Zadanie 30 – matura z matematyki próbna grudzień 2014, poziom podstawowy

\[P(A)=\frac{28}{240}=\frac7{60}.\]

Losujemy dwa bilety spośród szesnastu, a bilety są rozróżnialne, więc za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowane pary różnych biletów. Wszystkie takie pary są jednakowo prawdopodobne, zatem stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa: \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.\] Liczba wszystkich par uporządkowanych wynosi \[|\Omega|=16\cdot15=240.\] Miejsca sąsiadują tylko wtedy, gdy leżą w tym samym rzędzie i mają kolejne numery. W pierwszym rzędzie są miejsca od \(1\) do \(10\), co daje pary \(\{1,2\},\{2,3\},\ldots,\{9,10\}\), czyli \(9\) par. W szesnastym rzędzie są miejsca od \(11\) do \(16\), co daje pary \(\{11,12\},\ldots,\{15,16\}\), czyli \(5\) par. Miejsca \(10\) i \(11\) leżą w różnych rzędach, więc nie sąsiadują. Par nieuporządkowanych jest \(9+5=14\), a każda odpowiada dwóm parom uporządkowanym, więc \[|A|=2\cdot14=28.\] Stąd \[P(A)=\frac{28}{240}=\frac7{60}.\] **Odpowiedź.** \(P(A)=\frac7{60}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.

Zadanie 30. (0–4) Zakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym rzędzie i 6 biletów na miejsca od 11. do 16. w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca? 10.3. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych III. Modelowanie sytuacjach, stosując klasyczną definicję matematyczne. prawdopodobieństwa. I sposób rozwiązania: Opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych.   1, 2 , 1, 3 , 1, 4 ,..., 1,10, 1,11,..., 1,16, 2,1 , 2, 3 , 2, 4 ,..., 2,10, 2,11,..., 2,16, 3,1 , 3, 2 , 3, 4 ,..., 3,10 , 3,11 ,..., 3,16, 4,1 , 4, 2 , 4, 3 ,..., 4,10, 4,11,..., 4,16, ........................................................................ 16,1 , 16, 2 , 16, 3 ,..., 16,10, 16,11,..., 16,15 Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych:   16 15  240 . Podajemy zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A, które polega na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, są biletami na sąsiadujące miejsca: A  1, 2 , 2,1 , 2, 3 , 3, 2 , 3, 4, 4, 3, 4, 5, 5, 4 , 5, 6 , 6, 5, 6, 7, 7, 6, 7,8, 8, 7 , 8, 9 , 9,8 , 9,10 , 10, 9 , 11,12 , 12,11, 12,13, 13,12 , 13,14 , 14,13 , 14,15 , 15,14 , 15,16, 16,15 A  28 A 28 7 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: P  A    .  240 60 II sposób rozwiązania Rysujemy kwadraty w 16 wierszach i 16 kolumnach i wykreślamy te kwadraty, dla których numer wiersza jest równy numerowi kolumny. Pozostałe kwadraty odpowiadają jednakowo prawdopodobnym zdarzeniom elementarnym. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   16 15  240 Zaznaczmy kwadraty, odpowiadające zdarzeniom sprzyjającym zdarzeniu A, które polega na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, są biletami na sąsiadujące miejsca. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 ! 2 ! ! 3 ! ! 4 ! ! 5 ! ! 6 ! ! 7 ! ! 8 ! ! 9 ! ! 10 ! 11 ! 12 ! ! 13 ! ! 14 ! ! 15 ! ! 16 ! A  28 A 28 7 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: P  A    .  240 60 Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania – 1 pkt Zdający  zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:   16 15 lub   240 albo  wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, które polega na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, są biletami na sąsiadujące miejsca (np. w postaci tabeli) lub w inny sposób opisze te zdarzenia i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 2 pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (np. w postaci tabeli) lub w inny sposób opisze te zdarzenia. Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 3 pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A:   16 15 (lub   240 ), A  9  9  5  5 (lub A  28 ). Rozwiązanie pełne – 4 pkt 7 Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P( A)  . 60 Uwaga: Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P( A)  1, to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów.