Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 8, maj 2019, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich \(x\), \(y\), \(a\), takich że \(x<y\), prawdziwa jest nierówność
\[\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y,a>0\) spełniających \(x<y\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy \(2\) na lewą stronę i sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:
\[\frac{x+a}{y+a}+\frac yx-2=\frac{x(x+a)+y(y+a)-2x(y+a)}{x(y+a)}\]
\[=\frac{x^2-2xy+y^2+ay-ax}{x(y+a)}=\frac{(x-y)^2+a(y-x)}{x(y+a)}.\]
Mianownik jest dodatni, ponieważ \(x>0\) i \(y+a>0\). Licznik także jest dodatni: \((x-y)^2>0\) oraz \(a(y-x)>0\), gdyż \(x<y\) i \(a>0\). Zatem cały ułamek jest dodatni, co dowodzi nierówności.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód nierówności
**2 pkt** – sprowadzenie nierówności do równoważnej postaci \((x-y)^2+a(y-x)>0\) albo zapisanie dodatniego ułamka \(\frac{(x-y)^2+a(y-x)}{x(y+a)}>0\)
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie lewej strony po odjęciu \(2\) do wspólnego mianownika i otrzymanie licznika \(x^2-2xy+y^2+ay-ax\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
R2.6 wykonywanie działań na wyrażeniach wymiernych.
