Zadanie 7 – matura z matematyki maj 2025, poziom podstawowy

**A.** Czynnik \(x^{2}+25\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Zatem \(2x(x+3)(x^{2}+25)=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=0\) lub \(x=-3\).

**Krok \(1\).** Lewa strona równania jest już rozłożona na czynniki: \(2x\), \(x+3\) oraz \(x^2+25\). Korzystamy z zasady, że iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem — i badamy każdy czynnik osobno. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \(2x=0\), czyli \(x=0\). **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \(x+3=0\), czyli \(x=-3\). **Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \(x^2+25=0\), czyli \(x^2=-25\). Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Co więcej, dla każdego \(x\) mamy \(x^2\geq0\), a zatem \(x^2+25\geq25\gt0\) — ten czynnik jest zawsze dodatni i nigdy nie zeruje iloczynu. **Krok \(5\).** Zostają dokładnie dwa rozwiązania: \(-3\) oraz \(0\). **Uwaga.** Wyrażenia \(x^2+25\) nie wolno rozkładać jak różnicy kwadratów — wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) dotyczy **różnicy**, a nie sumy. Właśnie z takiego błędnego rozkładu na \((x-5)(x+5)\) biorą się dystraktory z liczbami \(-5\) i \(5\). **Odpowiedź.** A: dwa rozwiązania: \(-3\) oraz \(0\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.