Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 29, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby \(a > 0\) i dla każdej liczby \(b > 0\) prawdziwa jest nierówność
\(1\) \(1\) \(4\)
\(+ \geq\)
.
a b a + b
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: Wykaż, że dla każdej liczby \(a>0\) i dla każdej liczby \(b>0\) prawdziwa jest nierówność \(\frac1a+\frac1b\ge\frac{4}{a+b}\).
Trzy ułamki zostały rozbite przez ekstraktor na wiersze: liczniki („1 1 4”) trafiły do wiersza nad znakami działań, mianowniki („a b a + b”) do wiersza pod nimi. Liczba i kolejność tokenów w zapisie zastanym pozwala je złożyć jednoznacznie, a wynik zgadza się z modelem odpowiedzi CKE sprowadzającym nierówność do (a − b)² ≥ 0.Odpowiedź
Nierówność została wykazana dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z odczytu redakcyjnego treści dowodzona nierówność ma postać
\[\frac1a+\frac1b\ge\frac{4}{a+b}.\]
Z założenia \(a>0\) i \(b>0\), więc \(ab>0\) oraz \(a+b>0\), a zatem iloczyn \(ab(a+b)\) jest dodatni i mnożenie przez niego nie zmienia kierunku nierówności:
\[b(a+b)+a(a+b)\ge4ab,\qquad (a+b)^{2}\ge4ab.\]
Przenosimy wszystko na lewą stronę i stosujemy wzór skróconego mnożenia:
\[a^{2}+2ab+b^{2}-4ab=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}\ge0.\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych, a wszystkie przekształcenia były równoważne. Równość zachodzi dokładnie dla \(a=b\).
**Odpowiedź.** Nierówność \(\dfrac1a+\dfrac1b\ge\dfrac{4}{a+b}\) jest prawdziwa dla wszystkich \(a>0\), \(b>0\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: sprowadzenie do a²−2ab+b²≥0. 2 pkt: pełne uzasadnienie.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
