Zadanie 30 – matura z matematyki maj 2021, poziom podstawowy

Ponieważ b > \(0\) i b + c > \(0\), można pomnożyć nierówność przez b(b + c) bez zmiany jej zwrotu. Otrzymujemy a(b + c) < b(a + c), czyli ab + ac < ab + bc, a więc ac < bc. Po podzieleniu przez dodatnie c dostajemy a < b, co jest założeniem.

**Krok \(1\).** adanie \(30\). (\(0\)—\(2\)) **Krok \(2\).** Wymagania egzaminacyjne \(2021\) **Krok \(3\).** Wymaganie ogólne **Krok \(4\).** V. Rozumowanie i argumentacja. **Krok \(5\).** gdy: **Krok \(6\).** Wymagania szczegółowe **Krok \(7\).** Zdający: **Krok \(8\).** \(G_{6}\).\(4\)) dodaje i odejmuje sumy **Odpowiedź.** Ponieważ b > \(0\) i b + c > \(0\), można pomnożyć nierówność przez b(b + c) bez zmiany jej zwrotu. Otrzymujemy a(b + c) < b(a + c), czyli ab + ac < ab + bc, a więc ac < bc. Po podzieleniu przez dodatnie c dostajemy a < b, co jest założeniem.

**1 pkt** – gdy: • przekształci nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\) do postaci równoważnej, z której można przeprowadzić bezpośrednie wnioskowanie o prawdziwości tezy, np. 1) \(\frac{c(a-b)}{b(b+c)}<0\) lub 2) \(c(a-b)<0\) lub 3) \(ca<cb\) lub 4) \(\frac{a-b}{b}\;[\ldots]\;\frac{a-b}{b+c}\) ALBO • przekształci nierówność \(a<b\) do postaci równoważnej \(a(b+c)<b(a+c)\) ALBO • przeprowadzając dowód nie wprost, przekształci nierówność \(\frac{a}{b}\;[\ldots]\;\frac{a+c}{b+c}\) (która jest zaprzeczeniem tezy) do postaci \(ac\;[\ldots]\;bc\) **2 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie – zdający musi spełnić warunki określone w zasadach oceniania za 1 punkt oraz: • wykorzystać założenie \(a<b\) w sytuacjach 1), 2), 3) określonych w pierwszym punktorze zasad oceniania za 1 punkt ALBO • wykorzystać założenie \(a<b\) i porównać ułamki w sytuacji określonej jako 4) w pierwszym punktorze zasad oceniania za 1 punkt ALBO • przeprowadzając dowód wprost, doprowadzić nierówność \(a<b\) do tezy ALBO • przeprowadzając dowód nie wprost, doprowadzić nierówność \(\frac{a}{b}\;[\ldots]\;\frac{a+c}{b+c}\) do postaci \(a\;[\ldots]\;b\) i stwierdzić sprzeczność z założeniem \(a<b\). **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający zapisze błędne założenia, z których korzysta (np. gdy dzieli nierówność obustronnie przez \(c\), przy zapisie \(c\;[\ldots]\;0\)), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt. 2. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy jedynie dla wybranych wartości \(a\), \(b\), \(c\), to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli: przekształci nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\) do postaci \(\frac{a(b+c)}{b}<a+c\) lub \(a<\frac{b(a+c)}{b+c}\).