Nierówności
Zadanie 30, maj 2010, poziom podstawowy
Wykaż, że jeśli \(a>0\), to
\[
\frac{a^2+1}{a+1}\geqslant\frac{a+1}{2}.
\]
Odpowiedź
Ponieważ a > \(0\), mamy \(2\)(a + \(1\)) > \(0\). Różnica stron nierówności jest równa (\(a^{2}\) + \(1\))/(a + \(1\)) − (a + \(1\))/\(2\) = (a − \(1\))\(2\)/[\(2\)(a + \(1\))] ≥ \(0\). To dowodzi nierówności.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: sprowadzenie nierówności do \(a^{2}\) − \(2a\) + \(1 \geq 0\) albo (\(a^{2}\) − \(2a\) + \(1\))/[\(2\)(a + \(1\))] ≥ \(0\), ewentualnie analogiczny poprawny etap dowodu nie wprost.
**Krok \(2\).** pkt: pełne uzasadnienie, że otrzymana nierówność zachodzi dla każdego a > \(0\).
**Odpowiedź.** Ponieważ a > \(0\), mamy \(2\)(a + \(1\)) > \(0\). Różnica stron nierówności jest równa (\(a^{2}\) + \(1\))/(a + \(1\)) − (a + \(1\))/\(2\) = (a − \(1\))\(2\)/[\(2\)(a + \(1\))] ≥ \(0\). To dowodzi nierówności.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: sprowadzenie nierówności do a² − 2a + 1 ≥ 0 albo (a² − 2a + 1)/[2(a + 1)] ≥ 0, ewentualnie analogiczny poprawny etap dowodu nie wprost.
2 pkt: pełne uzasadnienie, że otrzymana nierówność zachodzi dla każdego a > 0.
Wymagania podstawy programowej
Rozumowanie i argumentacja. Wykazanie prawdziwości nierówności.
