Okręgi i koła
Zadanie 6, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Podstawy trapezu równoramiennego mają długości \(a\) oraz \(b\), gdzie \(a>b\). W ten trapez można wpisać okrąg.
Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od \(a\cdot b\).
Odpowiedź
Dla pola \(P\) trapezu zachodzi
\[P=\frac{a+b}{2}\sqrt{ab}>ab.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(h\) oznacza wysokość trapezu, a \(c\) długość ramienia. Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, suma długości przeciwległych boków jest równa, więc
\[2c=a+b,\qquad c=\frac{a+b}{2}.\]
Po opuszczeniu wysokości otrzymujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej \(\frac{a-b}{2}\), zatem
\[h^2=c^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=ab.\]
Stąd \(h=\sqrt{ab}\) i
\[P=\frac{a+b}{2}\sqrt{ab}.\]
Ponieważ \(a>b>0\), nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną jest ostra:
\[\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}.\]
Po pomnożeniu przez \(\sqrt{ab}>0\) dostajemy \(P>ab\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**2 pkt** – wyznaczenie pola trapezu w postaci \(P=\frac{a+b}{2}\sqrt{ab}\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie równania prowadzącego do wysokości \(h=\sqrt{ab}\), wyznaczenie promienia okręgu wpisanego albo równoważny istotny krok
**0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
7. R1) Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu.
