Zadanie 29 – matura z matematyki maj 2018, poziom podstawowy

Niech r będzie promieniem mniejszego okręgu, a S wierzchołkiem kąta. Środki leżą na dwusiecznej, więc AS = \(2\sqrt{2}\) i BS = r√\(2\). Ze styczności zewnętrznej AB = \(2\) + r, a AS = AB + BS. Stąd \(2\sqrt{2 = 2}\) + r + r√\(2\), więc r = \(6\) − \(4\sqrt{2}\). Ponieważ \(6\) − \(4\sqrt{2}\) < √\(2\) − \(1\) jest równoważne \(7 < 5\sqrt{2}\), co wynika z \(49 < 50\), otrzymujemy r < √\(2\) − \(1\).

Oznaczmy przez \(S\) wierzchołek kąta prostego, przez \(R=2\) promień okręgu o środku \(A\), a przez \(r\) promień okręgu o środku \(B\). Okrąg styczny do obu ramion kąta ma środek równo oddalony od ramion, więc oba środki leżą na dwusiecznej kąta prostego. Odległość środka od wierzchołka wyznaczamy z trójkąta prostokątnego o kącie \(45^\circ\): \[\lvert AS\rvert=R\sqrt2=2\sqrt2,\qquad \lvert BS\rvert=r\sqrt2.\] Okręgi są styczne zewnętrznie, więc \(\lvert AB\rvert=R+r=2+r\), a z rysunku punkt \(B\) leży między \(A\) i \(S\): \[\lvert AS\rvert=\lvert AB\rvert+\lvert BS\rvert,\qquad 2\sqrt2=2+r+r\sqrt2.\] Stąd \[r=\frac{2\sqrt2-2}{1+\sqrt2}=\frac{2\left(\sqrt2-1\right)\left(\sqrt2-1\right)}{\left(\sqrt2+1\right)\left(\sqrt2-1\right)}=2\left(3-2\sqrt2\right)=6-4\sqrt2.\] Pozostaje sprawdzić nierówność \(6-4\sqrt2<\sqrt2-1\). Jest ona równoważna \[7<5\sqrt2,\] a po podniesieniu obu dodatnich stron do kwadratu — nierówności \(49<50\), która jest prawdziwa. Zatem \(r<\sqrt2-1\), co należało uzasadnić. **Odpowiedź.** \(r=6-4\sqrt2<\sqrt2-1\)

**1 pkt** – zapisanie zależności między promieniami wynikającej z położenia środków na dwusiecznej i ze styczności zewnętrznej. **2 pkt** – wyznaczenie \(r=6-4\sqrt2\) i uzasadnienie nierówności \(r<\sqrt2-1\).

Zadanie 29. (0–2) **Wymaganie ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymaganie szczegółowe:** 7. Planimetria — korzystanie z własności stycznej do okręgu i z własności okręgów stycznych (7.2).