Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, maj 2018, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność
\[\frac1{2a}+\frac1{2b}\geq\frac2{a+b}.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy prawą stronę na lewą i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\[\frac1{2a}+\frac1{2b}-\frac2{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}.\]
Licznik jest nieujemny, a mianownik dodatni dla \(a,b>0\), więc cała różnica jest nieujemna. To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**1 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((a+b)^2\geq4ab\), \((a-b)^2\geq0\) albo równoważnej postaci, bez pełnego uzasadnienia
**0 pkt** – sprawdzenie tylko przykładów lub brak istotnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja. **2.1:** zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
