Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 2, maj 2011, poziom rozszerzony
Uzasadnij, że jeżeli \(a\neq b\), \(a\neq c\), \(b\neq c\) i \(a+b=2c\), to
\[\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2.\]
Odpowiedź
Równość została uzasadniona przy założeniach \(a\neq c\), \(b\neq c\) oraz \(a+b=2c\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z założeń \(a\neq c\) i \(b\neq c\), więc \(a-c\neq0\) i \(b-c\neq0\) — oba ułamki są określone, a mnożenie przez \((a-c)(b-c)\neq0\) jest przekształceniem równoważnym.
Po pomnożeniu obu stron przez \((a-c)(b-c)\) otrzymujemy
\[a(b-c)+b(a-c)=2(a-c)(b-c),\]
\[ab-ac+ab-bc=2\left(ab-ac-bc+c^{2}\right),\]
\[2ab-ac-bc=2ab-2ac-2bc+2c^{2}.\]
Po redukcji \(2ab\) i uporządkowaniu
\[ac+bc-2c^{2}=0,\qquad c\left(a+b-2c\right)=0.\]
Z założenia \(a+b=2c\), więc nawias jest równy zeru i cała równość zachodzi. Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, dowodzona równość jest prawdziwa.
**Odpowiedź.** \(\dfrac{a}{a-c}+\dfrac{b}{b-c}=2\) przy podanych założeniach, co należało uzasadnić.
Klucz i zasady oceniania
Zadanie 2. (0—4)
Rozumowanie i argumentacja Przekształcenie równoważne wyrażenia wymiernego
I sposób rozwiązania
Przekształcamy tezę w sposób równoważny.
b
a
= 2 przez (a , otrzymując.
Mnożymy obie strony równości
a—c b—c
a (b —c) + —c) = — c), czyli ab — ac + ab —bc = 2ab — 2ac— 2bc + 2c2
Stąd otrzymujemy 2c2 —ac —bc = O , czyli —b) = O
Ta ostatnia równość jest prawdziwa, bo z założenia 2c—a—b = O. Zatem teza też jest
prawdziwa.
Kryteria oceniania odpowiedzi
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ..................................................................1 pkt
Sprowadzenie lewej strony równości do wspólnego mianownika:
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
.... 2 pkt
b
a
Przekształcenie równości
= 2 do postaci
a—c b—c
Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt
Wykonanie działań i doprowadzenie równości do postaci np.: 2c2 — ac — bc O
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Uzasadnienie, że c(2c — a — b) = O i wnioskowanie o prawdziwości równości
b
a
a—c b—c
II sposób rozwiązania
Z równania a + b = 2c wyznaczamy b = 2c — a i wstawiamy do wyrażenia:
2c—a a—(2c—a)
b
2c — a
a
a
a
a — c b—c a—c 2c—a—c a—c c—a
a—c
Uwaga
Z równania a + b = 2c można także wyznaczyć zmienną a lub c.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki
... .. ................1 pkt
Sprowadzenie lewej strony równości do wspólnego mianownika:
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .....................................................................2 pkt
Wyznaczenie z założenia a + b = 2c , np. b i doprowadzenie wyrażenia do postaci
b
2c — a
a
a
a
a — c b—c a—c 2c—a—c a—c c—a
Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt
Wykonanie działań i doprowadzenie wyrażenia do postaci np.:
Rozwiązanie pełne
...............4 pkt
b
a
Przekształcenie wyrażenia do postaci
a—c b—c
a—c
III sposób rozwiązania
Z równania a + b = 2c
arytmetycznym.
b = a + 2r
Wstawiamy do wyrażenia
otrzymujemy a — c = c — b ,
więc ciąg
jest ciągiem
b
a
a—c b—c
Uwaga
a
a + 2r
a+2r—(a+r)
a a + 2r
Kryteria oceniania odpowiedzi
Zdający może zauważyć, że = i przekształcić wyrażenie bez wprowadzania r,
b
b
a-b 2c-b-b 2c-2b
a
a
np.
a—c b—c c—b b—c c—b
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki.............................
Zapisanie, że liczby a, c, b tworzą ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
a + 2r
a
Doprowadzenie wyrażenia do postaci, np.
a+2r —(a+r)
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p]
a a + 2r
Wykonanie działań i doprowadzenie wyrażenia do postaci +
Rozwiązanie pełne 4 p]
. —a+a+2r 2r
Przekształcenie wyrażenia do postaci
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. Przekształcenie równoważne wyrażenia wymiernego.
