Trójkąty
Zadanie 31, maj 2010, poziom podstawowy
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa \(6\). Oblicz obwód tego trapezu.
Odpowiedź
Krótsza przekątna i dłuższa podstawa tworzą trójkąt równoboczny o boku \(6\). Wysokość tego trójkąta, będąca ramieniem trapezu, ma długość \(3\sqrt{3}\), a krótsza podstawa ma długość \(3\). Obwód wynosi \(6 + 6 + 3 + 3\sqrt{3 = 15 + 3}\)√\(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy trapez \(ABCD\): \(AB\) to dłuższa podstawa, \(AB\parallel CD\), a ramię \(AD\) jest prostopadłe do podstaw. Krótsza przekątna \(AC\) dzieli trapez na trójkąt \(ACD\) — prostokątny, bo \(\lvert\angle ADC\rvert=90^\circ\) — oraz trójkąt \(ABC\), który musi być równoboczny.
Skoro \(ABC\) jest równoboczny i \(\lvert AB\rvert=6\), to
\[\lvert BC\rvert=\lvert AC\rvert=6.\]
Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(6\) jest równa \(\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\); jest ona jednocześnie wysokością trapezu, czyli ramieniem \(AD\).
Rzut wierzchołka \(C\) na \(AB\) dzieli \(AB\) w połowie, więc krótsza podstawa ma długość
\[\lvert CD\rvert=\lvert AB\rvert-\tfrac12\lvert AB\rvert=6-3=3.\]
Obwód trapezu:
\[L=6+6+3+3\sqrt3=15+3\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** \(L=15+3\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne podzielenie trapezu na trójkąty i obliczenie krótszej podstawy CD = 3 albo wysokości h = 3√3.
2 pkt: obliczenie obwodu 15 + 3√3.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wykorzystanie związków miarowych w trójkącie prostokątnym i równobocznym.
