Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, maj 2011, poziom rozszerzony
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) liczba
\[k^6-2k^4+k^2\]
jest podzielna przez \(36\).
Odpowiedź
Wyrażenie \(k^{6}-2k^{4}+k^{2}\) jest równe \(\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^{2}\). Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(2\) i przez \(3\), czyli przez \(6\), a zatem jego kwadrat dzieli się przez \(36\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy wykazać podzielność wyrażenia przez \(36\). Przy takich dowodach prawie zawsze rozkładamy wyrażenie na czynniki i szukamy w nim struktury, o której coś wiemy. Pomocna jest obserwacja, że \(36=6^2\), więc wystarczy wskazać w wyrażeniu kwadrat liczby podzielnej przez \(6\).
**Krok \(2\).** Wyłączamy \(k^2\) przed nawias:
\[k^6-2k^4+k^2=k^2\left(k^4-2k^2+1\right).\]
**Krok \(3\).** Nawias jest kwadratem różnicy, bo \(k^4-2k^2+1=(k^2)^2-2\cdot k^2\cdot 1+1^2\):
\[k^4-2k^2+1=\left(k^2-1\right)^2.\]
**Krok \(4\).** Wstawiamy to z powrotem i wciągamy \(k^2\) pod kwadrat, korzystając z \(k^2=(k)^2\):
\[k^2\left(k^2-1\right)^2=\left[k\left(k^2-1\right)\right]^2=\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^2,\]
bo \(k^2-1=(k-1)(k+1)\).
**Krok \(5\).** W nawiasie kwadratowym stoi iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: \(k-1\), \(k\), \(k+1\). Wystarczy pokazać, że ten iloczyn dzieli się przez \(6\), bo wtedy jego kwadrat dzieli się przez \(6^2=36\).
**Krok \(6\).** Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (liczby parzyste i nieparzyste występują na przemian), więc iloczyn dzieli się przez \(2\). Ponadto dokładnie jedna z trzech kolejnych liczb jest podzielna przez \(3\) (reszty z dzielenia przez \(3\) powtarzają się cyklicznie \(0,1,2\)), więc iloczyn dzieli się przez \(3\).
**Krok \(7\).** Liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, więc z podzielności przez \(2\) i przez \(3\) wynika podzielność przez \(6\). Istnieje zatem liczba całkowita \(m\) taka, że
\[(k-1)k(k+1)=6m.\]
**Krok \(8\).** Podnosimy do kwadratu:
\[k^6-2k^4+k^2=(6m)^2=36m^2,\]
a \(m^2\) jest liczbą całkowitą. To kończy dowód.
**Uwaga.** Rozumowanie działa dla każdej liczby całkowitej \(k\), także dla \(k=0\) i dla \(k\) ujemnych: trzy kolejne liczby całkowite to trzy kolejne liczby całkowite niezależnie od znaku, a dla \(k=0\) iloczyn jest równy \(0\), które też dzieli się przez \(36\).
**Odpowiedź.** \(k^6-2k^4+k^2=\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^2\), a iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(6\), więc jego kwadrat dzieli się przez \(36\).
Klucz i zasady oceniania
**Rozwiązanie, w którym jest postęp** – zapisanie liczby \(n^{2}=k^{6}-2k^{4}+k^{2}\) w jednej z następujących postaci iloczynowych: \(\left(k^{3}-k\right)^{2}\), \([\ldots]\)
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wykazanie podzielności liczby \(n\) przez \(2\) albo przez \(3\).
**3 pkt** – wykazanie podzielności liczby \(n\) przez \(2\) i przez \(3\) albo stwierdzenie, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(6\).
**Rozwiązanie pełne** – wyciągnięcie wniosku o podzielności liczby \(n^{2}\) przez \(36\).
Uwaga: zdający może zauważyć, że \([\ldots]\); przyznajemy wtedy \(3\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie cech podzielności liczb całkowitych.
