Zadanie 29 – matura z matematyki próbna grudzień 2014, poziom podstawowy

Prędkość średnia na całej trasie wynosi \(48\,\mathrm{km/h}\).

Prędkość średnia to iloraz **całej** drogi przez **cały** czas — nie średnia arytmetyczna prędkości na odcinkach. To jest sedno tego zadania. Niech \(s\) oznacza długość całej trasy z \(A\) do \(C\); odcinki \(AB\) i \(BC\) mają wtedy po \(\frac s2\). Czasy przejazdu wynoszą \[t_1=\frac{\frac s2}{40}=\frac{s}{80},\qquad t_2=\frac{\frac s2}{60}=\frac{s}{120}.\] Łączny czas to \[t_1+t_2=\frac{s}{80}+\frac{s}{120}=\frac{3s+2s}{240}=\frac{5s}{240}=\frac{s}{48}.\] Zatem \[v_{\text{śr}}=\frac{s}{t_1+t_2}=\frac{s}{\frac{s}{48}}=48.\] Wynik jest mniejszy od średniej arytmetycznej \(\frac{40+60}{2}=50\), bo na wolniejszym odcinku samochód spędza więcej czasu. **Odpowiedź.** Prędkość średnia na trasie z \(A\) do \(C\) wynosi \(48\,\mathrm{km/h}\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli zapisze zależność między średnią prędkością na trasie z \(A\) do \(C\) a długością drogi \(s\) między \(A\) i \(C\), np. \(v=\frac{s}{\frac{s}{80}+\frac{s}{120}}\), albo przedstawi sposób wyznaczania wartości średniej prędkości na trasie z \(A\) do \(C\) przy poprawnie przyjętych konkretnych wartościach liczbowych dla drogi i czasu przejazdu na poszczególnych częściach trasy, np. \(v=\frac{120}{1{,}5+1}\). **2 pkt** – jeżeli obliczy wartość średniej prędkości na trasie z \(A\) do \(C\): \(48\) km/h. **Uwaga:** Zdający może posłużyć się znaną zależnością między prędkościami średnimi na odcinkach drogi a prędkością średnią na całej drodze i wyznaczyć wartość średniej prędkości przez podstawienie do odpowiedniego wzoru, np. może wykorzystać średnią harmoniczną.

Zadanie 29. (0–2) Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości A do miejscowości C przez miejscowość B, która znajduje się w połowie drogi z A do C. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z A do B była równa 40 km/h, a na trasie z B do C – 60 km/h. Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z A do C. G6.1., G6.7. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń V. Rozumowanie algebraicznych związki między różnymi wielkościami, i argumentacja. wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym geometrycznych i fizycznych. I sposób rozwiązania: Oznaczamy przez s drogę z A do C, przez t czas przejazdu z A do B, a przez t czas 1 2 przejazdu z B do C. s s 2 2 Z warunków zadania otrzymujemy równania: 40  oraz 60  . t t 1 2 s s Po przekształceniach wyznaczamy t i t : t  oraz t  . 1 2 1 2 80 120 Możemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C: s s s 240s v      48 . t  t s s 3s  2s 5s 1 2  80 120 240 Odpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h. II sposób rozwiązania: Przy podanych średnich prędkościach na dwóch odcinkach drogi, składających się na całą drogę, prędkość średnia na całej drodze jest określona jednoznacznie. Bez straty ogólności możemy założyć, że trasa z A do C ma długość 120 km, wówczas przejazd z A do B trwałby 1,5 h, zaś przejazd z B do C trwałby 1 h. Możemy wyznaczyć średnią prędkość samochodu na drodze z A do C: 120 120 1200 v     48 . 1, 5 1 2, 5 25 Odpowiedź: Wartość średniej prędkości na trasie z A do C jest równa 48 km/h. Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt jeżeli:  zapisze zależność między średnią prędkością na trasie z A do C a długością drogi s między A i C, np. v  . s s  80 120 albo  przedstawi sposób wyznaczania wartości średniej prędkości na trasie z A do C przy poprawnie przyjętych konkretnych wartościach liczbowych dla drogi i czasu przejazdu 120 na poszczególnych częściach trasy, np. v  . 1, 5 1 Zdający otrzymuje 2 pkt jeżeli obliczy wartość średniej prędkości na trasie z A do C: 48 km/h. Uwaga: Zdający może posłużyć się znaną zależnością między prędkościami średnimi na odcinkach drogi a prędkością średnią na całej drodze i wyznaczyć wartość średniej prędkości przez podstawienie do odpowiedniego wzoru, np. może wykorzystać średnią harmoniczną.