Trójkąty
Zadanie 28, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt ABC . Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.
C
B
S
Odpowiedź
Odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinek \(CS\) jest środkową trójkąta \(ABC\), bo \(S\) jest środkiem boku \(AB\). Dzieli on trójkąt na dwa trójkąty \(ASC\) i \(BSC\).
Trójkąty te mają równe podstawy \(\lvert AS\rvert=\lvert SB\rvert\) i wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(C\) na prostą \(AB\), więc mają równe pola:
\[P_{ASC}=P_{BSC}.\]
Te same pola można wyrazić, przyjmując za podstawę wspólny bok \(CS\):
\[P_{ASC}=\tfrac12\lvert CS\rvert\cdot d(A,CS),\qquad P_{BSC}=\tfrac12\lvert CS\rvert\cdot d(B,CS),\]
gdzie \(d(X,CS)\) oznacza odległość punktu \(X\) od prostej \(CS\).
Z równości pól i z \(\lvert CS\rvert>0\) wynika
\[d(A,CS)=d(B,CS),\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zauważenie, że trójkąty \(ASC\) i \(BSC\) mają równe pola.
**2 pkt** – pełne uzasadnienie równości odległości.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
