Inne zagadnienia
Zadanie 4, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) wyrażenie
\[\frac{2}{x-1}-5\]
jest równe
**A.** \(\frac{-5x+1}{x-1}\)
**B.** \(\frac{-5x+7}{x-1}\)
**C.** \(\frac{-5x+3}{x-1}\)
**D.** \(\frac{-5x-3}{x-1}\)
Odpowiedź
**B.** \(\frac{-5x+7}{x-1}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy różnicę ułamka i liczby całkowitej, a wynik ma być jednym ułamkiem. Standardowe postępowanie: sprowadzamy oba wyrażenia do wspólnego mianownika. Mianownikiem jest \(x-1\), więc liczbę \(5\) zapisujemy jako ułamek o takim właśnie mianowniku.
**Krok \(2\).** Zamieniamy \(5\) na ułamek:
\[5=\frac{5(x-1)}{x-1}\qquad(\text{dla }x\neq1).\]
**Krok \(3\).** Odejmujemy liczniki nad wspólnym mianownikiem:
\[\frac{2}{x-1}-\frac{5(x-1)}{x-1}=\frac{2-5(x-1)}{x-1}.\]
**Krok \(4\).** Porządkujemy licznik. Uwaga na minus przed nawiasem:
\[2-5(x-1)=2-5x+5=-5x+7.\]
**Krok \(5\).** Zatem
\[\frac{2}{x-1}-5=\frac{-5x+7}{x-1}.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzenie liczbowe dla \(x=2\): lewa strona to \(\frac{2}{1}-5=-3\), prawa \(\frac{-10+7}{1}=-3\). Zgadza się.
**Uwaga.** Cały ciężar zadania leży w kroku \(4\): \(-5(x-1)=-5x+5\), a nie \(-5x-5\). Odpowiedzi A, C i D to właśnie warianty tej pomyłki ze znakiem lub z pominięciem mnożenia przez \(5\).
**Odpowiedź.** B: \(\frac{-5x+7}{x-1}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.6 dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych.
