzieli \(14\), więc ułamka \(\frac{14}{23}\) skrócić się nie da.
**Uwaga.** W drugim warunku odejmujemy \(6\) od licznika i od mianownika, więc zmieniają się obie liczby. Odjęcie tylko od licznika prowadzi do zupełnie innego układu równań i innego wyniku.
**Odpowiedź.** Szukany ułamek to \(\frac{14}{23}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawny układ równań z licznikiem i mianownikiem. 2 pkt: ułamek 14/23.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 27.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
