Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 4, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Doświadczenie polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeżeli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(\frac{1}{15}\). Przy warunku, że w dziesięciu rzutach wypadły dokładnie trzy orły, istnieje C(\(10\),\(3\))=\(120\) jednakowo prawdopodobnych rozmieszczeń. Blok trzech kolejnych orłów można umieścić na \(8\) sposobów, więc P=\(\frac{8}{120=1}\)/\(15\).
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek „wypadły dokładnie trzy orły" zawęża przestrzeń do tych ciągów dziesięciu rzutów, w których orzeł pojawia się dokładnie trzy razy. Ciąg taki jest jednoznacznie wyznaczony przez zbiór trzech pozycji orłów, a wszystkie takie ciągi są jednakowo prawdopodobne, bo moneta jest symetryczna. Zatem
\[|B|=\binom{10}{3}=120.\]
Zdarzenie \(A\cap B\) polega na tym, że te trzy orły zajmują trzy kolejne pozycje, czyli tworzą blok \(\{k,k+1,k+2\}\). Blok mieści się w dziesięciu pozycjach dla \(k=1,2,\ldots,8\), więc
\[|A\cap B|=8.\]
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego
\[P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac8{120}=\frac1{15}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A\mid B)=\frac1{15}\)
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{1}{15}\).
**2 pkt** – zapisanie liczby elementów zbioru \(A\cap B\) i wyznaczenie/zapisanie liczby elementów zbioru \(B\): \(\lvert A\cap B\rvert=8\) i \(\lvert B\rvert=\binom{10}{3}\)
ALBO
– wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzeń \(A\cap B\) oraz \(B\): \(P(A\cap B)=\frac{8}{2^{10}}\) oraz \(P(B)=\frac{\binom{10}{3}}{2^{10}}\).
**1 pkt** – zapisanie liczby elementów zbioru \(A\cap B\): \(8\)
ALBO
– wyznaczenie/zapisanie liczby elementów zbioru \(B\), np. \(\binom{10}{3}\),
ALBO
– wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia \(B\), np. \(P(B)=\frac{\binom{10}{3}}{2^{10}}\),
ALBO
– wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\cap B\), np. \(P(A\cap B)=\frac{8}{2^{10}}\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R1) Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe […].
