Funkcja kwadratowa
Zadanie 7, maj 2019, poziom rozszerzony
Punkt \(P=(10{,}2429)\) leży na paraboli \(y=2x^{2}+x+2219\). Prosta \(y=ax+b\) jest styczna do tej paraboli w punkcie P. Oblicz współczynnik b.
Odczyt redakcyjny — współrzędne zapisane jak liczba dziesiętna
Prawdopodobny zapis: \(P=(10,2429)\) — para współrzędnych, nie liczba dziesiętna 10,2429.
jedyną parę w treści rozdzielono makrem \(\{,\}\), przez co wygląda ona jak liczba z czterema cyframi po przecinku; dla \(f(x)=2x^{2}+x+2219\) mamy \(f(10)=200+10+2219=2429\), więc punkt \((10,2429)\) rzeczywiście leży na paraboli, a \(f^{\prime}(10)=4\cdot 10+1=41\) i \(b=2429-41\cdot 10=2019\) — obie te liczby, \(f(10)=2429\) oraz \(b=2019\), klucz CKE podaje wprost. Odczyt dziesiętny nie leżałby na paraboli i nie dałby \(b=2019\).
Odpowiedź
b=\(2019\). Dla \(f\)(x)=\(2\)\(x^{2}\)+x+\(2219\) mamy \(f\)′(\(10\))=\(41\), więc styczna w P ma równanie y−\(2429=41\)(x−\(10\)), czyli y=\(41x\)+\(2019\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Hasło „styczna do wykresu w punkcie” oznacza pochodną: współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej \(x_0\) jest równy wartości pochodnej \(f^{\prime}(x_0)\). Mając \(a\), wyraz wolny \(b\) wyliczymy z warunku, że punkt \(P\) leży na stycznej.
**Krok \(2\).** Przyjmujemy \(f(x)=2x^2+x+2219\) i sprawdzamy, czy \(P\) rzeczywiście leży na paraboli:
\[f(10)=2\cdot100+10+2219=200+10+2219=2429.\]
Zgadza się z drugą współrzędną punktu \(P\).
**Krok \(3\).** Obliczamy pochodną:
\[f^{\prime}(x)=4x+1.\]
**Krok \(4\).** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej \(x_0=10\):
\[a=f^{\prime}(10)=4\cdot10+1=41.\]
**Krok \(5\).** Prosta \(y=41x+b\) przechodzi przez \(P=(10,2429)\), więc podstawiamy współrzędne tego punktu:
\[2429=41\cdot10+b.\]
**Krok \(6\).** Stąd
\[b=2429-410=2019.\]
**Krok \(7\).** Dla kontroli można zapisać styczną wzorem \(y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\), czyli \(y-2429=41(x-10)\), co po uporządkowaniu daje \(y=41x+2019\) — ten sam wynik.
**Uwaga.** Pytanie dotyczy \(b\), czyli wyrazu wolnego, a nie współczynnika kierunkowego \(a\). Wartość \(41\) jest tylko etapem pośrednim — podanie jej jako odpowiedzi to typowa pomyłka.
**Odpowiedź.** \(b=2019\).
Klucz i zasady oceniania
Zadanie 7. (0-2)
II. Wykorzystanie
I I. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej
i interpretowanie
i fizycznej interpretacji pochodnej (RI I .3).
re rezentacȘi.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje
gdy obliczy współczynnik b: b = 2019
Zdający otrzymuje 1 p
gdy obliczy współczynnik kierunkowy stycznej: a = 41 lub obliczy wartość pochodnej
funkcji f określonej wzorem f (x) = 2x2 + x+ 2219, dla argumentu 10: f '(10) = 41.
Uwagi
l. Jeżeli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu pochodnej danej funkcji, ale otrzyma
wielomian stopnia l. i poprawnie zinterpretuje współczynnik a jako f '(10) , to może otrzymać
1 punkt, o ile konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.
2. Jeżeli zdający przyjmie, że xo = 2429 i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, nie
popełniając innych błędów, to otrzymuje 1 punkt.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przyjmujemy, że funkcja f jest określona wzorem f (x) = 2x2 + x + 2219.
Równanie stycznej do krzywej w punkcie P = ma postać:
y — f(xo) = — xo).
Z danych zadania wynika, że: xo = 10, f(xo) = f (10) = 2429
Pochodna funkcji f jest określona wzorem: f '(x) = 4x + I
Wartość tej pochodnej dla argumentuxo = 10 jest równa f'(xo) = f '(10) = 4 • 10 +1 = 41.
Ponieważ f'(xo) = a , zatem a = 41.
Na podstawie równania stycznej do krzywej w danym punkcie mamy: y — 2429 = 41(x — I O)
a stąd po przekształceniach otrzymujemy: y = 41x + 2019. Zatem b = 2019.
Odpowiedź: Współczynnik b = 2019.
II sposób
Prosta o równaniu kierunkowym y = ax+b jest styczna do paraboli określonej równaniem
y = 2x2 + x + 2219 . Zatem układ równań
ma dokładnie jedno
Y = 2x2 x 2219
rozwiązanłe.
Stąd otrzymujemy: 2x2 + x + 2219 = ax + b . Po przekształceniach mamy:
Powyższe równame musi mieć tylko jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, które
jest jednocześnie odciętą punktu styczności paraboli i prostej. Oznacza to, że xo = 10 (odcięta
punktu styczności). Z drugiej strony równanie 2x2 ma tylko jedno
I—a
rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy A = O i jest ono równe xo
czyli
2-2
I—a
10
2-2
Stąd wynika, że a = 41.
Współczynnik b możemy wyznaczyć na trzy sposoby:
l. sposób
Podstawiając do równania prostej y = ax+b wartość a = 41 oraz współrzędne punktu P,
otrzymujemy 2429 = 41 • 10+b . Stąd b = 2019.
2. sposób
Podstawiając do równania 2x2 + (I—a)x+2219—b=O wartość a —41, otrzymamy równame
2x2 —40x+2219—b=O. Równanie to ma jedno rozwiązanie, czyli A = O,
a zatem
(—40)2 —4,2 • (2219 —b) = O. Stąd b = 2019.
3. sposób
Podstawiając do równania 2x2 +(l— a)X+ 2219—b
2-102 -40,10+2219-b = O. stąd b-2019.
= O wartości a —41 i xo —10 mamy:
Wymagania podstawy programowej
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 11. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej (R11.3).
