Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 10, maj 2019, poziom rozszerzony
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\). Ponadto
\[|AC|=16,\qquad |AD|=6,\qquad |CD|=14,\qquad |BC|=|BD|.\]
Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy
\[120.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=\angle CAD=\angle CAB\). Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ACD\):
\[14^2=16^2+6^2-2\cdot16\cdot6\cos\alpha.\]
Stąd \(\cos\alpha=\frac12\). Niech \(|BC|=|BD|=a\). Wtedy \(|AB|=a+6\). Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie \(ABC\):
\[a^2=16^2+(a+6)^2-2\cdot16(a+6)\cdot\frac12.\]
Po uproszczeniu otrzymujemy \(a=49\), zatem \(|BC|=49\) i \(|AB|=55\). Obwód wynosi
\[16+49+55=120.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie obwodu równego \(120\)
**3 pkt** – zapisanie poprawnego równania z niewiadomą długością \(|BC|=|BD|\), które pozwala obliczyć obwód
**2 pkt** – obliczenie \(\cos\angle CAD=\frac12\) i wykonanie dalszego istotnego kroku prowadzącego do równania
**1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ACD\) albo wykonanie równoważnego koniecznego kroku
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.5 stosowanie twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
