Równania i nierówności
Zadanie 9, maj 2025, poziom podstawowy
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę \(1\,200\,000\) złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie \(146\,700\) złotych - zespół A wykorzystał \(13\%\) przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał \(11\%\) przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Niech \(x\) oznacza kwotę przyznaną zespołowi A. Zespół B otrzymał \(1\,200\,000-x\) zł. Zatem
\[0{,}13x+0{,}11(1\,200\,000-x)=146\,700,\]
\[0{,}02x=14\,700,\qquad x=735\,000.\]
Zespołowi A przyznano \(735\,000\) zł.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** — zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(735\) \(000\) zł.
**Krok \(2\).** pkt— zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć kwoty przyznane poszczególnym
**Krok \(3\).** zespołom, np.
**Krok \(4\).** x+y= \(1200000\) oraz \(0\),\(13x\) + \(0\),\(11y\) = \(146\) \(700\)
**Krok \(5\).** ALBO
**Krok \(6\).** — zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną
**Krok \(7\).** zespołowi A, np.:
**Krok \(8\).** = \(14700\),
**Odpowiedź.** Niech \(x\) oznacza kwotę przyznaną zespołowi A. Zespół B otrzymał \(1\,200\,000-x\) zł. Zatem
\[0{,}13x+0{,}11(1\,200\,000-x)=146\,700,\]
\[0{,}02x=14\,700,\qquad x=735\,000.\]
Zespołowi A przyznano \(735\,000\) zł.
Klucz i zasady oceniania
— zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 735 000 zł.
1 pkt— zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć kwoty przyznane poszczególnym
zespołom, np.
x+y= 1200000 oraz 0,13x + 0,11y = 146 700
ALBO
— zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną
zespołowi A, np.:
= 14700,
0,13x + 0,11 (1200000 - x) = 146700,
ALBO
— zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną
zespołowi B, np.
0,13 (1200000 - y) + 0,11y = 146 700.
— rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb x oraz y i wskaże
właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje
1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od
735 000, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy:
x — kwota przyznana zespołowi A,
y — kwota przyznana zespołowi B.
Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:
x +Y- 1200000 oraz 0,13x + 0,11y = 146700
Z pierwszego z tych równań wyznaczamy y = 1200 000 — x i podstawiamy w miejsce y
adanie 9. (0—2)
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
2. Dobieranie i tworzenie modeli
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zasady oceniania
2 pkt
O pkt
Wymaganie szczegółowe
Zdający:
IV.2) stosuje układy równań do
rozwiązywania zadań tekstowych.
do drugiego z równań, otrzymując
0,13x + 0,11 (1200000 - x) = 146700
0,13x + 132000 - 0,11x = 146700
0,02x = 14700
x = 735000
Zespół A otrzymał 735 000 zł.
CENTRALNA
vnnmc 1 n
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymaganie szczegółowe:** IV.2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.
