Zadanie 28 – matura z matematyki próbna grudzień 2014, poziom podstawowy

Teza została uzasadniona: kwadrat takiej liczby daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(1\).

Niech \(k\) będzie liczbą całkowitą niepodzielną przez \(3\). Wtedy przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\) albo \(2\), czyli \[k=3m+1\qquad\text{lub}\qquad k=3m+2\] dla pewnej liczby całkowitej \(m\). W pierwszym przypadku \[k^{2}=9m^{2}+6m+1=3\left(3m^{2}+2m\right)+1.\] W drugim przypadku \[k^{2}=9m^{2}+12m+4=3\left(3m^{2}+4m+1\right)+1.\] W obu przypadkach liczba w nawiasie jest całkowita, a reszta wynosi \(1\), przy czym \(0\le1<3\). **Odpowiedź.** Kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez \(3\) daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(1\), co należało uzasadnić.

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(1\), uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez \(3\) jest równa \(1\) i na tym poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania, albo jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(2\), uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez \(3\) jest równa \(1\) i na tym poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania, albo jeżeli przeprowadza uzasadnienie tezy w dwóch przypadkach: kiedy reszta z dzielenia liczby całkowitej przez \(3\) jest równa \(1\) oraz kiedy reszta z dzielenia liczby całkowitej przez \(3\) jest równa \(2\), ale popełnia błędy w przynajmniej jednym z tych przypadków. **2 pkt** – jeżeli przeprowadzi poprawne uzasadnienie faktu: reszta z dzielenia przez \(3\) kwadratu liczby całkowitej, niepodzielnej przez \(3\), jest równa \(1\).

Zadanie 28. (0–2) Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. G6.1., 2.1., G6.6. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami, V. Rozumowanie używa wzorów skróconego mnożenia na a  b2 oraz i argumentacja. 2 2 a  b , wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias. Rozwiązanie: Ustalamy, że liczba całkowita k, która nie dzieli się przez 3, daje się zapisać na jeden z dwóch sposobów: – sposób I (gdy reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1): k  3n 1, gdzie n jest liczbą całkowitą, – sposób II (gdy reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2): k  3n  2 , gdzie n jest liczbą całkowitą. Przy tych ustaleniach możemy zapisać kwadrat liczby k w zależności od n. W pierwszym przypadku k 2  3n 12  9n 2  6n 1  3  3n 2  2n  1 . W drugim przypadku k 2  3n  22  9n 2 12n  4  9n 2 12n  3 1  3  3n 2  4n 1  1 2 W obu przypadkach liczba k jest sumą liczby podzielnej przez 3 i liczby 1, zatem reszta 2 z dzielenia k przez 3 jest równa 1. Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt  jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania albo  jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania, albo  jeżeli przeprowadza uzasadnienie tezy w dwóch przypadkach: kiedy reszta z dzielenia liczby całkowitej przez 3 jest równa 1 oraz kiedy reszta z dzielenia liczby całkowitej przez 3 jest równa 2, ale popełnia błędy w przynajmniej jednym z tych przypadków. Zdający otrzymuje. 2 pkt jeżeli przeprowadzi poprawne uzasadnienie faktu: reszta z dzielenia przez 3 kwadratu liczby całkowitej, niepodzielnej przez 3, jest równa 1.