Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 3, maj 2011, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0\]
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) takie, że
\[(x_1-x_2)^2<8(m+1).\]
Odpowiedź
m∈(\(0\),\(1\))∪(\(2\),\(3\)). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje Δ>\(0\), czyli m∈(−\(1\),\(1\))∪(\(2\),+∞). Ze wzorów Viète'a mamy (\(x_{1}\)−\(x_{2}\))\(2\)=(\(x_{1}\)+\(x_{2}\))\(2\)−\(4\)\(x_{1}\)\(x_{2}\). Nierówność z treści sprowadza się do \(4m\)(m−\(3\))(m+\(1\))<\(0\), skąd m∈(−∞,−\(1\))∪(\(0\),\(3\)). Część wspólna obu zbiorów to (\(0\),\(1\))∪(\(2\),\(3\)).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem
z zastosowaniem wzorów Viëte'a, przeprowadzenie
dyskusji i wyciągnięcie wniosków
Zapisujemy warunki jakie muszą być spełnione, aby równame
\(x^{2}\) —\(4mx\)—\(m_{3}\) +\(6m2\) + m —\(2=0\)
posiadało dwa różne pierwiastki rzeczywiste XI takie, że (XI — \(x^{2}\))\(2 < 8\)(m + l) :
(XI — \(X^{2}\))\(2\) < + l)
Rozwiązujemy nierówność A > O
\(16m2\) +\(6m2\) + m —\(2\)) > O
\(m_{3}\) —\(2m2\) —m+\(2\)>O
Zatem m
Rozwiązujemy nierówność (XI — \(x^{2}\))\(2 < 8\)(m + l) , korzystając ze wzorów Viëte'a.
XI —\(2x1x2\) + x; <\(8m\)+\(8\)
XI + x; —\(2XlX2\) <\(8m\)+\(8\)
X: + + \(X^{2}\) —\(4XlX2\) < \(8m\)+\(8\)
) \(2\) — \(4x1x2\) < \(8m\)+\(8\). Ponieważ XI + \(x^{2}\) = \(4m\) oraz XI • \(x^{2}\) = —\(m_{3}\) + \(6m2\) + m —\(2\), więc
\(2\)
(\(4m\))\(2\) +\(6m2\) + m —\(2\)) < \(8m\)+ \(8\)
Przekształcamy tę nierówność do postaci \(4m3\) — \(8m2\) — \(12m\) < O
K teria oceniania od owiedzi
stąd < O
Rozwiązanłem nierówności jest
Wyznaczamy część wspólną otrzymanych zbiorów rozwiązań nierówności:
A > O i (XI —\(x^{2}\))\(2 <8\)(m+l)
Stąd m e
**Odpowiedź.** m∈(\(0\),\(1\))∪(\(2\),\(3\)). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje Δ>\(0\), czyli m∈(−\(1\),\(1\))∪(\(2\),+∞). Ze wzorów Viète'a mamy (\(x_{1}\)−\(x_{2}\))\(2\)=(\(x_{1}\)+\(x_{2}\))\(2\)−\(4\)\(x_{1}\)\(x_{2}\). Nierówność z treści sprowadza się do \(4m\)(m−\(3\))(m+\(1\))<\(0\), skąd m∈(−∞,−\(1\))∪(\(0\),\(3\)). Część wspólna obu zbiorów to (\(0\),\(1\))∪(\(2\),\(3\)).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat oceniania I*
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
**1 pkt** – pierwszy etap: rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\).
**4 pkt** – drugi etap: rozwiązanie nierówności \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}<8(m+1)\).
**1 pkt** – trzeci etap: wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
**1 pkt** – zapisanie wyrażenia \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}\) w postaci \(\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4x_{1}x_{2}\).
**3 pkt** – zapisanie nierówności \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}<8(m+1)\) w postaci nierówności trzeciego stopnia z jedną niewiadomą \(m\), np. \(4m^{3}-8m^{2}-12m<0\).
**4 pkt** – rozwiązanie nierówności trzeciego stopnia: \(m\in(-\infty,-1)\cup(0,3)\).
**6 pkt** – rozwiązanie pełne (trzeci etap): wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi.
*Schemat oceniania II*
**1 pkt** – pierwszy etap: rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\).
**4 pkt** – drugi etap: rozwiązanie nierówności \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}<8(m+1)\).
**1 pkt** – trzeci etap: wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
**1 pkt** – wyznaczenie \(x_{1}\) i \(x_{2}\).
**2 pkt** – zapisanie \(x_{1}-x_{2}\) w postaci \([\ldots]\).
**3 pkt** – obliczenie \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=4\left(m^{3}-2m^{2}-m+2\right)\) i zapisanie nierówności \(4\left(m^{3}-2m^{2}-m+2\right)<8(m+1)\).
**4 pkt** – rozwiązanie nierówności trzeciego stopnia: \(m\in(-\infty,-1)\cup(0,3)\).
**6 pkt** – rozwiązanie pełne (trzeci etap): wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi.
Przyznajemy \(1\) punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapu I i etapu II, gdy co najmniej jedna nierówność (albo z etapu I, albo z etapu II) jest rozwiązana poprawnie. Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to otrzymuje \(5\) punktów.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem z zastosowaniem wzorów Viète'a, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków.
